專題02等式與不等式性質(zhì)、基本不等式（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律2.1不等式的基本性質(zhì)（對(duì)稱性、傳遞性、可加/乘性）能依據(jù)性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)值比較和不等式推導(dǎo)。基礎(chǔ)題，乘負(fù)變號(hào)是必考點(diǎn)。2.2基本不等式的形式與推導(dǎo)能準(zhǔn)確寫出基本不等式，理解其幾何意義。理解性考點(diǎn)，是應(yīng)用的基礎(chǔ)。2.3“一正二定三相等”的運(yùn)用條件能準(zhǔn)確判斷給定問(wèn)題是否滿足基本不等式的使用條件。高頻易錯(cuò)點(diǎn)，是解題的第一步，常被忽略。2.4直接利用基本不等式求最值能對(duì)符合“積定”或“和定”條件的表達(dá)式直接應(yīng)用公式求最值。最基礎(chǔ)的考查方式。2.5“配湊法”應(yīng)用基本不等式能通過(guò)拆項(xiàng)、添項(xiàng)、湊系數(shù)等技巧，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為可用基本不等式的形式。期中解答題核心考法，是能力的區(qū)分點(diǎn)。2.6換元法（化繁為簡(jiǎn)）當(dāng)表達(dá)式復(fù)雜時(shí)，能通過(guò)代換簡(jiǎn)化問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為基本不等式模型。重要技巧，常用于含根式條件最值問(wèn)題。2.7“1”的代換法（條件等式）當(dāng)已知條件能巧妙地運(yùn)用或變形“1”，可將目標(biāo)式乘以“1”進(jìn)行計(jì)算。高頻題型，技巧性強(qiáng)，是高分的關(guān)鍵。2.8分式型最值問(wèn)題能處理形如(二次式)/(一次式)”或(一次式)/(二次式)”的函數(shù)，通過(guò)分離常數(shù)、換元或基本不等式求最值。常見中檔題，分離常數(shù)是常用技巧。2.9二次使用基本不等式（連續(xù)放縮）能判斷在什么情況下需要兩次或多次使用基本不等式，并保證每次放縮的等號(hào)能同時(shí)成立。難度最高的題型之一，常用于證明或求復(fù)雜式子的最值，對(duì)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性要求高。2.10恒成立問(wèn)題中求參數(shù)范圍（綜合應(yīng)用）對(duì)于恒成立的問(wèn)題，能將其轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)式的最小值或最大值，從而確定參數(shù)a的范圍。期中壓軸題常見模式，綜合性強(qiáng)，易錯(cuò)點(diǎn)在于混淆“≥最大值”與“≤最小值”的邏輯關(guān)系。2.11基本不等式在實(shí)際問(wèn)題（如面積、成本最優(yōu)化）中的應(yīng)用能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型，并利用基本不等式求解最值。命題趨勢(shì)偏向應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模能力知識(shí)點(diǎn)01等式的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)02比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小是用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)定義的，有：知識(shí)點(diǎn)03不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容1對(duì)稱性a>b?b＜a2傳遞性a>b,b>c?a＞c3可加性a>b?a+c＞b+c推論1：a+b>c?a>c?b；推論2：a>b,c>d?a+c>b+d4可乘性a>b,c>0?ac＞bca>b,c<0?ac<bc；推論3：a>b>0,c>d>0?ac>bd；推論4：a>b>0?an＞bn（n∈N推論5：a>b>0?5取倒數(shù)a>b,ab>0?1a＜1知識(shí)點(diǎn)04基本不等式如果a≥0,b≥0，那么a+b2≥ab（當(dāng)且僅當(dāng)說(shuō)明：①對(duì)于非負(fù)數(shù)a,b，我們把a(bǔ)+b2稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為a,b的幾何平均數(shù)②我們把不等式ab≤a+b③“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取‘=’號(hào)”這句話的含義是：一方面是當(dāng)a=b時(shí)，有ab=a+b2；另一方面當(dāng)ab=④結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：和式與積式的關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)05利用基本不等式求最值①已知x，y是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2P②已知x，y是正數(shù)，如果和x+y等于定值S，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值．S2知識(shí)點(diǎn)06幾個(gè)重要不等式（1）a2+b2≥2ab（a變形式：ab≤a2+b22（（2）基本不等式：ab≤a+b2（a>0，b>0變形式：a+b≥2ab（a>0，b>0），ab≤a+b22（a，（3）a2+b2+c2≥ab+bc+ca（（4）若ab>0，則ba+ab≥2知識(shí)點(diǎn)07基本不等式鏈知識(shí)點(diǎn)08權(quán)方和不等式的二維形式(注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級(jí)應(yīng)用，足以解決高考中的這類型最值問(wèn)題的秒殺)知識(shí)點(diǎn)09糖水不等式定理通俗的理解:就是克的不飽和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,則糖水更甜;知識(shí)點(diǎn)10糖水不等式的倒數(shù)形式:題型一由已知條件判斷所給不等式是否正確解｜題｜技｜巧直接法：依據(jù)不等式基本性質(zhì)（對(duì)稱性、傳遞性、可加性、可乘性等），結(jié)合已知條件直接推導(dǎo)判斷。（2）特殊值法：選取滿足已知條件的特殊數(shù)值代入不等式，驗(yàn)證是否成立。（3）作差（商）法：對(duì)不等式兩邊作差（商），結(jié)合已知條件判斷差（商）的正負(fù)，進(jìn)而確定不等式是否成立（作商法需注意正負(fù)），部分復(fù)雜式子判斷可用此思路延伸。【答案】C【分析】由不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析得解.故選：C【典例2】（2425高一上·山東濰坊·期中）（多選）已知實(shí)數(shù)，，，則（

）【答案】BC【分析】利用不等式的性質(zhì)，逐個(gè)驗(yàn)證各選項(xiàng)的條件下結(jié)論是否成立.故選：BC.【變式1】（2425高一上·湖北黃岡·期中）下列命題正確的是（

）【答案】B【分析】舉例說(shuō)明判斷AD；利用不等式的性質(zhì)推理判斷BC.故選：B【答案】ABD【分析】舉反例可判斷ABD；利用不等式的性質(zhì)可判斷C.故選：ABD.題型二由不等式關(guān)系，求解不等式范圍解｜題｜技｜巧（1）直接運(yùn)算：依據(jù)不等式基本性質(zhì)，對(duì)已知不等式變形求解即可．（2）線性組合：若求多個(gè)式子線性組合的范圍，先將目標(biāo)式表示為已知范圍式子的線性組合，再利用不等式性質(zhì)，分別求各組合部分范圍后“同向可加”即可.【答案】A故選：A.【答案】D【分析】根據(jù)的取值范圍，可得到以及的取值范圍，然后相加相乘即可得解.故選：D.【答案】AC【分析】利用不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.故選：AC.題型三作差法比較式子大小關(guān)系【答案】>【分析】作差法比較大小.故答案為：>【答案】【分析】利用作差法可得出、的大小關(guān)系.故答案為：.【答案】>【分析】作差法比較出大小.故答案為：>題型四糖水不等式及其應(yīng)用（跨章節(jié)）【答案】C【分析】根據(jù)題意建立不等關(guān)系即可.故選：C【答案】A【分析】利用條件及不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.故選：A.(1)證明糖水不等式；【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由作差法證明；（2）由糖水不等式變形證明．所以原不等式成立．題型五直接用基本不等式求和或積的最值解｜題｜技｜巧（1）定條件：確認(rèn)“一正（各項(xiàng)為正）、二定（和或積為定值）、三相等（等號(hào)能取到，即存在實(shí)數(shù)使等號(hào)成立）”.（3）代計(jì)算：代入定值，結(jié)合等號(hào)成立條件（驗(yàn)證是否滿足“三相等”），算出最值.A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由基本不等式進(jìn)行求解即可.故選：C【答案】A【分析】結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算，由基本不等式即可求解.故選：AA． B． C． D．100【答案】A【分析】運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解即可.故選：AA．8 B．7 C．6 D．5【答案】B故選：B.題型六巧用“1”或常數(shù)關(guān)系及拼湊法求最值（含權(quán)方和不等式的應(yīng)用）解｜題｜技｜巧（1）找“1”或常數(shù)：觀察條件，將已知等式變形出“1”或常數(shù)，用于構(gòu)造可基本不等式形式。（2）乘“1”拼湊：用變形出的“1”或常數(shù)，將目標(biāo)式與含“1”或常數(shù)的式子相乘展開，湊出能用基本不等式求解的式子。（3）驗(yàn)證等號(hào)：展開后用基本不等式求最值，同時(shí)驗(yàn)證等號(hào)成立條件，確保最值有效。A．6 B．7 C． D．【答案】D故選：D.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D故選：DA． B． C． D．【答案】C故選：C題型七二次與二次（一次）的商式求最值A(chǔ)．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】將解析式化簡(jiǎn)湊出積為常數(shù)，再由基本不等式求出函數(shù)的最小值．則函數(shù)的最小值是4，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是對(duì)解析式化簡(jiǎn)湊出定值，注意三個(gè)條件的驗(yàn)證，屬于基礎(chǔ)題．【答案】所以原函數(shù)的最小值為.故答案為：【變式2】（2425高一上·甘肅蘭州·期中）求解下列各題：【答案】(1)(2)題型八換元法求最值【答案】【詳解】【典例2】已知正數(shù)a，b，c滿足2a+b+3c=8，則a+b+2cb+c+1A．22 B．3+224 C．3【答案】D【詳解】正數(shù)a，b，c滿足2a+b+3c=8，故2a+c令a+c=m,b+c=n，故2m+n=8，m>0,n>0，a+b+2c=8?n4n當(dāng)且僅當(dāng)8mn=nm，即故a+b+2cb+c故選：D【變式1】已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y≤2且x?y>0，則2【答案】3+2【詳解】設(shè)x+3y=mx?y=n，則2x+2y=m+n≤42當(dāng)且僅當(dāng)n2m=m4n且m+n=4，即故答案為：3+2【答案】/故答案為：題型九兩次應(yīng)用基本不等式求最值【典例1】對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a,b,c，滿足b+c=1，則8ab2+a【答案】16【詳解】任意的正實(shí)數(shù)a,b,c，滿足b+c=1，8a=a?由于b,c為正實(shí)數(shù)，故由基本不等式得9bc當(dāng)且僅當(dāng)9bc=c所以a?≥28當(dāng)且僅當(dāng)8a+1=16綜上，8ab2+a故答案為：16【點(diǎn)睛】利用基本不等式求解最值問(wèn)題，方法靈活，式子不能直接使用基本不等式時(shí)，常常需要變形，比如湊項(xiàng)法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等【變式1】已知實(shí)數(shù)m，n滿足m>2n>0，則m2+2【答案】8【詳解】因?yàn)閙>2n>0，所以m?2n>0，n∴m=≥4n≥2當(dāng)且僅當(dāng)8nm?2n=2所以m2故答案為：8.題型十條件等式變形求最值A(chǔ)．11 B．10 C．9 D．8【答案】D故選：D【答案】2【分析】將等式變形后運(yùn)用基本不等式即可求得最值.故答案為：2；.【答案】35故答案為：35【答案】4故答案為：4題型十一利用基本不等式在恒成立問(wèn)題中求參數(shù)的范圍【答案】C故選：C題型十二基本不等式的應(yīng)用【答案】B【分析】利用基本不等式可求面積的最大值.故選：B.【變式1】（2425高一上·四川眉山·期中）用一段長(zhǎng)為的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)，則能圍成的菜園面積的最大值為.【答案】故答案為：.

期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）一、單選題【答案】B【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)逐一判斷即可.故選：BA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】通過(guò)舉特例及不等式性質(zhì)可判斷選項(xiàng)正誤.故是的充分不必要條件.故選：A3．（2425高一上·福建福州·期中）用一段長(zhǎng)為的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園（菜園的一邊靠墻），菜園的面積最大是（

）A．36 B．144 C．60 D．72【答案】D【分析】利用基本不等式求最值即可.故選：D【答案】B故選：B.A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式求解積的最值.故選：C二、多選題6．（2425高一上·貴州·期中）下列命題中，不正確的是（

）【答案】AB【分析】利用不等式的性質(zhì)，推理判斷ACD；舉例說(shuō)明判斷B.故選：AB【答案】BCD【分析】利用基本不等式和不等式的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)判斷正誤即可．故選：BCD.三、解答題【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)直接求解即可；期中重難突破練（