升初數(shù)學(xué)拔高題及解法：替代法

例1一塊布，可以做3套大人衣服或7套兒童.衣服。已知做一套大人衣服比做一套兒

童衣服多用布8尺。做?套大人衣服和兒童衣服各用布多少尺？

解：將3套大人衣服改做兒童衣服，則少用布8X3=24（尺），這些布剛好可以做7-3=4

套兒童衣服。因此，一套兒童衣服用布24+4=6（尺）。即

（8X3）+（7-3）=6（尺）

一套大人衣服用布：

8+6=14（尺）

例2一個(gè)水果店有水果845公斤，其中桃子比鴨梨的3倍還多25公斤。間各有多少公

斤？

解：根據(jù)已知條件，假如用鴨梨代替桃子，那么桃子就相稱(chēng)于3份鴨梨再加上25公斤。

從總數(shù)中減去25公斤，就相稱(chēng)（3+1）份鴨梨，從而可求出鴨梨的重量。

鴨梨（845-25）+（3+1）=205（公斤）

桃子845-205=640（公斤）

類(lèi)似以上兩例的特點(diǎn)是，題目只給出兩個(gè)未知數(shù)量的關(guān)系，規(guī)定這兩個(gè)未知數(shù)量，思

考時(shí)，可根據(jù)所給的條件：用一個(gè)未知數(shù)量代替另一個(gè)未知數(shù)量，從而找到解題途徑小升

初數(shù)學(xué)拔高題及解法：特殊結(jié)論

特殊結(jié)論，幫助大家梳理數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，供大家在數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)時(shí)使用，祝同學(xué)們順利考入

抱負(fù)學(xué)校。

有些題目按照一般的思考方法解答，或者較麻煩，或者不能獲得對(duì)的答案。用特殊結(jié)論

解題，思緒清楚，方法簡(jiǎn)便。

例1周長(zhǎng)為28cm的長(zhǎng)方形，假如長(zhǎng)和寬都增長(zhǎng)1cm,這個(gè)長(zhǎng)方形的面積增長(zhǎng)多少？

增力瞰

/X

增長(zhǎng)部分的面積=(半周長(zhǎng)+增長(zhǎng)數(shù))X增長(zhǎng)數(shù)。分析示意圖，不難發(fā)現(xiàn)。

(284-2+1)X1=15(cm2)

例2周長(zhǎng)為28cm的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)增長(zhǎng)1cm,寬增長(zhǎng)2cm,面積增長(zhǎng)24cm2,求原長(zhǎng)方形的

面積。

思緒一：假設(shè)長(zhǎng)和寬都增長(zhǎng)1cm,根據(jù)以上結(jié)論，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積增長(zhǎng)：(28?2+1)

X1=15(cm2),因?qū)嶋H寬比假設(shè)多增長(zhǎng)1cm,而面積多增長(zhǎng)2475=9(cm2)如圖，所以原長(zhǎng)方

形的長(zhǎng)為9+1-1=8(cm)。寬為28+2-8=6(cm)。

面積是8X6=48(cm2)

思緒二：假設(shè)長(zhǎng)和寬都增長(zhǎng)2cm,根據(jù)以上結(jié)論，面積增長(zhǎng)：

2g

2

(―+2)X2=32(cm):

與題給條件24cm2相差8cm2這是由于長(zhǎng)沒(méi)增長(zhǎng)2cm,只增長(zhǎng)1cm,假設(shè)比實(shí)際多的部分

的面積如圖中陰影部分的面積。所以，原長(zhǎng)方形的寬為8+1-2=26(cm),長(zhǎng)為28?

2-6=8(cm)o

面積為8X6=48(cm2)

例3如圖，已知S陰影=6.28cm2,求空白部分的圓面積。

S圓=6.28X2

=12.56(cm2)根據(jù):

結(jié)論一一任意一個(gè)圓心角為90°的扇形面積，等于以這個(gè)扇形的半徑為直徑的圓的而

積。

證明:

設(shè)有一圓心角為90°,半徑為R的扇形。

則它的面積為

22

71RX—=1TTR

3604

直徑為R的圓的面積為

結(jié)論，得證。

小升初數(shù)學(xué)拔高題及解法：特殊值

有些數(shù)學(xué)題，按一般思緒不易求解，若從給出的特殊值入手，緊扣條件和問(wèn)題之間的

聯(lián)系，將會(huì)優(yōu)化解題思緒：不久找到解題捷徑。

例1如圖，梯形ABCD被它的一條對(duì)角線BD分為兩部分，SADBC比SAABD大10cm2o

BC與AD的和為bcm,差為bcm,求S梯？

一般是借助“輔助線”解。其實(shí)只要仔細(xì)分析題意，運(yùn)用給出的特殊條件可簡(jiǎn)捷求解。

△ABD-^ADBC,如果分別以AD=巴2=5(cm),BC=15-5=10(cm)為

2

底，它們等高，由BC=2AI),知△BDC=24AB【)。所以，S梯=1()X(2+1)=30(cm2)。

例2設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為6厘米和8厘米，用四個(gè)這樣的直角三角形拼

成如圖所示正方形，求大正方形的邊長(zhǎng)。

此題用勾股定理求解=10。通過(guò)觀測(cè)可以發(fā)現(xiàn)，大正方形和陰影部分小正方形的面

積是條件和問(wèn)題的聯(lián)系紐帶。小正方形的邊長(zhǎng)為直角三角形兩條直角邊之差8-6=2(cm),大

正方形面積為四個(gè)直角三角形的面積和小正方形面積的和。

1/2X8X6X4+(8-6)2=100(cm2),

這個(gè)面積是一個(gè)特殊值100-10X10,所以大正方形的邊長(zhǎng)為lOcmo

例3四個(gè)同樣的長(zhǎng)方形和一個(gè)小的正方形拼成了一個(gè)大正方形(如圖)大正方形的面積

是49平方米，小正方形面積是4平方米。問(wèn)長(zhǎng)方形的短邊長(zhǎng)度是幾米？(第一屆“華羅庚金

杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽復(fù)賽題)

|t|于4=2X2,49=7X7,所以小正方形邊長(zhǎng)2cm,大正方形邊長(zhǎng)7cm。

長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬之和為7cm,差為2cm,即

長(zhǎng)+寬=7①

長(zhǎng)一寬=2②

從而可求得，寬為2.5cm.

例41992年奧林匹克決賽題：一個(gè)正方形（如圖），被分成四個(gè)長(zhǎng)方形，他們的面積分別是

—2m\Lm——m2?

105510

圖口陰彩部分是一個(gè)正方形，那么它的面積是多少平方米.

w3i1i+15?f=1（m2）,可見(jiàn)大正方形的面積是一個(gè)特殊值1=1X1，

大正方形邊長(zhǎng)為1米。仔細(xì)現(xiàn)察還可發(fā)現(xiàn)小正方形的邊長(zhǎng)與長(zhǎng)方形I、HI的長(zhǎng)和寬有關(guān)。

只要求出HI的長(zhǎng)和I的寬即可求得小正方形的邊長(zhǎng)了.

由于III和W的寬相等，因此長(zhǎng)之比為］:^=2：1,那么IH的長(zhǎng)為IX

三=1米），同樣I的寬和口的寬之比為焉：,=3：4,I的寬為IX

乙J1J1M<

3

豆7=3/7（米）。

小正方形的邊長(zhǎng)為『A奈米），面積為

t乙1L

/亮奇解）。

小升初數(shù)學(xué)拔高題及解法：通用公式

一般的平面圖形都可以用公式S=“xh

2

（a、b互為兩個(gè)平行的底邊長(zhǎng)，h為兩底間的距離）

例1一個(gè)三角形的底為6cm,高為4cm,求面積.

0+6?

S=2x4=12(cm2)

例2一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)8cm,寬2cm,求面積.

8+8

S=-^—X2=16(cm02)

例3一個(gè)梯形的上底為12cm,下底為13cm,高為3cm,求面積.

12+18?

S=——X3=45*)

例4一個(gè)平行四邊形的底邊長(zhǎng)9cn,高5cm,求面積。

9+9

S=-^-X5=45(cm2)

例5一個(gè)圓的周長(zhǎng)是12.56cm,半徑是2cm,求圓的面積。

0+12.56°

S=-----------X2=12,56(cm2)

例6一個(gè)扇環(huán)，內(nèi)圓周長(zhǎng)18.84cm,外圓周長(zhǎng)31.4cm,環(huán)寬2cm,求環(huán)形面積。

c18.84+31.4…2、

S=---------------X2=50.240?)

例？求下圖的面積。(單位：厘米)

一般解法：3.14X30=94.2

15.74-94.2=1/6

5=3.14X152X1/6

=117.75(cm2)

巧妙解法：X15=117.75(cm2)

乙

小升初數(shù)學(xué)拔高題及解法：退法

（1）從復(fù)雜退到簡(jiǎn)單

例1一袋米，第一次用去短還多2千克，第二次用去余下的!還少1

22千克，還剩下小

千克。這袋米重多少千克？

“1”?

.剩叫吐壁岬千克

I------------------------y---------1r---------1

__________2-克1千克

一用二用

先退一步想：如果第二次正好用了剩的那么該剩19千克，第一次用

2后剩19X2=

38（千克）

繼續(xù)這樣想，若第一次只用了全袋的;，則應(yīng)剩38+2=40（千克）。

所求40X2=80（千克）

（2）從一般退到特殊

例2一只輪船往返于甲、乙碼頭一次，問(wèn)：靜水中航行所花時(shí)間長(zhǎng)，還是流水中航行所花時(shí)

間長(zhǎng)，還是所花時(shí)間一樣長(zhǎng).

這樣的問(wèn)題，一時(shí)很難作出解答.我們可以把何題足夠地“退”，“退”到一種非常特殊的

情況：假定船速等于水速，船在逆水航行時(shí)將停止不前，這就是說(shuō)，船無(wú)論花費(fèi)多長(zhǎng)時(shí)間，也無(wú)

法在這樣的流水中完成兩碼頭之間的往返航行。而在靜水中航行的話(huà)，往返一次所花時(shí)間總是

“往”（或“返”）時(shí)的2倍,因此在流水中花的時(shí)間最長(zhǎng).

如時(shí)速3千米的一只小船，往返一段12千米的行程,如果水時(shí)速1千米，需幾小時(shí)?若是靜

水，需幾小時(shí)？

1212

=9（小時(shí)）

3+1

12x2

=8（小時(shí)）9>8

（3）從抽象退到具體

例3四年級(jí)的男生人數(shù)比女生多;，問(wèn)女生人數(shù)比男生少幾分之幾。

此題比較抽象，且由于“標(biāo)準(zhǔn)量”、“比較量”前后變化，噌加了題目難度。把它從抽象退

到具體，不妨假設(shè)女生人數(shù)是30（所設(shè)數(shù)是3的倍數(shù)簡(jiǎn)

捷），則男生人數(shù)為30x（1+1）=40。所求

（40-30）+40=；

小升初數(shù)學(xué)拔高題及解法：同分母法

例如：甲乙兩倉(cāng)庫(kù)共存糧570噸。如果從甲倉(cāng)庫(kù)取出了放入乙倉(cāng)庫(kù)內(nèi)，

4

這時(shí)甲庫(kù)存糧的;正好是乙?guī)齑婕Z的問(wèn)甲乙兩倉(cāng)庫(kù)原來(lái)存糧各有多少

53噸？

分析解答：根據(jù)題中“甲庫(kù)存糧的9正好是乙?guī)齑婕Z的即甲庫(kù)的

1=乙?guī)斓?，可推出甲庫(kù)的乙?guī)斓牟?。這就是說(shuō)，甲乙兩庫(kù)的存糧數(shù)

部平均分成15份，甲庫(kù)中的9份相當(dāng)于乙?guī)熘械?0份，由此得出甲庫(kù)與乙?guī)斓拇娓鶖?shù)之比為10

9.現(xiàn)有糧

甲庫(kù)：570X-22^=300（噸）

lu+y

乙?guī)欤?70-300=270（噸）

甲庫(kù)原有糧：300-=400（噸）

乙?guī)煸屑Z：570700=170（噸）

小升初數(shù)學(xué)拔高題及解法：同分子法

通常用“兩數(shù)差與倍數(shù)”關(guān)系解:

23

桃：40+（至+§一：）=360（千克）

梨：40+（1-5+可）=40°（千克）

如果把相關(guān)的分?jǐn)?shù)化為同分子的分?jǐn)?shù)去分析數(shù)量關(guān)系問(wèn)題比較容易解答.

取2和3的最小公倍數(shù)6為新分子，得g=§，5=76"。由圖知

6

方40千克

梨一C

桃:一2'=~-I

6

T

梨和桃的重量共為19個(gè)等份，梨占10份，桃子占9份，每份重40千克.

梨：40X10=400（千克）

桃：40X9=360（千克）

例2學(xué)校買(mǎi)來(lái)一批圖書(shū)。己知科技書(shū)本數(shù)的3與文藝書(shū)共620本?？萍?/p>

書(shū)本數(shù)的:與文藝書(shū)本數(shù)的|相等，求買(mǎi)來(lái)科技書(shū)多少本？

解：根據(jù)“科技書(shū)本數(shù)的J與文藝書(shū)本數(shù)的號(hào)相等“，可知，它們不但

45

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)不同，而且各對(duì)應(yīng)份數(shù)也不相同。對(duì)此，我們可把"1和|?0化成同分子

分?jǐn)?shù)：7=|,|=|o根據(jù)題意，畫(huà)出如下線段圖

4855

8份

__________A__________

科技書(shū)―一~~?_1一~1一~1一~1一"?

T(T)

2

5

文藝書(shū)二^,?

\___________/

7

5份

可見(jiàn)，科技書(shū)和文藝書(shū)的相應(yīng)份數(shù)分別為8份和5份.

再根據(jù)“科技書(shū)本數(shù)的:與文藝書(shū)共620本”，求出620本的對(duì)應(yīng)份數(shù)，

然后用歸一法求出科技書(shū)本數(shù).

對(duì)應(yīng)份數(shù)：8x|+5=ioj(份)

科技書(shū)為：620+10^X8=480（本）。

例3兩人分別從相距224千米的AB兩地同時(shí)相向而行，因甲途中辦事1小時(shí)而6小時(shí)后相遇

并立即返回原地.當(dāng)甲行2小時(shí)，乙行4小時(shí)后，分別與AB的地距離相等，每4時(shí)各行多少千

米？

由線段圖知，返回過(guò)程中甲到A應(yīng)行封、時(shí)，行了2小時(shí)，剩下段的路程；

乙到B應(yīng)行6小時(shí)，行了4小時(shí)，剩下0）1的路程，

63

224千米

八

5小時(shí)甲一乙6小時(shí)

/‘2小時(shí)q小時(shí)

^9

6%3

3

甲9-

將弓7和々1化為同分子分?jǐn)?shù)，|1=^7oAB兩地總珞程為5+9=14（份）。所以

甲時(shí)速為：魯=16（千米）

乙時(shí)速為：箸X9+6=24（千米）

小升初數(shù)學(xué)拔高題及解法：統(tǒng)一單位“1〃

分率的單位“1”不同，量的性質(zhì)相異的題型，由于數(shù)量間運(yùn)圖無(wú)法直接實(shí)施，必須統(tǒng)一

單位“1”，才能解答。

例1甲、乙兩堆煤共330噸，甲堆的;等于乙堆的;，兩堆煤各多少

噸？

分析：為了求出甲、乙兩堆煤的重量間的倍數(shù)關(guān)系，只須將苴中一個(gè)量作為標(biāo)準(zhǔn)量，并以

此為計(jì)量單位去度量另一個(gè)量.若甲堆煤的重量為單位

“1”則分?jǐn)?shù)|有兩種意義。一是甲堆部分煤的分率：IX￡=|（單位"1”）,

二是乙堆煤的，所對(duì)應(yīng)的量數(shù)，其數(shù)量是!■個(gè)單位“1”。

43

解法一：設(shè)甲堆煤的數(shù)量為單位“1”，則乙堆煤的!的數(shù)量為（”￡）

個(gè)單位“1”。所以乙堆煤的對(duì)應(yīng)分率為（IX|）-1=|（單位"1”）

甲堆為330+（1+|）=90（噸）

若設(shè)乙堆煤的數(shù)量為單位“1”，則算式為

12

330+(1+y)=240(噸)

解法二：觀察線段圖

甲WW

甲I_I11--------1乙

s----9----'

、召,

（甲+乙.

甲蘭

甲1一L1---------1------------1乙

、嗎.乙?,

乙號(hào)+多

這里（甲+乙）X段是乙堆煤的部分量的數(shù)量，其對(duì)應(yīng)的分率是（：+￡）。

乙堆為（330X,（1+|）=240（噸）

345

例2某地有甲乙兩個(gè)消防隊(duì)共有336人，抽調(diào)甲隊(duì)人數(shù)的，和乙隊(duì)人

數(shù)的本共抽調(diào)188人，開(kāi)赴大興安嶺支援滅火，問(wèn)甲乙兩個(gè)消防隊(duì)原來(lái)各有多少

人？

思路一：因?yàn)?5=14+彳2，所以可由188人里求出分率為"9的甲隊(duì)的

部分人數(shù)，從而求出甲隊(duì)的人數(shù).

甲?-1~1、！亡----------1乙

、正存,

336X-y

32

由圖知甲隊(duì)為（188-336X-）^-=154（人）

乙隊(duì)為336T54=182（人）.

思路二：若對(duì)甲乙兩隊(duì)抽調(diào)人數(shù)進(jìn)行調(diào)整，甲隊(duì)減少到2，而乙隊(duì)增

加到:，則可求出乙隊(duì)的;與甲隊(duì)的g的差，從而可求出兩隊(duì)的人數(shù)。

4

V336X亍=192.

二.乙隊(duì)-甲隊(duì)=（192-188）X7=28,

「?甲隊(duì)=（336-28）+2=154（人），....

依題意作線段圖如下:

原衣參加

4A

r，7

夠加少10人

確定以“原來(lái)未參加的人數(shù)'為單位“1”.從圖中可知，現(xiàn)在參加的

4

人數(shù)正好是原來(lái)未參加人數(shù)的4。……（1）

因?yàn)楝F(xiàn)在參加的人數(shù)是現(xiàn)在未參加人數(shù)的搟（己知）C即現(xiàn)在未參加

即現(xiàn)在未參加的人數(shù)是現(xiàn)在參加人數(shù)的……（2）

由Q）、（2）推得：現(xiàn)在未參加的人數(shù)是原來(lái)未參加人數(shù)的：X|=

整理線段圖如下：

原未參加:i人'1

on

現(xiàn)未參加：/??亓常

因?yàn)樵磪⒓尤藬?shù)與現(xiàn)未參加人數(shù)相差10人，所以

on

原未參加10+（1--）=210（人）

4

原參加210X亍-10=11。（人）

例4大河灣小學(xué)上學(xué)期有男女同學(xué)共750人，本學(xué)期男同學(xué)增加

女同學(xué)減少?共有710人。求本學(xué)期男女同學(xué)各多少人？

用假設(shè)法統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)量。

方法一：假設(shè)本學(xué)期男同學(xué)不是增加2而是減少總則本學(xué)期應(yīng)該有

bJ

750X（1-1）=600（人）。

比實(shí)際少710-600=110（人）.

男同學(xué)本是增加1,今不但沒(méi)增加，反而減少?。所以會(huì)少110人，

65

這110人是男同學(xué)人數(shù)的2+: