答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁重慶市巴南區(qū)重慶巴蜀科學(xué)城中學(xué)校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若直線過點(diǎn)，，則此直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方式估計(jì)一運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定表示命中，表示不命中；再以三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下12組隨機(jī)數(shù)，據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（

）A． B． C． D．3．已知直線與直線互相平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．-1 B．0 C．1 D．24．平均數(shù)?中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)在下圖分布形態(tài)中，a，b，c分別對應(yīng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)?中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．5．已知直線與相交于、兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為A． B．C．或 D．或6．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．等腰或直角三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形7．過點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上的截距都是非負(fù)整數(shù)的直線有多少條（

）A．4 B．5 C．6 D．78．已知正四棱錐的所有棱長均為2，點(diǎn)為正四棱錐的外接球球面上一動點(diǎn)，，則動點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．二、多選題9．某高中舉行的數(shù)學(xué)史知識答題比賽，對參賽的2000名考生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是（

）A．考生參賽成績的平均分約為72.8分B．考生參賽成績的第75百分位數(shù)約為82.5分C．分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.2D．用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，則成績在區(qū)間應(yīng)抽取30人10．在斜三角形中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則（

）A．為銳角三角形 B．若，則C．的最小值為 D．11．已知點(diǎn)為圓上兩動點(diǎn)，且，點(diǎn)為直線:上動點(diǎn)，則（

）A．以為直徑的圓與直線相離 B．的最大值為C．的最小值為8 D．的最小值為112三、填空題12．已知，則．13．已知非零向量與滿足，且，，點(diǎn)D是的邊AB上的動點(diǎn)，則的最小值為．14．甲、乙兩人組成的“夢隊(duì)”參加籃球機(jī)器人比賽，比賽分為自主傳球和自主投籃兩個(gè)環(huán)節(jié)，其中任意一人在每個(gè)環(huán)節(jié)獲勝得2分，失敗得0分，比賽中甲和乙獲勝與否互不影響，各環(huán)節(jié)之間也互不影響.若甲在每個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為，乙在每個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為，且甲，乙兩人在自主傳球環(huán)節(jié)得分之和為2的概率為，則的值為，“夢隊(duì)”在比賽中得分不低于6分的概率為.四、解答題15．已知、、分別為內(nèi)角、、的邊，.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長.16．在一次奧運(yùn)會男子乒乓球單打比賽中，運(yùn)動員甲和乙進(jìn)入了決賽，決賽采取7局4勝制.已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽結(jié)果互不影響.(1)求只需進(jìn)行四局比賽的概率：(2)已知前兩局比賽甲均告負(fù)，求甲最終能逆轉(zhuǎn)獲得冠軍的概率.17．已知圓與直線相切于點(diǎn)，圓心在軸上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的一般式方程；(3)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.18．在中，，，，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的大??；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.19．在平面四邊形中，，且.(1)中，設(shè)角的對邊分別為，若.①當(dāng)時(shí)，求的值；②當(dāng)時(shí)，求的最大值.(2)若，且，將沿翻折成，使得平面平面，在四面體中，任取兩條棱，記它們互相垂直的概率為；任取兩個(gè)面，記它們互相垂直的概率為；任取一個(gè)面和不在此面上的一條棱，記它們互相垂直的概率為，試比較的大小.《重慶市巴南區(qū)重慶巴蜀科學(xué)城中學(xué)校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案CABADBDDBCBCD題號11答案ACD1．C【分析】根據(jù)斜率的坐標(biāo)表示以及，故可得結(jié)果.【詳解】由題意知，直線的斜率，即直線的傾斜角滿足，又，，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查斜率與傾斜角的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.2．A【分析】利用隨機(jī)模擬的方法以及古典概型的計(jì)算公式即可求解.【詳解】這三組表示三次投籃恰有兩次命中，所以該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為，故選：3．B【分析】由題意利用兩條直線平行的性質(zhì)，分類討論，求得結(jié)果．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，直線：即，直線：即，滿足．當(dāng)時(shí)，直線與直線互相平行，，解得實(shí)數(shù)．綜上，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩條直線平行的性質(zhì)，考查分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．4．A【分析】利用數(shù)據(jù)分布圖左拖尾，即平均數(shù)小于中位數(shù)，再利用眾數(shù)是用最高矩形的中點(diǎn)值來估計(jì)，可判斷眾數(shù)大于中位數(shù)，即可作出判斷.【詳解】由數(shù)據(jù)分布圖知，眾數(shù)是最高矩形下底邊的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)為右起第二個(gè)矩形下底邊的中點(diǎn)值，直線左右兩邊矩形面積相等，而直線左邊矩形面積大于右邊矩形面積，則，又?jǐn)?shù)據(jù)分布圖左拖尾，則平均數(shù)小于中位數(shù)，即，所以.故選：A5．D【詳解】分析：首先將圓的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和點(diǎn)到直線距離公式得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程即可求得最終結(jié)果.詳解：圓的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程即：，設(shè)AB中點(diǎn)為，由圓的性質(zhì)可知△ABO為等腰三角形，其中，則，即圓心到直線的距離為，據(jù)此可得：，即，解得：或.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查圓的方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線距離公式等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6．B【分析】根據(jù)同角關(guān)系以及正弦定理邊角互化可得，由余弦二倍角公式以及和差角公式可得，即可判斷三角形形狀.【詳解】由得,由正弦定理得,由于,所以，所以,由于為三角形的內(nèi)角，所以,又得,進(jìn)而可得,而為三角形內(nèi)角，故，進(jìn)而，故三角形為等邊三角形，故選：B7．D【分析】截距為零時(shí)單獨(dú)考察，在截距不為零時(shí)，設(shè)截距分別為利用截距式寫出直線方程，根據(jù)過定點(diǎn),得到的關(guān)系，判定的范圍，然后求得后分離常數(shù)得到，進(jìn)而得出應(yīng)當(dāng)為12正因數(shù)，從而解決問題.【詳解】當(dāng)截距為0時(shí)，是直線,只有一條，當(dāng)截距大于0時(shí)，設(shè)截距分別為則直線方程為，∵直線過點(diǎn),∴①，∵,∴,結(jié)合①可得，,∴,又∵為整數(shù)，，由①解得,為12的因數(shù)，∴,對應(yīng),相應(yīng)對應(yīng)的直線又有6條，綜上所述，滿足題意的直線共有7條，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線的截距和直線方程的截距式，涉及整除問題，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是要注意截距為零的情況，而是在截距不為零時(shí)，得到后分離常數(shù)得到，進(jìn)而得出應(yīng)當(dāng)為12正因數(shù)，本題屬中檔題.8．D【分析】連接、，設(shè)，連接，分析可得為正四棱錐外切球的球心，且外接球的半徑，作出正四棱錐外接球的軸截面（過點(diǎn)、、），過點(diǎn)作交于點(diǎn)，即可求出，從而求出軌跡長.【詳解】依題意，正四棱錐的所有棱長均為，連接、，設(shè)，連接，則平面，則，所以，所以，則為正四棱錐外切球的球心，且外接球的半徑，作出正四棱錐外接球的軸截面（過點(diǎn)、、）如下所示：因?yàn)椋詾榈冗吶切?，所以，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，所以動點(diǎn)的軌跡長度為.故選：D9．BC【分析】利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)判斷A；求出第75百分位數(shù)判斷B；求出分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率判斷C；用分層隨機(jī)抽樣求出區(qū)間內(nèi)應(yīng)抽人數(shù)判斷D.【詳解】對于A，平均成績?yōu)?，A錯(cuò)誤；對于B，由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為0.7，在內(nèi)的頻率為0.9，因此第75百分位數(shù)位于內(nèi)，第75百分位數(shù)為，B正確；對于C，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為，C正確；對于D，區(qū)間應(yīng)抽取人，D錯(cuò)誤.故選：BC10．BCD【分析】由誘導(dǎo)公式即可判斷A，由正弦定理即可判斷B，由條件可得，結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可判斷C，由條件可得，然后換元，結(jié)合二次函數(shù)的值域，即可判斷D.【詳解】對于A，由可得，則或，即或，因?yàn)槿切螢樾比切?，若，則，，不符合斜三角形，所以，即為鈍角，為鈍角三角形，故A錯(cuò)誤；對于B，由正弦定理可得，則，所以，故B正確；對于C，由，可得，且，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，故C正確；對于D，由C可知，，則，令，由可得，則，所以，故，且，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)或時(shí)，最小值為，所以，故D正確；故選：BCD11．ACD【分析】對于A，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，求出點(diǎn)到直線的距離的最小值進(jìn)行判斷，對于B，舉例判斷，對于CD，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合圖形分析判斷即可.【詳解】對于A，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，所以，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為，因?yàn)?，所以以為直徑的圓與直線相離，所以A正確，對于B，如圖，當(dāng)直線與直線平行，且共線時(shí)，則為等腰三角形，此時(shí)，則，所以，所以，所以B錯(cuò)誤，對于C，因?yàn)?所以,因?yàn)?，所以，?dāng)，共線，且在之間時(shí)取等號，所以的最小值為8，所以C正確，對于D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)，共線，且在之間時(shí)取等號，所以的最小值為112，所以D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，結(jié)合圖形分析判斷，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計(jì)算能力，屬于較難題.12．【分析】首先由兩角差的正切公式求出，再由二倍角正切公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)樗?，解得所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正切公式及二倍角的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13．/【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積、單位向量、向量的線性運(yùn)算確定三角形狀，再由向量的模長確定三角形的邊長，從而建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求的最小值即可.【詳解】分別表示與方向的單位向量，故所在直線為的平分線所在直線，又，故的平分線與垂直，由三線合一得到，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，故，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為：.14．/0.6/0.6075【分析】甲，乙兩人在自主傳球環(huán)節(jié)得分之和為2分，是甲得0分乙得2分、甲得2分乙得0分兩個(gè)互斥事件的和事件，利用相互獨(dú)立事件的概率公式及互斥事件的概率加法公式解方程可求的值；事件“夢隊(duì)在比賽中得分不低于6分”的概率，也轉(zhuǎn)化為互斥事件的和事件，再利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式求解即可.【詳解】記事件“兩人在自主傳球環(huán)節(jié)得分之和為2分”，“甲在自主傳球環(huán)節(jié)得分”，“乙在自主傳球環(huán)節(jié)得分”，由題意可知，與相互獨(dú)立，且，事件與互斥，故，解得；記事件“夢隊(duì)在比賽中得分不低于6分”，“甲在自主投籃環(huán)節(jié)得k分”（），“乙在自主投籃環(huán)節(jié)得分”，由題意可知相互獨(dú)立，則，且事件，，，，兩兩互斥，則.故答案為：；.15．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得，結(jié)合余弦定理即可求解；（2）利用面積公式得，再根據(jù)余弦定理可得，從而求出周長．【詳解】（1）因?yàn)橛烧叶ɡ淼茫瑒t由余弦定理得，又，故；（2）由的面積為，所以由余弦定理，因?yàn)椋运怨实闹荛L為16．(1)(2)【分析】（1）應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件概率和公式計(jì)算求解；（2）分類應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件概率和公式計(jì)算求解.【詳解】（1）設(shè)事件“甲第局都獲勝”，.由題意，事件相互獨(dú)立，且.只需進(jìn)行四局比賽包含兩種情況：①甲能勝四局：；②乙連勝四局：.設(shè)事件“只需進(jìn)行四局比賽”；則.故只需進(jìn)行四局比賽的概率為.（2）設(shè)事件“前兩局比賽甲均告負(fù)，甲最終能逆轉(zhuǎn)獲得冠軍”.由于前兩局比賽甲均告負(fù)，所以接下來的比賽甲最多可以負(fù)一局，包含兩種情況：①甲接下來連勝四局：；②接下來五局比賽中甲4勝1負(fù)（負(fù)的一局為第3~6局中某一局）：.所以，.所以，甲最終能逆轉(zhuǎn)獲得冠軍的概率為.17．(1).(2)或.(3).【分析】（1）先根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而得到圓的半徑，從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況，利用垂徑定理求出直線方程；（3）將看作圓上一點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，通過直線與圓的位置關(guān)系求出斜率的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，已知圓與直線相切于點(diǎn)，則直線（）與直線垂直.直線的斜率，可得直線的斜率，即，解得，所以圓心.圓的半徑.則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離.根據(jù)垂徑定理，滿足題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.圓心到直線的距離.由垂徑定理可得，即，，，解得.則直線的方程為，即.綜上，直線的一般式方程為或.（3）設(shè)，則，即.的幾何意義是圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離，即，.由圖形知道，所以的取值范圍是.18．(1)證明見解析(2)(3)存在，或【分析】（1）應(yīng)用線面垂直的判定定理證明線面垂直關(guān)系，再由性質(zhì)定理得到線線垂直關(guān)系，進(jìn)而再利用判定定理證明所求證的線面垂直關(guān)系；（2）以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.用向量法求與平面所成角的大?。唬?）假設(shè)存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為，設(shè)，分別求解兩平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【詳解】（1）因?yàn)樵谥?，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內(nèi)，所以平面；（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋?，由幾何關(guān)系可知，，，，故，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，