5/51.3空間幾何體的表面積和體積本套習(xí)題與答案并未分離，請(qǐng)教師二次編輯后進(jìn)行使用.1．用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為________．解析：截面圓的半徑為1，又球心到截面距離等于1，所以球的半徑R＝eq\r(2)，故球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(8,3)eq\r(2)π.答案：eq\f(8\r(2)π,3)2．在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，則該三棱錐的體積為________．解析：eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,2)AD·AC＝eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)AB·AD＝eq\f(\r(6),2)，∴AB＝eq\r(2)，AC＝1，AD＝eq\r(3).∴V＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·1·eq\r(2)·eq\r(3)＝eq\f(\r(6),6).答案：eq\f(\r(6),6)3．已知一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面相切，若這個(gè)球的體積是eq\f(32π,3)，則這個(gè)三棱柱的體積是________．解析：由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3)，得R＝2.∴正三棱柱的高h(yuǎn)＝4.設(shè)其底面邊長(zhǎng)為a，則eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)a＝2.∴a＝4eq\r(3).∴V＝eq\f(\r(3),4)(4eq\r(3))2·4＝48eq\r(3).答案：48eq\r(3)4．若正方體的棱長(zhǎng)為eq\r(2)，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為________．解析：所求八面體體積是兩個(gè)底面邊長(zhǎng)為1，高為eq\f(\r(2),2)的四棱錐的體積和，一個(gè)四棱錐體積V1＝eq\f(1,3)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6)，故八面體體積V＝2V1＝eq\f(\r(2),3).答案：eq\f(\r(2),3)5．已知OA為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M.若圓M的面積為3π，則球O的表面積等于__________．解析：由題意得圓M的半徑r＝eq\r(3)，又球心到圓M的距離為eq\f(R,2)，由勾股定理得R2＝r2＋(eq\f(R,2))2，∴R＝2，則球的表面積為4π×22＝16π.答案：16π6．體積為8的一個(gè)正方體，其全面積與球O的表面積相等，則球O的體積等于________．解析：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則a3＝8，∴a＝2.∵S正方體＝S球，∴6×22＝4πR2，∴R＝eq\r(\f(6,π)).V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π(eq\r(\f(6,π)))3＝eq\f(8\r(6π),π).答案：eq\f(8\r(6π),π)7．若長(zhǎng)方體的三個(gè)共頂點(diǎn)的面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則長(zhǎng)方體的體積是________．解析：可設(shè)長(zhǎng)方體同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，列出方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,bc＝\r(3)，,ac＝\r(6)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)，,b＝1，,c＝\r(3).))所以長(zhǎng)方體的體積V＝1×eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6).答案：eq\r(6)8．在一個(gè)錐體中，作平行于底面的截面，若這個(gè)截面面積與底面面積之比為1∶3，則錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為________解析：利用一個(gè)錐體被平行于底面的截面所截得的小錐體與原錐體體積之比等于相似比的立方，而這個(gè)截面面積與底面面積之比等于相似比的平方．答案：1∶3eq\r(3)9．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2eq\r(3)，則四面體A－B1CD1的外接球的體積為________．解析：四面體A－B1CD1的外接球即為正方體的外接球，所以2r＝eq\r(3×(2\r(3))2).∴r＝3，V球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×27＝36π.答案：36π10．如圖，在三棱錐P－ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.(1)證明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱錐P－ABC的體積．解：(1)證明：因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°，所以Rt△PBC≌Rt△PAC，可得AC＝BC.如圖，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD、CD，則PD⊥AB，CD⊥AB，所以AB⊥平面PDC，所以AB⊥PC.(2)作BE⊥PC，垂足為E，連結(jié)AE.因?yàn)镽t△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC，AE＝BE.由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB＝90°.因?yàn)镽t△AEB≌Rt△PEB，所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面積S＝2.因?yàn)镻C⊥平面AEB，所以三棱錐P－ABC的體積V＝eq\f(1,3)×S×PC＝eq\f(8,3).11．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB＝2，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．(1)求證：AF⊥平面CDE；(2)求證：AF∥平面BCE；(3)求四棱錐C－ABED的體積．解：(1)證明：∵F為等邊三角形CD邊上的中點(diǎn)，∴AF⊥CD，∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴AF⊥DE，又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.(2)證明：取CE的中點(diǎn)G，連FG、BG.∵F為CD的中點(diǎn)，∴GF∥DE且GF＝eq\f(1,2)DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝eq\f(1,2)DE，∴GF＝AB.∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG.∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE.(3)取AD中點(diǎn)M，連結(jié)CM，∵△ACD為等邊三角形，則CM⊥AD，∵DE⊥平面ACD，且DE?平面ABED，∴平面ACD⊥平面ABED，又平面ACD∩平面ABED＝AD，∴CM⊥平面ABED，∴CM為四棱錐C－ADEB的高，∴V＝eq\f(1,3)CM·SABED＝eq\f(1,3)AF·SABED＝eq\r(3).12．如圖，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A、B的任意一點(diǎn)，A1A＝AB＝2.(1)求證：BC⊥平面A1AC；(2)求三棱錐A1－ABC的體積的最大值．解：(1)證明：∵C是底面圓周上異于A、B的任意一點(diǎn)，且AB是圓柱底面圓的直徑，∴BC⊥AC.∵AA1⊥平面ABC，BC平面ABC，∴AA1⊥BC.∵AA1∩AC＝A，AA1平面AA1C，AC平面AA1C，∴BC⊥平面AA1C.(2)設(shè)AC＝x，在Rt△ABC中，BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(4－x2)(0＜x＜2)，故VA1－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·AC·BC·AA1＝eq\f(1,3)xeq\r(4－