答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)重慶市西北狼教育聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)學(xué)情診斷數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，，若與共線，則（

）A．3 B． C． D．3．在中，角對(duì)邊分別為，若，那么的面積為（

）A． B． C． D．4．高一某班10名學(xué)生的英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)試成績(jī)（單位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（

）A．85 B．86 C．85.5 D．86.55．已知，是兩個(gè)不同的平面，，為兩條不重合的直線，則下列命題中正確的為（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則6．如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．7．在中，是邊上的點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．8．如圖，三棱錐的底面的斜二測(cè)直觀圖為，已知底面，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知向量，，則（

）A． B．若，則C． D．向量在向量上的投影向量為10．有一組樣本數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，現(xiàn)加入兩個(gè)正整數(shù)，構(gòu)成新樣本數(shù)據(jù)，與原樣本數(shù)據(jù)比較，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若平均數(shù)不變，則 B．若極差不變，則C．若，則中位數(shù)不變 D．若，則方差不變11．《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽(yáng)馬”；四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．如圖在塹堵中，，且．下列說(shuō)法不正確的是（

）A．四棱錐為“陽(yáng)馬”、四面體為“鱉臑”B．若平面與平面的交線為，且與的中點(diǎn)分別為M、N，則直線CM、、相交于一點(diǎn)C．四棱錐體積的最大值為D．若F是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則AF與所成角的最大值為90°三、填空題12．雅言傳承文明，經(jīng)典浸潤(rùn)人生，南寧市某校每年舉辦“品經(jīng)誦典浴書(shū)香，提雅增韻享閱讀”中華經(jīng)典誦讀大賽，比賽內(nèi)容有三類(lèi)：“誦讀中國(guó)”、“詩(shī)教中國(guó)”、“筆墨中國(guó)”．已知高一、高二、高三報(bào)名人數(shù)分別為：100人、150人和250人．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從三個(gè)年級(jí)中抽取25人組成校代表隊(duì)參加市級(jí)比賽，則應(yīng)該從高一年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為．13．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是．

14．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，設(shè)是的高，則的范圍為．四、解答題15．已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù).(1)求復(fù)數(shù)；(2)若復(fù)數(shù)，求復(fù)數(shù)的模.16．為增強(qiáng)職工身體素質(zhì)，某企業(yè)鼓勵(lì)職工積極參加徒步活動(dòng).為了解運(yùn)動(dòng)情況，企業(yè)工會(huì)從該企業(yè)職工中隨機(jī)抽取了100名，統(tǒng)計(jì)他們的日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)，并得到如下頻率分布直方圖：(1)求圖中的值；(2)估計(jì)該企業(yè)職工日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）(3)若該企業(yè)恰好有的職工的日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)達(dá)到了企業(yè)制定的“優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)者”達(dá)標(biāo)線，試估計(jì)該企業(yè)制定的“優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)者”達(dá)標(biāo)線.17．如圖，在長(zhǎng)方體中，，和交于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)已知與平面所成角為，求點(diǎn)A到平面CEF的距離．18．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角B；(2)如圖，的角平分線交于點(diǎn)D，且，，（i）求的長(zhǎng)度；（ii）若邊上的中線與相交于點(diǎn)F，求的余弦值．19．正方形中，，為的中點(diǎn)，，．將沿翻折到，沿翻折到，連接．(1)求證：：(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的正弦值；(3)設(shè)直線與平面所成角為，問(wèn)是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．《重慶市西北狼教育聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)學(xué)情診斷數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案DDBBCDABACDAC題號(hào)11答案ABD1．D【分析】利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可求解.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，其位于第四象限．故選：．2．D【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示，列方程即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，與共線，所以，解得，故選：D.3．B【分析】利用余弦定理建立方程求出，再利用三角形面積公式求解面積即可.【詳解】在中，由余弦定理得，解得或（舍去），由三角形面積公式得，故B正確.故選：B4．B【分析】把數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，然后用百分位數(shù)的定義求解.【詳解】從小到大的順序排列數(shù)據(jù)為：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是第八個(gè)數(shù)據(jù)86.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查總體百分位數(shù)的估計(jì)，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．C【分析】根據(jù)線線、線面、面面平行或垂直的判定與性質(zhì)定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：因?yàn)?，是兩個(gè)不同的平面，，為兩條不重合的直線，對(duì)于A：若，，，則或或或與相交（不垂直），故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，，則或與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，，面面垂直的判定可知，故C正確；對(duì)于D：若，，，則或與相交，故D錯(cuò)誤；故選：C6．D【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解直線與所成的角即可．【詳解】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，2，，，2，，則所以，所以異面直線與直線所成角的余弦值為，故選：．7．A【分析】設(shè)，在中，由余弦定理求出，利用平方關(guān)系求出，在中再由正弦定理可得答案.【詳解】設(shè)，則，，在中，由余弦定理得，因?yàn)椋?，，在中，由正弦定理得，?故選：A.8．B【分析】首先根據(jù)直觀圖還原實(shí)際圖形，再利用補(bǔ)體法求三棱錐外接球的半徑，即可求解.【詳解】由題意可知在斜二測(cè)直觀圖中，，，則，，，由斜二測(cè)畫(huà)法可得，在中，，，.在三棱錐中，因?yàn)榈酌?，且，所以可將三棱錐補(bǔ)成相鄰的三條側(cè)棱分別為6，4，8的長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球即為該長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，則外接球的半徑，故三棱錐外接球的表面積.故選：B9．ACD【分析】借助模長(zhǎng)公式可得A；借助向量垂直數(shù)量積為零計(jì)算可得B；借助向量坐標(biāo)運(yùn)算可得C；借助投影向量公式計(jì)算可得D.【詳解】對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，由，得，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，，則向量在向量上的投影向量為，故D正確；故選：ACD．10．AC【分析】根據(jù)平均數(shù)、極差、中位數(shù)和方差的定義判斷.【詳解】若平均數(shù)不變，則，解得，故A正確；當(dāng)時(shí)，極差不變，但，故B錯(cuò)；若，則為或或，每一種情況對(duì)應(yīng)的中位數(shù)都是3，故C正確；原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，原數(shù)據(jù)的方差為，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，新數(shù)據(jù)的方差為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以方差有可能改變，故D錯(cuò).故選：AC.11．ABD【分析】分析圖中的平行垂直關(guān)系，按照“陽(yáng)馬”，“鱉臑”的定義判斷，理解異面直線的夾角的最大值為.【詳解】由題意可知，，平面，平面，平面，四棱錐是“陽(yáng)馬”，又，是直角三角形，顯然是直角三角形，是直角三角形，

，∴也是直角三角形，∴四面體是“鱉臑”，A正確；由題意可知，MN是的中位線，，即MN與共面，，連接CM和并延長(zhǎng)，必交于一點(diǎn)P，則有平面，平面，平面平面=l，，故B正確；設(shè)BC=m，AC=n，則有，四棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)成立，即四棱錐的體積的最大值為，故C錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)A作的垂線，得垂足H，平面，平面，，平面，即，即當(dāng)F點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)，異面直線AF與的夾角可以取到，故D正確；故選：ABD.12．5【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】根據(jù)題意可得：高一、高二、高三報(bào)名人數(shù)之比為，故從高一年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為.故答案為：5.13．2【分析】建立直角坐標(biāo)系，由已知條件可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得數(shù)量積.【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，

由圖可得，，，，，即有．即，，則．故答案為：2．14．【分析】根據(jù)題意，由正弦定理可得，再由余弦定理以及基本不等式可得AM的最大值為，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意有：，由正弦定理可得：，即，又，所以，又，所以，由余弦定理，有，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，所以，所以AM的最大值為．當(dāng)B或C趨近于時(shí)，AM趨近于．故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用純虛數(shù)概念，結(jié)合乘法計(jì)算即可；（2）運(yùn)用模長(zhǎng)公式，結(jié)合除法和共軛復(fù)數(shù)知識(shí)求解.【詳解】（1）由題意得，是純虛數(shù)，，，（2）.16．(1)(2)(3)【分析】（1）由頻率和為1列式求解；（2）（3）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得，解得．（2）設(shè)平均數(shù)為，則．所以該企業(yè)職工日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)的平均數(shù)約為9.08千步．（3）日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)在的頻率為，日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)在的頻率為，日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)在的頻率為，所以達(dá)標(biāo)線位于內(nèi)，則達(dá)標(biāo)線為為，解得，該企業(yè)制定的優(yōu)秀強(qiáng)國(guó)運(yùn)動(dòng)者達(dá)標(biāo)線是千步.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）通過(guò)等體積法即可證明即可證明線面平行；（2）求出和的面積，即可求出點(diǎn)A到平面CEF的距離.【詳解】（1）由題意證明如下，連接，，．

在長(zhǎng)方體中，且，∴四邊形為平行四邊形．∴E為的中點(diǎn)，在中，E，F(xiàn)分別為和AB的中點(diǎn)，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）由題意，與平面所成角為．連接．

∵長(zhǎng)方體中，所以．所以．∵長(zhǎng)方體中，平面，平面，∴．∴為直線與平面所成角，即．故∴為等腰直角三角形，則．在中，

知．在中，

，，∴，∴，設(shè)點(diǎn)A到平面CEF的距離為h．由知，，得．∴點(diǎn)A到平面CEF的距離為1．18．(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用余弦定理求出即可得解.（2）（i）根據(jù)角平分線性質(zhì)和三角形面積的分割關(guān)系列出等式，求解BD的長(zhǎng)度.（ii）易知為向量的夾角，利用中線向量運(yùn)算得，結(jié)合角平分線定理利用向量線性運(yùn)算得，然后利用平面向量的夾角公式求解余弦值即可.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）（i）已知的角平分線交于點(diǎn)D，則，又在中，，即，即，解得.（ii）因?yàn)闉榈闹芯€，所以，又，則，因?yàn)椋瑸榈慕瞧椒志€，在中，因?yàn)椋玫舰?，在中，因?yàn)?，得到②，又，由①②得到，所以，因?yàn)椋?，即的余弦值?19．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)不存在，使得能取得最大值，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)線線垂直可證明線面垂直，即可求證.（2）根據(jù)二面角的幾何法可得即為二面角的平面角，即可由三角形的邊角關(guān)系求解，（3）理由等體積法