試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁山東省名?？荚嚶?lián)盟2025-2026學年高三上學期開學摸底考試數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下面四個條件中，使得成立的充分不必要條件是（

）A． B． C． D．2．若復數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．3．與直線相切，且與圓外切的圓的圓心軌跡為（

）A．橢圓 B．雙曲線的一支 C．拋物線 D．圓4．已知圓：，過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（

）A．4 B． C．8 D．5．已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，在矩形中，E，F(xiàn)分別為，的中點，G為線段上的一點，且，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．7．若函數(shù)圖象與直線相鄰兩交點間的距離為，則函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．8．若關于的不等式有且只有一個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．在正三棱臺中，為的中點，則（

）A． B．平面C．平面 D．平面10．在中，，，則（

）A． B．C．周長的最大值為6 D．面積的最大值為11．已知函數(shù)有兩個零點，設其由小到大分別為，，則（

）A．實數(shù)的取值范圍是 B．C． D．三、填空題12．曲線在處的切線方程為.13．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點是的漸近線上的一點，且，，則E的離心率為.14．從1，2，3，4，5，6這6個數(shù)中隨機抽一個數(shù)記為，再從中隨機抽一個數(shù)記為，則.四、解答題15．若等比數(shù)列的各項均大于1，其前項和為，且，，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.16．電視臺組織有獎答題活動，指定了三道題目，選手有兩種答題方案可選.方案一：回答這三道題目，至少有兩道答對則獲得獎金；方案二：在三道題中，隨機選兩道，這兩道題都答對則獲得獎金.假設小明對三道指定題目答對的概率分別為（均不為1），且三道題目是否答對相互之間沒有影響.(1)分別求小明選擇方案一和方案二時獲得獎金的概率；(2)要想使獲得獎金的可能性更大，小明應選擇哪種答題方案?請根據(jù)數(shù)據(jù)計算說明.17．如圖，在四棱錐中，底面為邊長為2的正方形，平面，且，.(1)若平面與平面的交線為，求證：；(2)求證：；(3)是否存在球O，使得四棱錐的頂點均在此球面上?若存在，求與平面所成角的正切值；若不存在，說明理由.18．已知橢圓：，定義兩曲線E，F(xiàn)之間的最長距離為．(1)若，求；(2)若，求；(3)若，求．19．已知函數(shù).(1)若，的最大值為4，求實數(shù)的所有可能取值；(2)若，函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(3)當時，比較，6和這三個數(shù)的大小，并證明你的結論.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《山東省名?？荚嚶?lián)盟2025-2026學年高三上學期開學摸底考試數(shù)學試題》參考答案題號12345678910答案BDCBCADABCACD題號11答案ABD1．B【分析】根據(jù)題意，結合充分條件、必要條件的判定方法，逐項分析判斷，即可求解.【詳解】對于A中，由，則不一定成立，即充分性不成立，反之若，則一定成立，即必要性成立，所以是的必要不充分條件，所以A不符合題意；對于B中，由，則一定成立，即充分性成立，反正若，則不一定成立，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件，所以B符合題意；對于C中，由，則不成立，即充分性不成立，反正若，則不成立，即必要性不成立，所以是的既不充分也不必要條件，所以C不符合題意；對于D中，由，則不一定成立，即充分性不成立，反正若，則不一定成立，即必要性不成立，所以是的既不充分也不必要條件，所以D不符合題意.故選：B.2．D【分析】求解再得出虛部即可.【詳解】因為，所以可知的虛部為.故選：D.3．C【分析】由動圓與定圓相外切可得兩圓圓心距與半徑的關系，然后利用圓與直線相切的可得圓心到直線的距離與半徑的關系，借助等量關系可得動點滿足的條件，即可得動點的軌跡.【詳解】記與圓外切的圓為圓，設圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，因為圓與圓外切，所以，設圓圓心到直線的距離為，則，所以，即動點到定點的距離等于到定直線的距離，由拋物線的定義知：動點的軌跡為拋物線.故選：C4．B【分析】結合圓的性質(zhì)和弦長的幾何求法，求過圓內(nèi)一點的最長和最短的弦長，再根據(jù)兩弦所在的直線互相垂直求四邊形的面積.【詳解】如圖：

結合圓的性質(zhì)可知：最長弦過圓心，所以；當時，弦最短，此時.且，所以四邊形的面積為：.故選：B5．C【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，要使為整數(shù)，即為整數(shù)，計算即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，因為，所以，因為，要使為整數(shù)，即為整數(shù)，所以，共個，即使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是.故選：C6．A【分析】由圖先用、表示，再結合題設所給，利用對應系數(shù)相等，即可求出的值.【詳解】由題可設，則，因為，所以，解得.故選：A7．D【分析】根據(jù)條件可知函數(shù)的周期，進而求出，再由函數(shù)單調(diào)性求值域.【詳解】因，所以在各周期內(nèi)單調(diào)遞增，最小正周期.而該函數(shù)圖象與相鄰兩交點的距離為，即，故.所以.故，因，所以.因在上單調(diào)遞增，因此，即.所以的值域為.故選：D8．A【分析】由題意得只有1個整數(shù)解，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，令，則的圖象是一條過定點的直線，畫出函數(shù)圖象，結合圖象分析即可求解.【詳解】因為，，所以，令，則，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，當時，，且，令，則的圖象是一條過定點的直線，當時，不符合題意；則，如圖，當?shù)膱D象經(jīng)過時，直線的斜率分別為，不等式只有1個整數(shù)解，

由圖可知.故選：.9．BC【分析】利用線面垂直判定定理可證明平面，可得C正確，結合線面垂直性質(zhì)得出矛盾可知A錯誤，利用線面平行判定定理證明可得B正確，根據(jù)線面平行性質(zhì)定理可知只有當時，選項D才可能正確.【詳解】取的中點為，連接，如下圖所示：因為正三棱臺中，為等邊三角形，四邊形為等腰梯形，且易知，所以四點共面，且,又，平面，所以平面，即可知平面，可得C正確；對于A，因為平面，因此，若，且，平面，所以可得平面，顯然與正三棱臺底面中心的連線不平行，所以平面不成立，即A錯誤；對于B，由正三棱臺性質(zhì)可知，又平面，平面，所以平面，可知B正確；對于D，若平面，由平面，且平面平面，所以，又因為是的中點，所以只有當時才成立，因此D不一定正確.故選：BC10．ACD【分析】利用正弦定理和兩角和差的正弦公式化簡即可判斷A；利用正弦定理和余弦定理化簡即可求出B；利用不等式判斷C；利用判斷D.【詳解】由正弦定理可化為，則，故A正確；由正弦定理可化為，即，則，因，則，故B錯誤；因，則，得，則，，等號成立時，故C正確；因，則，得，則，等號成立時，故D正確.故選：ACD11．ABD【分析】通過指對同構化簡，再分離參數(shù)，數(shù)形結合可得AB選項；利用零點關系化簡，再構造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性以及范圍可判斷C選項；可利用齊次化、比值代換解決D選項極值點偏移問題.【詳解】定義域為，有兩個零點，可化為有兩個解，又由于，所以左側恒大于0，故右側也恒大于0，可得，設，則，在單調(diào)遞增，原方程可化為，由于，，都在的單調(diào)增區(qū)間里，所以，即，設，，，則時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，且恒大于0，極大值，可畫出如圖所示，則要使有兩個解，即與圖像有兩個交點，

由圖像可得a的范圍是，故A選項正確；同樣由圖象可得，所以，故B選項正確；，，結合，可得，設，由于，則單調(diào)遞增,所以，故C錯誤；由于，所以，設，則,，設，，，在單調(diào)遞增，，所以，又由于，，所以，故D正確；故選：ABD.12．【分析】根據(jù)題意，由導數(shù)的幾何意義代入計算，即可得到結果.【詳解】當時，，即切點坐標為，且，將代入可得，即切線的斜率，由直線的點斜式可得，化簡可得.故答案為：13．【分析】不妨設在直線上，且在第一象限，坐標為，根據(jù)，可得，在中，根據(jù)，結合，可得關于的方程，即可求解.【詳解】如圖，不妨設在直線上，且在第一象限，坐標為，因為，，所以直線的斜率，直線的斜率，因為，所以，即，整理可得，解得，則，在中，，所以，兩邊平方可得，又，所以，即，解得或（舍）.故答案為：.14．【分析】分析可得每個數(shù)出現(xiàn)的概率相同，都為，分別求得X=1,2,3,4,5,6時的期望，根據(jù)全期望公式，即可得答案.【詳解】已知從1，2，3，4，5，6這6個數(shù)中隨機抽一個數(shù)記為，每個數(shù)出現(xiàn)的概率相同，則，當時，是從中隨機抽取的一個數(shù)，則服從離散均勻分布，對于離散均勻分布，其期望公式為（其中a為最小值，b為最大值），當時，只能取1，所以；當時，從1，2中抽取，所以；當時，從1，2，3中抽取，所以；當時，從1，2，3，4中抽取，所以；當時，從1，2，3，4，5中抽取，所以；當時，從1，2，3，4，5，6中抽取，所以，所以.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）設等比數(shù)列的公比為，由已知列方程組可求解首項和公比，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可求解；（2）由（1）知，可得的表達式，根據(jù)的表達式可得的表達式，然后利用裂項相消法求和即可.【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，由已知可得，解得或，因為等比數(shù)列的各項均大于1，所以，所以數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）知，所以，所以，所以.16．(1)答案見解析；(2)選擇第一種答題方案.【分析】（1）利用相互獨立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解即可；（2）利用作差法來判斷大小，即可作出選擇.【詳解】（1）設小明選擇方案一獲得獎金的概率為，則，設小明選擇方案二獲得獎金的概率為，則，（2）由，因為，所以，即，則，故小明應選擇第一種答題方案.17．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)存在球O，【分析】（1）首先證明平面，結合線面平行的性質(zhì)即可證明；（2）首先證明平面，從而證明平面，利用線面垂直的性質(zhì)即可證明；（3）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，求出球心的坐標，求出平面的法向量，利用線面角的向量公式即可求解.【詳解】（1）因為，平面，平面，所以平面，因為平面與平面的交線為，則平面，平面，所以（2）因為平面，所以，因為底面為正方形，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，，平面，所以平面，因為平面，所以（3）根據(jù)題意以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，設四棱錐的外接球的球心，半徑為，所以，解得：，所以，則，設平面的法向量為，，，則，即，取，則，，所以平面的法向量為設與平面所成角為，則，因為與平面所成角，則所以與平面所成角的正切值18．(1)2(2)(3)【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)即可求解．（2）先求出橢圓上的點距離圓心最遠的距離，再加上圓的半徑即可求解．（3）利用三角代換設出點坐標，求出兩點間的距離并結合角恒等變換求出最大值．【詳解】（1）橢圓C的長半軸長為2，短半軸長為1，橢圓上距離原點最遠的距離即為長半軸長，也即2．（2）設橢圓上一點，圓的圓心為，半徑，根據(jù)兩點間距離公式可得，，令，，則，則當時，，那么橢圓上的點到圓上的點的最遠距離．（3）橢圓上任取一點，橢圓上任取一點，，則，而，則，令，，，其中，而，當且僅當取等號，當時，，取，解得，當時，，取，解得，則，因此兩橢圓上點的最遠距離．19．(1)，其中；(2)；(3)，證明見解析.【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的有界性得到，解出即可；（2）代入，化簡，再求導，分和討論即可；（3）首先分析得，則當時，，再分