試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁安徽省A10聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期9月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B．3 C．4 D．53．用分層隨機(jī)抽樣的方法從某校學(xué)生中抽取1個(gè)容量為60的樣本，其中高一年級(jí)有25人，高三年級(jí)有15人.已知該校高二年級(jí)共有學(xué)生600人，則該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為（

）A．1440 B．1600 C．1800 D．24004．已知，則（

）A． B． C． D．5．在中，點(diǎn)在上，滿足，則（

）A． B．C． D．6．已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2，圓心角為的扇形，則該圓錐表面積為（

）A． B． C． D．7．正實(shí)數(shù)滿足函數(shù)，則實(shí)數(shù)之間的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．8．在銳角中，已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知是隨機(jī)事件，且，則下列說法正確的有（

）A．與可能為互斥事件B．若，則與相互獨(dú)立C．若，則D．若與相互獨(dú)立，則10．已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．B．有3個(gè)實(shí)數(shù)根C．若有4個(gè)實(shí)數(shù)根，從小到大分別為，則D．若有8個(gè)實(shí)數(shù)根，則11．如圖，在直四棱柱中，，底面為菱形，且點(diǎn)為棱柱內(nèi)部（含表面）的點(diǎn)，滿足為棱的中點(diǎn)．則下列說法正確的有（

）

A．不存在點(diǎn)的位置，使得B．直線與所成角的范圍是C．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．若點(diǎn)在上，且時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為三、填空題12．已知，且，則.13．若命題“”為假命題，則的取值范圍為.14．設(shè)函數(shù).如果對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題15．已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且.(1)求的值；(2)記復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求復(fù)數(shù).16．某中學(xué)舉行了一次“數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽”，為了了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（單位：分，得分取正整數(shù)，）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將成績(jī)進(jìn)行整理后，分為六組（如圖）：

(1)求的值；(2)如果用按比例分層抽樣的方法從樣本成績(jī)?yōu)楹偷膶W(xué)生中共抽取6人，再?gòu)?人中選2人，求2人中有來自組的學(xué)生的概率；(3)學(xué)校在此次競(jìng)賽成績(jī)中抽取了10名學(xué)生的成績(jī)：，已知這10個(gè)成績(jī)的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，若剔除其中的94和86兩個(gè)成績(jī)，求剩余8個(gè)成績(jī)的平均數(shù)與方差.17．已知中，角所對(duì)的邊分別為，點(diǎn)在邊上，且平分.(1)求的大小；(2)若，求的長(zhǎng).18．如圖，在四棱錐中，，，，分別為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若，且點(diǎn)到四點(diǎn)距離都相等.（i）求四棱錐的體積；（ii）求的長(zhǎng).19．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并求的值；（3）已知函數(shù)（為常數(shù)），若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，.證明：.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《安徽省A10聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期9月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號(hào)12345678910答案CDCACBABBCABC題號(hào)11答案BD1．C【分析】根據(jù)集合的描述確定集合中的元素，再根據(jù)補(bǔ)集的定義求出【詳解】已知,表示是自然數(shù),表示也是自然數(shù)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,不滿足所以集合已知全集,根據(jù)補(bǔ)集的定義：對(duì)于一個(gè)集合,它的全集中的補(bǔ)集是由所有不屬于但屬于的元素組成集合,在全集中去掉集合中的元素得到.故選:2．D【分析】利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.3．C【分析】設(shè)該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為，先求出樣本中高二學(xué)生人數(shù)，再結(jié)合分層抽樣的性質(zhì)列方程，解方程求即可.【詳解】設(shè)該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為，由題意，樣本容量為，樣本中高一年級(jí)學(xué)生有25人，高三年級(jí)學(xué)生有15人，故樣本中高二年級(jí)學(xué)生有人，由題意，解得，即該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為.故選：C.4．A【分析】利用輔助角公式由題設(shè)條件推得，再用二倍角公式即可求得答案.【詳解】由可得，得，則.故選：A.5．C【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】根據(jù)題意可知.故選：C6．B【分析】結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式求得側(cè)面積．根據(jù)題意求得圓錐的底面圓的半徑，最后利用圓錐的表面積公式即可求解．【詳解】因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2，圓心角為的扇形，所以圓錐的側(cè)面積為設(shè)圓錐的底面半徑為，底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)可得：，解得所以圓錐底面的面積為因此圓錐表面積為．故選：B.7．A【分析】將正實(shí)數(shù)滿足函數(shù)，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意知正實(shí)數(shù)滿足函數(shù)，不妨設(shè)分別為即正實(shí)數(shù)是的解，即為的圖象和直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是的解，即為的圖象和直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是即的解，即為的圖象和直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別作出函數(shù)，，以及的圖象，由于與在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為2，4，當(dāng)時(shí)，,由于,結(jié)合圖象可知，即，故選：A8．B【分析】利用正弦定理將已知式子化為.作于，設(shè)，即可求出.根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)及兩角和的正切公式，將所求用表示，計(jì)算化簡(jiǎn)，利用基本不等式求其最小值.【詳解】由可得，由正弦定理可得，如圖，作于，設(shè)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，解得，易知，，所以，因此＝＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.故選：B

9．BC【分析】由題設(shè)結(jié)合獨(dú)立事件、互斥事件的定義、概率公式與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，與不可能為互斥事件，A說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以若，則與相互獨(dú)立，B說法正確；選項(xiàng)C：若，則，C說法正確；選項(xiàng)D：若與相互獨(dú)立，則與也相互獨(dú)立，證明如下：因?yàn)榕c互斥，且，所以，所以，即與也相互獨(dú)立，所以，因?yàn)?，所以，代入得，D說法錯(cuò)誤；故選：BC10．ABC【分析】對(duì)于A，B只需代值計(jì)算，根據(jù)自變量范圍進(jìn)行取舍即得；對(duì)于C，則需要作出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)與方程的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性和圖象變換，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C項(xiàng)，對(duì)于D，設(shè)，結(jié)合圖象，將問題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)相異實(shí)根的問題，利用一元二次方程的根的分布列出不等式組計(jì)算即得參數(shù)范圍.【詳解】對(duì)于A，由題意，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由可得，解得，因，故得；當(dāng)時(shí)，由可得，或，解得或，故有、、共三個(gè)實(shí)數(shù)根，故B正確；對(duì)于C，作出函數(shù)的圖象，由時(shí)，，且，可知當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)；又由時(shí)，，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)均有兩個(gè)交點(diǎn)，故由有4個(gè)實(shí)數(shù)根可得，，由圖知，，，則，解得，又由解得，由解得，則有，于是，因函數(shù)在單調(diào)遞減，故，則，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則方程即，由圖知，要使原方程有8個(gè)實(shí)數(shù)根，需使有兩個(gè)相異實(shí)根，且，，則由解得或，設(shè)，依題意，需使，則得，綜上，可得，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．BD【分析】連接，判斷點(diǎn)為平行四邊形內(nèi)部（含邊上）的點(diǎn)．A：考慮當(dāng)P點(diǎn)在上時(shí)；B：與夾角即為與夾角，求出最大值和最小值即可得范圍；C：以B為球心，2為半徑的球的表面與平行四邊形的交線即為點(diǎn)的軌跡，為半圓弧，求其長(zhǎng)度即可；D：P為AC與BD的交點(diǎn)，再根據(jù)求解即可．【詳解】連接，

，，∴四邊形是平行四邊形，∵點(diǎn)為棱柱內(nèi)部（含表面）的點(diǎn)，且滿足，∴點(diǎn)為平行四邊形內(nèi)部（含邊上）的點(diǎn)．A：當(dāng)P點(diǎn)在上時(shí)，由平面，平面，可知，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B：∵，∴與夾角即為與夾角，當(dāng)P在上時(shí)，與夾角最小，即為；當(dāng)P點(diǎn)在上時(shí)，平面，平面，則，夾角最大，為；故直線與所成角的范圍是，故B正確；C：若，則以B為球心，2為半徑的球的表面與平行四邊形的交線即為點(diǎn)的軌跡，如圖：

連接交于，由易知平面，故圓弧為以為圓心，為直徑的半圓弧，其長(zhǎng)度為，故C錯(cuò)誤；D：

設(shè)，由，知平面，又平面，即若點(diǎn)在上，且時(shí)，為與的交點(diǎn)．平面平面平面，，到平面的距離與到平面的距離相等，均為2．故．連接，取中點(diǎn)為，連接，由余弦定理易求，則，，則，在△中，由余弦定理得，∴，∴，∴根據(jù)可得點(diǎn)D到平面的距離為，故D正確．故選：BD．12．6【分析】由，再根據(jù)向量數(shù)量積的線性運(yùn)算即可.【詳解】,.故答案為：6.13．【分析】根據(jù)特稱命題為假命題，可知“”為真命題，由此分離參數(shù)，即可求得答案.【詳解】由題意知命題“”為假命題，則命題“”為真命題，即，由于，時(shí)取等號(hào)，故，所以，即的取值范圍為，故答案為：14．【分析】先利用奇函數(shù)定義得到函數(shù)為奇函數(shù)，然后再求出為增函數(shù)，即可求得，即，再求出，即可求解.【詳解】由題意得對(duì)于任意，有，所以函數(shù)為奇函數(shù).又因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，所以在上是增函數(shù)，所以，即，即對(duì)任意都成立，由，其中，所以，所以，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15．(1)，(2)【分析】（1）由實(shí)系數(shù)一元二次方程的解的特點(diǎn)易得另一個(gè)根，由韋達(dá)定理即得；（2）應(yīng)用向量的加減法化簡(jiǎn)得出，最后結(jié)合（1）應(yīng)用復(fù)數(shù)的加法計(jì)算求解.【詳解】（1）由已知得，也是方程的一個(gè)根，由韋達(dá)定理得，，，即，；（2）因?yàn)?，所以，則，故.16．(1)(2)(3)平均數(shù)為90，方差為27.25【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1即可求解，（2）根據(jù)分層抽樣比求解人數(shù)，即可列舉所有可能結(jié)果，利用古典概型的概率公式即可求解，（3）根據(jù)平均數(shù)以及方差的計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）由圖可知：，解得，（2）樣本成績(jī)位于和的比例為，故所抽取的6個(gè)人中，來自的人數(shù)為，設(shè)這兩個(gè)人為來自的人數(shù)為，設(shè)這4個(gè)人為，則從6個(gè)人中隨機(jī)抽取2個(gè)人的所有情況有：，2人中有來自組情況有故2人中有來自組的學(xué)生的概率為，（3）由，可得，則剔除其中的94和86兩個(gè)分?jǐn)?shù)，剩余8個(gè)數(shù)平均數(shù)為；又標(biāo)準(zhǔn)差，故，則，則剩余的8個(gè)數(shù)的方差為.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理可化為，結(jié)合內(nèi)角和公式兩角和正弦公式化簡(jiǎn)可得，結(jié)合角的范圍可求結(jié)論；（2）由（1）根據(jù)余弦定理可得，結(jié)合條件求，，由關(guān)系結(jié)合面積公式列方程求.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理可得，故，，，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，故，又，所以，?）由（1），由余弦定理可得，故，又，所以，，因?yàn)椋?，因?yàn)槠椒郑?，所以，所以，所以，所?

18．(1)證明過程見解析(2)（i）（ii）【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明即可；（2）（i）根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可；（ii）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，設(shè)的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，而平面，所以平面；?）（i）因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，于是有，由（1）可知四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，而平面，所以平面，因此四棱錐的體積為；（ii）因?yàn)?，，所以，于是兩兩互相垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，因?yàn)辄c(diǎn)到四點(diǎn)距離都相等，所以，所以.19．（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）證明見解析，；（3）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，令，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)果；（2）由（1）中的結(jié)論可得函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合零點(diǎn)存在定理代入計(jì)算可得，從而得到結(jié)果；（3）由韋達(dá)定理可得，將式子平方，然后結(jié)合兩角的平方關(guān)系可得，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得的定義域?yàn)?，令，即可化為，由二次函?shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，令，解得，則在上單調(diào)遞增，令，解得，則在上單調(diào)遞減，綜上，的