答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁山西省大同市平城區(qū)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期9月質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．某校高三年級有1200名學(xué)生，其中男生有660人，現(xiàn)按男女生人數(shù)比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個容量為40的樣本，則男生應(yīng)抽取的人數(shù)是（

）A．22 B．18 C．16 D．142．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．3．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．0 C． D．24．已知，則（

）A． B． C． D．5．不等式組的解集為（

）A． B． C． D．6．某會場的座位呈扇形分布，第一排有15個座位，從第二排起，每一排都比前一排多兩個座位，已知該會場能容納一個700人的代表團(tuán)，則該會場的座位至少有（

）A．20排 B．21排 C．22排 D．23排7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，的平分線交軸于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．8．在中，角的對邊分別為，若，則角的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，且（為常數(shù)），則10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．有三個單調(diào)區(qū)間B．在定義域上沒有最值C．若有三個零點(diǎn)，且有兩個極值點(diǎn)，則成等差數(shù)列D．若有三個零點(diǎn)，且有兩個極值點(diǎn)，則成等比數(shù)列11．我們把雙曲線過焦點(diǎn)的弦稱為焦點(diǎn)弦，垂直于雙曲線的實(shí)軸的焦點(diǎn)弦稱為通徑.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線，且為常數(shù)）的左、右焦點(diǎn)分別為，通徑長為為的右支上任意一點(diǎn)，作在點(diǎn)處的切線分別交兩漸近線于點(diǎn)，則（

）

A．的離心率 B．線段AB長度的最小值是C．一定是線段AB的中點(diǎn) D．的面積是定值三、填空題12．已知非零向量滿足，則與的夾角大小為.13．若函數(shù)的兩個極值點(diǎn)均為正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．在直三棱柱中，，點(diǎn)分別是棱和棱上的點(diǎn)，且為等邊三角形，若二面角的平面角為，則.四、解答題15．已知函數(shù).(1)求圖象的對稱軸方程；(2)若，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16．已知拋物線僅經(jīng)過中的一點(diǎn).(1)求的方程；(2)過的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，求證：直線過定點(diǎn).17．如圖，在四棱錐中，，，且.

(1)求證：；(2)若，求平面與平面所成角的余弦值.18．已知函數(shù).(1)若關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的值；(2)若當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．為紀(jì)念中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利80周年，某校組織相關(guān)知識的答題競賽，每名參賽選手都賦予5分的初始積分，每答對一題加1分，每答錯一題減1分.已知小明每道題答對的概率為，答錯的概率為，且每道題答對與否互不影響.(1)求小明答4道題后積分小于5的概率.(2)設(shè)小明答5道題后積分為，求.(3)若小明一直答題，直到積分為0或10時停止，記小明的積分為時最終積分為10的概率為，則.（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）求的值.《山西省大同市平城區(qū)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期9月質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案ADCACBADCDABD題號11答案ACD1．A【分析】根據(jù)題意利用分層抽樣的等比例性質(zhì)即可求解.【詳解】依題意，男生應(yīng)抽取的人數(shù)是人.故選：A.2．D【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)除法，結(jié)合復(fù)數(shù)概念求解判斷.【詳解】復(fù)數(shù)，所以所求虛部為.故選：D3．C【分析】根據(jù)給定的交集運(yùn)算的結(jié)果，結(jié)合集合元素的互異性求解.【詳解】由，得，解得，由，得且，解得且且且，即且且且，由，得，因此，即，則或（舍去），所以實(shí)數(shù)的值為.故選：C4．A【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式求解.【詳解】由，得.故選：A5．C【分析】根據(jù)分式不等式的解法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】由，解得，由，解得，因?yàn)?，所以，所以原不等式組的解集為，故選：C6．B【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式列式，再利用單調(diào)性確定答案.【詳解】依題意，該會場的座位構(gòu)成以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和，則，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，，由，得，所以該會場的座位至少有21排.故選：B7．A【分析】利用等面積法可得，結(jié)合可得，繼而利用比例的性質(zhì)可得，即得答案.【詳解】由題意知的平分線交軸于點(diǎn)，故，故，（d為的邊上的高），即得，結(jié)合可得，所以，對于有，故，即的離心率為.故選：A8．D【分析】利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可求得答案.【詳解】在中，由余弦定理結(jié)合得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，由此可知A為銳角，而在上單調(diào)遞減，故，所以的最大值為.故選：D9．CD【分析】求出判斷A；求出通項(xiàng)公式進(jìn)而判斷B；利用等差數(shù)列性質(zhì)判斷C；找出通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列意義判斷D.【詳解】對于A，，，數(shù)列不是等差數(shù)列，A錯誤；對于B，當(dāng)時，，滿足上式，因此，當(dāng)時，數(shù)列不是等比數(shù)列，B錯誤；對于C，是等差數(shù)列，，C正確；對于D，當(dāng)時，，，由是等比數(shù)列，得，因此，，D正確.故選：CD10．ABD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出單調(diào)區(qū)間及極值判斷AB；求出的值判斷CD.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得對于A，由，得；由，得或，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，A正確；對于B，由選項(xiàng)A知，在處取得極大值，在處取得極小值，而，，因此在上沒有最值，B正確；對于CD，，由選項(xiàng)AB，得，，，不成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，C錯誤，D正確.故選：ABD11．ACD【分析】根據(jù)給定條件，求得，進(jìn)而求出離心率判斷A；再設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)并寫出切線方程，聯(lián)立切線與雙曲線方程，借助判別式求出切線方程，然后逐一判斷BCD.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，當(dāng)時，，解得，由雙曲線的通徑為，得，解得，雙曲線，對于A，，因此的離心率，故A正確；對于B，設(shè)，不妨先探究雙曲線在第一象限的部分（其他象限由對稱性同理可得），由得，所以，則在點(diǎn)處的切線斜率為，所以在點(diǎn)處的切線方程為，又因?yàn)?，所以在點(diǎn)處的切線方程為，該方程具有一般性，設(shè)是切線與漸近線在第一象限的交點(diǎn)，是切線與漸近線在第四象限的交點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程為，由，解得，所以點(diǎn)，同理可得，則，又因?yàn)?，所以，即，故B錯誤；對于C，由B知，，所以是線段AB的中點(diǎn)，故C正確；對于D，如圖，設(shè)交軸于點(diǎn)，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為，令，得，所以點(diǎn)，則，是定值，故D正確.

故選：ACD12．【分析】由可得，利用平面向量數(shù)量積求解夾角即可.【詳解】因?yàn)?，所以，得，且，所以，設(shè)向量與的夾角為，則，又，所以．故答案為：.13．【分析】將的兩個極值點(diǎn)均為正數(shù)轉(zhuǎn)化為有兩個正根，由一元二次方程根的分布可求得結(jié)果.【詳解】由，則，由的兩個極值點(diǎn)均為正數(shù)，得有兩個正根，顯然，故需滿足，解得.故答案為：.14．1【分析】根據(jù)給定條件，利用幾何法確定二面角的平面角，再利用直角三角形邊角關(guān)系求出目標(biāo)值.【詳解】在直三棱柱中，取DE的中點(diǎn)，連接AF，由為等邊三角形，得，在平面內(nèi)過作于，連接FG，由平面，平面,得，而平面，則平面，又平面，于是，又平面，則平面，平面,故,故二面角的平面角，即，依題意，，又，，因此，所以.故答案為：115．(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式，，結(jié)合輔助角公式對函數(shù)進(jìn)行化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出的對稱軸方程；（2）求出在內(nèi)的值域，結(jié)合題給方程求出的取值范圍.【詳解】（1），因?yàn)榈膶ΨQ軸為，令，解得，所以圖象的對稱軸方程為.（2）當(dāng)時，，當(dāng)，即時，取最大值1，當(dāng)，即時，取最小值，則，因?yàn)?，使得成立，則有解，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.16．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）借助拋物線對稱性確定所過點(diǎn)，進(jìn)而求出拋物線方程.（2）設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線方程即可.【詳解】（1）拋物線關(guān)于軸對稱，而點(diǎn)關(guān)于軸對稱，若點(diǎn)之一在拋物線上，則另一點(diǎn)必在該拋物線上，不符合題意，因此點(diǎn)必在拋物線上，，解得，所以拋物線的方程為.（2）由（1）知，拋物線的焦點(diǎn)，顯然直線都不垂直坐標(biāo)軸，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由消去得，設(shè)，則，線段的中點(diǎn)，同理得線段的中點(diǎn)，當(dāng)時，直線斜率，直線方程為，整理得，直線過定點(diǎn)，當(dāng)時，或，直線過定點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn).

17．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用直角梯形特征證得，再利用線面垂直的判定性質(zhì)推理得證.（2）利用余弦定理求出，再利用線面垂直的判定，結(jié)合定義法求出二面角的余弦值.【詳解】（1）在直角梯形中，，，連接，，，則，，而，平面，因此平面，又平面，所以.

（2）由（1）得，，則，，又，平面，因此平面，而平面，則，作交于，連接，則，而平面，于是平面，又平面，則，是平面與平面所成的角，，又，則，所以平面與平面所成角的余弦值.18．(1)1；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)性質(zhì)，借助圖象求出值.（2）等價(jià)變形恒成立的不等式，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)分類探討求出的的范圍.【詳解】（1）由，得，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，且當(dāng)時，，當(dāng)時，且，作出的大致圖象如圖：

又，且有唯一的實(shí)數(shù)根，所以.（2）依題意，不等式在時恒成立，設(shè)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，不滿足條件；當(dāng)時，令，則，當(dāng)，即時，，則當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，滿足條件；當(dāng)，即時，由，得，當(dāng)時，，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，有，不滿足條件，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．(1)；(2)；(3).【分析】（1）分小明4題都答錯，或答對1題，答錯3題討論，再利用獨(dú)立事件乘法公式和加法公式即可得到答案；（2）設(shè)小明答對的題數(shù)為，得到關(guān)系式，再利用二項(xiàng)分布的均值公式和均值性質(zhì)即可得到答案；（3）（i）根據(jù)全概率公