2025年北京市第二十七中學(xué)數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．曲線上存在兩點A，B到直線到距離等于到的距離，則（）A.12 B.13C.14 D.152．一質(zhì)點從出發(fā)，做勻速直線運動，每秒的速度為秒后質(zhì)點所處的位置為（）A. B.C. D.3．設(shè)命題，，則為（）.A.， B.，C.， D.，4．在空間直角坐標(biāo)系中，為直線的一個方向向量，為平面的一個法向量，且，則（）A. B.C. D.5．平面的法向量為，平面的法向量為，則下列命題正確的是（）A.，平行 B.，垂直C.，重合 D.，相交不垂直6．已知命題,命題,，則下列命題中為真命題的是A. B.C. D.7．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，則下列數(shù)量積最大的是（）A. B.C. D.8．如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中①與平行；②與是異面直線；③與成60°角；④與是異面直線以上四個結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④9．《米老鼠和唐老鴨》這部動畫給我們的童年帶來了許多美好的回憶，令我們印象深刻.如圖所示，有人用3個圓構(gòu)成米奇的簡筆畫形象.已知3個圓方程分別為：圓圓，圓若過原點的直線與圓、均相切，則截圓所得的弦長為（）A B.C. D.10．雙曲線與橢圓的焦點相同，則等于（）A.1 B.C.1或 D.211．曲線上的點到直線的距離的最小值是（）A.3 B.C.2 D.12．設(shè)是兩個非零向量，則“”是“夾角為鈍角”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，正方形ABCD的邊長為8，取正方形ABCD各邊的中點E，F(xiàn)，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I，J，K，L，作第3個正方形IJKL.依此方法一直繼續(xù)下去.①從正方形ABCD開始，第7個正方形的邊長為___；②如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么作到第n個正方形，這n個正方形的面積之和為___.14．將數(shù)列{n}按“第n組有n個數(shù)”的規(guī)則分組如下：（1），(2，3)，(4，5，6)，…，則第22組中的第一個數(shù)是_________15．已知直線：與直線：平行，則的值為___________.16．寫出一個離心率且焦點在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程________,并寫出該雙曲線的漸近線方程________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）橢圓C：的左右焦點分別為，，P為橢圓C上一點.（1）當(dāng)P為橢圓C的上頂點時，求的余弦值；（2）直線與橢圓C交于A，B，若，求k18．（12分）已知四邊形是菱形，四邊形是矩形，平面平面，，，G是的中點（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值19．（12分）我們知道，裝同樣體積的液體容器中，如果容器的高度一樣，那么側(cè)面所需的材料就以圓柱形的容器最省.所以汽油桶等裝液體的容器大都是圓柱形的，某臥式油罐如圖1所示，它垂直于軸的截面如圖2所示，已知截面圓的半徑是1米，弧的長為米表示劣弧與弦所圍成陰影部分的面積.（1）請寫出函數(shù)表達(dá)式；（2）用求導(dǎo)的方法證明.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，證明：存在唯一的零點；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知數(shù)列{an}滿足，（1）記，證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；（2）記數(shù)列{bn}前n項和為Tn，證明：22．（10分）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓E于A，B兩點．當(dāng)軸時，（1）求橢圓E的方程；（2）求的范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題可知A，B為半圓C與拋物線的交點，利用韋達(dá)定理及拋物線的定義即求.【詳解】由曲線，可得，即，為圓心為，半徑為7半圓，又直線為拋物線的準(zhǔn)線，點為拋物線的焦點，依題意可知A，B為半圓C與拋物線的交點，由，得，設(shè)，則，，∴.故選：D.2、A【解析】利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】2秒后質(zhì)點所處的位置為.故選：A【點睛】本題考查了空間向量的線性運算，考查了基本知識掌握的情況以及學(xué)生的綜合素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】根據(jù)全稱命題和特稱命題互為否定，即可得到結(jié)果.【詳解】因為命題，，所以為，.故選：B.4、B【解析】由已知條件得出，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得實數(shù)的值.【詳解】因為，則，解得.故選：B.5、B【解析】根據(jù)可判斷兩平面垂直.【詳解】因為，所以，所以，垂直.故選：B.6、D【解析】命題是假命題，命題是真命題，根據(jù)復(fù)合命題的真值表可判斷真假.【詳解】因為，故命題是假命題，又命題是真命題，故為假，為假，為假，為真命題，故選D.【點睛】復(fù)合命題的真假判斷有如下規(guī)律：（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；（3）：真假相反.7、B【解析】設(shè)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得，，，，根據(jù)向量數(shù)量積的定義逐一計算，比較可得答案.【詳解】解：設(shè)，因為平面，所以，，，，又底面是正方形，所以，，對于A，；對于B，；對于C，；對于D，，所以數(shù)量積最大的是，故選：B.8、C【解析】根據(jù)平面展開圖可得原正方體，根據(jù)各點的分布逐項判斷可得正確的選項.【詳解】由平面展開圖可得原正方體如圖所示：由圖可得：為異面直線，與不是異面直線，是異面直線，故①②錯誤，④正確.連接，則為等邊三角形，而，故或其補角為與所成的角，因為，故與所成的角為，故③正確.綜上，正確命題的序號為：③④.故選：C.【點睛】本題考查正方體的平面展開圖，注意展開圖中的點與正方體中的頂點的對應(yīng)關(guān)系，本題屬于容易題.9、A【解析】設(shè)直線，利用直線與圓相切，求得斜率，再利用弦長公式求弦長【詳解】設(shè)過點的直線.由直線與圓、圓均相切，得解得(1).設(shè)點到直線的距離為則(2).又圓的半徑直線截圓所得弦長結(jié)合(1)(2)兩式，解得10、A【解析】根據(jù)雙曲線方程形式確定焦點位置，再根據(jù)半焦距關(guān)系列式求參數(shù).【詳解】因為雙曲線的焦點在軸上，所以橢圓焦點在軸上，依題意得解得.故選：A11、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點為，依題意即過切點的切線恰好與直線平行，此時切點到直線的距離最小，求出切點坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，設(shè)切點為，則，解得，所以切點為，點到直線的距離，所以曲線上的點到直線的距離的最小值是；故選：D12、B【解析】因為時，夾角為鈍角或平角；而當(dāng)夾角為鈍角時，成立，所以“”是“夾角為鈍角”的必要不充分條件．故選B考點：1向量的數(shù)量積；2充分必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.1②.【解析】根據(jù)題意，正方形邊長成等比數(shù)列，正方形的面積等于邊長的平方可得，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的前n項和的公式即可求解.【詳解】設(shè)第n個正方形的邊長為，第n個正方形的面積為，則第n個正方形的對角線長為，所以第n+1個正方形的邊長為，，∴數(shù)列{}是首項為，公比為的等比數(shù)列，，∴，即第7個正方形的邊長為1；∴數(shù)列{}是首項為，公比為的等比數(shù)列，故答案為：1；.14、【解析】由已知，第組中最后一個數(shù)即為前組數(shù)的個數(shù)和，由此可求得第21組的最后一個數(shù)，從而就可得第22組的第一個數(shù).【詳解】由條件可知，第21組的最后一個數(shù)為，所以第22組的第1個數(shù)為.故答案為：15、-1【解析】根據(jù)兩直線平行的條件列式求解即可.【詳解】由題意可知，的斜率，的斜率，∵，∴解得.故當(dāng)時，直線：與直線：平行.故答案為：-1.16、①.(答案不唯一)②.(答案不唯一)【解析】令雙曲線為，根據(jù)離心率可得，結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系寫出一個符合要求的雙曲線方程，進(jìn)而寫出對應(yīng)的漸近線方程.【詳解】由題設(shè)，可令雙曲線為且，∴，則，故為其中一個標(biāo)準(zhǔn)方程，此時漸近線方程為.故答案為：，(答案不唯一).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用余弦定理可求頂角的余弦值.（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式可求的值.【小問1詳解】當(dāng)為橢圓的上頂點時，，在中，由余弦定理知.【小問2詳解】設(shè)，，將直線與橢圓:聯(lián)立得：，因為直線過焦點，故恒成立，又，由弦長公式得，化簡整理得：，解得.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設(shè)，線段的中點為H，分別連接，可證，從而可得平面；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量和平面的一個法向量后可求二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：設(shè)，線段的中點為H，分別連接又因為G是的中點，所以因為四邊形為矩形，據(jù)菱形性質(zhì)知，O為的中點，所以，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以又因為平面，平面，所以平面【小問2詳解】解：據(jù)四邊形是菱形的性質(zhì)知，又因為平面平面，平面，平面平面，故平面，所以以分別為x軸，y軸，以過與的交點O，且垂直于平面的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則有，所以設(shè)平面的一個法向量，則令，則，且，所以設(shè)平面的一個法向量，則令，則，且，所以所以，所以二面角的正弦值為19、（1），（2）證明見解析【解析】（1）由弧長公式得，根據(jù)即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單調(diào)遞增，即可證明.【小問1詳解】由弧長公式得，于是，【小問2詳解】cos，顯然在上單調(diào)遞增，于是.20、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）當(dāng)時，求導(dǎo)得到，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，可證得命題成立；（2）當(dāng)且時，不滿足題意，故，又定義域為，講不等式化簡，參變分離后構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性并求出最值，可得實數(shù)的取值范圍【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，由，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；.且，故存在唯一的零點；（2）當(dāng)時，不滿足恒成立，故由定義域為，可得，令，則，則當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)取得最大值（1），故實數(shù)的取值范圍是【點睛】方法點睛：本題考查函數(shù)零點的問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查不等式的恒成立問題，關(guān)于恒成立問題的幾種常見解法總結(jié)如下：

參變分離法，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化函數(shù)求最值問題；

主元變換法，把已知取值范圍的變量作為主元，把求取值范圍的變量看作參數(shù)；

分類討論，利用函數(shù)的性質(zhì)討論參數(shù)，分別判斷單調(diào)性求出最值；

數(shù)形結(jié)合法，將不等式兩端的式子分別看成兩個函數(shù)，作出函數(shù)圖象，列出參數(shù)的不等式求解21、（1）證明見解析；bn=2n（2）證明見解析【解析】（1）由遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列即可求解；（2）由（1）求出，再用裂項相消法求和后就可以證明不等式.【小問1