專題1.3空間向量基本定理（舉一反三講義） 【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1空間向量基底概念及辨析】 1【題型2用空間基底表示向量】 4【題型3由空間向量基本定理求參數(shù)】 6【題型4空間向量的正交分解】 9【題型5利用空間向量基本定理證明平行、共線、共面問題】 11【題型6利用空間向量基本定理解決夾角問題】 14【題型7利用空間向量基本定理證明垂直問題】 17【題型8利用空間向量基本定理求距離(長度)問題】 21知識點1空間向量基本定理1．空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數(shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步驟(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底．(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果．【題型1空間向量基底概念及辨析】【例1】（2425高二上·重慶北碚·期末）若a,b,c構成空間的一個基底，則下列選項可構成空間的另一個基底的是（A．c+a,cC．b+c,【解題思路】根據(jù)空間向量基底的概念進行判斷.【解答過程】對A：因為c+a+c?對B：因為b+c+b?對C：因為b+c+a=對D：因為不存在x,y∈R，使得a=xb+c故選：D.【變式11】（2425高二上·廣東深圳·期末）已知a,b,A．a?b+c，b+c，a?C．2a?b，2c+b，a+【解題思路】由空間向量的基底的定義建立方程，可得答案.【解答過程】對于A，設a?b+所以a?b+c，對于B，設a+b=x所以a+b，c+2對于C，設2a?b所以2a?b，2對于D，設a+b=x所以a+b，2a故選：A.【變式12】（2425高二上·廣東深圳·期末）若a,b,A．a+c,C．a,a+【解題思路】通過證明ACD選項中的三個向量共面，判斷它們錯誤，利用反證法證明B選項中的三個向量不共面，判斷B正確.【解答過程】對于A，因為a+c?所以a+對于C，因為?5b所以a,a+對于D，13所以a+b,對于B，若c,則可設c=xa+故a,所以c,a+故選：B.【變式13】（2425高二上·浙江寧波·期末）已知{a,b,c}是空間的一個基底，則下列向量中與向量A．a?b?4C．a?b+【解題思路】利用空間向量基本定理依次判斷各選項中的向量是否與向量a+b，【解答過程】對于A，因a?即a?b?4c與向量對于B，因2a即2a+b?2c對于C，不妨設a?則有x+y=1x=?1?2y=1，方程組無解，即a?b+對于D，因a+2即a+2b+2c與向量故選：C.【題型2用空間基底表示向量】【例2】（2425高二上·廣東清遠·期末）如圖，在三棱錐O?ABC中，OA=a,OB=b,OC=c．若點M,N分別在棱A．?34aC．?34a【解題思路】利用空間向量的基本定理及利用向量的加法表示出MN=【解答過程】由OA=得OM=所以MN=故選：C．【變式21】（2425高二上·廣西桂林·階段練習）如圖，在四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，G為的△ABC重心，P為A．?23aC．?56a【解題思路】根據(jù)三角形重心的性質，結合空間向量線性運算的幾何意義、空間向量基本定理進行求解即可.【解答過程】連接AG，并延長AG交BC于點D，連接OD，則D為BC的中點，且AG=23=?=?5故選：C.【變式22】（2425高二上·四川南充·期末）如圖，空間四邊形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，點M在OA上，且A．12a+12b?12【解題思路】利用空間向量基本定理結合題意求解即可【解答過程】因為空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點M在OA上，且所以MN==?=?=?1故選：B.【變式23】（2425高二上·湖南邵陽·期中）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AC與BD交于點M，設AB=A．?12a?12b?c【解題思路】利用空間向量的加法、減法法則化簡可得結果.【解答過程】B1故選：D.【題型3由空間向量基本定理求參數(shù)】【例3】（2425高二上·貴州黔東南·階段練習）如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB、AC，M、N分別是對邊OA、BC的中點，點G在線段MN上，且分MN所成的定比為2，現(xiàn)用基向量OA、OB、OC表示向量OG，設OG=xOA+yOB+zOC，則x、yA．x=13，y=13，z=13 C．x=13，y=16，z=13 【解題思路】推導出ON=12OB+12OC，由題意可得MG=2【解答過程】因為N為BC的中點，則ON=由題意可得MG=2GN，則所以，3OG=OM故x=16，y=1故選：D.【變式31】（2425高二上·福建泉州·階段練習）如圖所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點A．x=?12,y=?C．x=?12,y=【解題思路】結合空間向量基本定理，根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得.【解答過程】依題意BE=A又BE=AA1+x故選：C.【變式32】（2425高二上·安徽·期末）在四面體O?ABC中，點M為線段OA靠近A的四等分點，N為BC的中點，若MN=xOA+yOB+zA．14 B．1 C．32 【解題思路】根據(jù)空間向量基本定理結合已知條件求解即可.【解答過程】因為四面體O?ABC中，點M為線段OA靠近A的四等分點，N為BC的中點，所以MN=?因為MN=xOA+yOB+z故選：A.【變式33】（2425高二上·福建南平·期末）如圖，在三棱錐S?ABC中，點G為底面△ABC的重心，點M是線段SG的中點，過點M的平面分別交SA，SB，SC于點D，E，F(xiàn)，若SD=kSA，SE=mSB，SF=nA．3 B．6 C．9 D．12【解題思路】由空間向量基本定理，用SA,SB,SC表示SM，由D，E，F(xiàn)，M四點共面，可得存在實數(shù)λ,μ，使【解答過程】由題意可知，SM=因為D，E，F(xiàn)，M四點共面，所以存在實數(shù)λ,μ，使DM=λ所以SM?所以SM=所以1?λ?μk=16故選：B.知識點2空間向量的正交分解1．空間向量的正交分解(1)單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．【題型4空間向量的正交分解】【例4】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）設i,j,k是單位正交基底，已知向量p在基底a,b,c下的坐標為8,6,4，其中a=i+jA．12,14,10 B．10,12,14 C．14,12,10 D．4,3,2【解題思路】由題意可得出p=8a+6b+4c，再結合a=i+【解答過程】因為向量p在基底a,b,c下的坐標為又因為a=i+j，則p=8因此，向量p在基底i,j,故選：A.【變式41】（2425高二上·山東煙臺·階段練習）設{i,j,k}是單位正交基底，已知a=i+j,b=A．(12,14,10) B．(14,12,10) C．(10,12,14) D．(4,3,2)【解題思路】根據(jù)題意將向量p用i,【解答過程】因為a=i+j,b=所以p=12i所以向量p在基底{i,j故選：A.【變式42】（2425高二上·河北·期中）已知BD⊥平面ABC，AB⊥BC，BD=1，AB=2，BC=3，則空間的一個單位正交基底可以為（

）A．13BC,C．BC,BD,【解題思路】先得到AB,BC,BD兩兩垂直，再根據(jù)其長度得到空間的一個單位正交基底.【解答過程】因為BD⊥平面ABC，AB,BC?平面ABC，所以BD⊥AB，BD⊥BC．因為AB⊥BC,即AB,BC,BD兩兩垂直，又BD=1，AB=2，BC=3，所以空間的一個單位正交基底可以為13故選：B.【變式43】（2425高二上·河南洛陽·階段練習）已知a,b,c是空間的一個單位正交基底，向量p=a+2b+3A．32,?12,3 B．?3【解題思路】設p=xa+b【解答過程】解：設p=x=x+y所以x+y=1x?y=2z=3，解得所以向量p在基底a+b,故選：A.知識點3空間向量基本定理的應用1．證明平行、共線、共面問題(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.2．求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.3．求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．4．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路：(1)平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長度)都可以轉化為向量的模，用向量的數(shù)量積可以求得．【注】用已知向量表示某一向量的三個關鍵點：(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量.(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.【題型5利用空間向量基本定理證明平行、共線、共面問題】【例5】（2425高二上·上?！ふn后作業(yè)）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點M在對角線A1B上，且A1M=1【解題思路】取空間的一個基底{AB【解答過程】在平行六面體ABCD?A1B1C1D則D1A1=DA因此D1又A1C=因此D1于是D1M=43D1N，即有所以M、N、D1【變式51】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知平行六面體ABCD?A′B′C′D′，E，F(xiàn)，G，H分別是棱A′D′，D′C【解題思路】利用空間向量的共面定理證明即可.【解答過程】證明取ED′=a，則HG====b所以HG與b，c共面,即HG與EF，即E，F(xiàn)，G，H四點共面．【變式52】（2425高二上·上?！ふn后作業(yè)）四棱柱ABCD?A′B′C′D′的六個面都是平行四邊形，點M在對角線A′(1)設向量AB=a，AD=b，AA′=c，用a、(2)求證：M、N、D′【解題思路】（1）借助空間向量的線性運算計算即可得；（2）借助向量共線定理證明MN//【解答過程】（1）因為A′M=所以D′又因為A′N=所以D=1（2）因為MN=14BC所以MN=14MD′，即【變式53】（2425高二上·海南?？凇るA段練習）如圖所示，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在(1)求證：A，E，C1，F(xiàn)(2)若EF=xAB+y【解題思路】（1）根據(jù)空間向量基本定理即可證明：（2）把AB,【解答過程】（1）證明：∵==(AB∴A，E，C1，F(xiàn)（2）∵=AD∴x=?1，y=1，z=1∴x+y+z=1【題型6利用空間向量基本定理解決夾角問題】【例6】（2425高二上·浙江溫州·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點，且AB(1)試用a，b，c表示BM；(2)求直線BM與直線AD所成角的余弦值.【解題思路】（1）利用向量的線性運算可求解；（2）求得BM與BM?AD可求直線BM與直線【解答過程】（1）BM（2）根據(jù)題意可設設a=則BM2∴BM∴BM∴cos所以直線BM與直線AD所成角的余弦值為35【變式61】（2425高二上·河南許昌·階段練習）如圖，正四面體ABCD(所有棱長均相等)的棱長為1，E，F(xiàn)，G，H分別是正四面體ABCD中各棱的中點，設AB=a，AC=(1)用a,b,c表示(2)求EF與GH夾角的大小．【解題思路】（1）根據(jù)題意結合空間向量的線性運算求EF，再根據(jù)向量的數(shù)量積運算求EF即可；（2）根據(jù)題意結合空間向量的線性運算求GH，再根據(jù)向量的數(shù)量積運算可得EF?【解答過程】（1）因為E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點，且AB=a，AC=可得EF=?1因為正四面體ABCD的棱長為1，則a=b=可得EF=1即EF=22，所以EF（2）由題意得GH=?1因此EF=1即EF⊥GH，即EF與GH的夾角為【變式62】（2425高二上·廣東佛山·階段練習）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1(1)試用a，b，c表示向量AC、BD(2)若∠A1AD=∠A1【解題思路】（1）由空間向量的加法、減法運算即可求解；（2）由（1），結合向量的夾角公式與數(shù)量積的運算律即可求解.【解答過程】（1）AC=BD（2）因為∠A1

aAC2BDAC?所以cosAC即向量AC與BD1所成的角的余弦值為【變式63】（2324高二下·江蘇常州·階段練習）如圖所示，平行六面體ABCD?A1B(1)用向量AB,AD,AA(2)求cosB【解題思路】（1）借助空間向量的線性運算與模長與數(shù)量積的關系計算即可得；（2）結合題意，借助空間向量的線性運算與夾角公式計算即可得.【解答過程】（1）BD則B=1+4+1+2×1×2×1所以BD（2）由空間向量的運算法則，可得AC=因為AB=AD=1,AA1=2所以AC=1+0+1B==1×1×cos則cosB【題型7利用空間向量基本定理證明垂直問題】【例7】（2425高二上·浙江·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A′B′C′D(1)求證：BD⊥AC(2)求AC′【解題思路】（1）以AB,AD,AA（2）利用向量的模的計算公式可求得AC【解答過程】（1）以AB,則BD=AD?所以AC′=0+4+2×3×1所以AC′⊥（2）由（1）可得AC所以A=4+4+9+2×0+2×2×3×1所以|AC′|=29【變式71】（2425高二上·河南洛陽·期中）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=CB=CC1，∠ACB=∠ACC1=2π3(1)用a、b、c表示向量A1(2)在線段C1B1上是否存在點M，使得AM⊥【解題思路】（1）利用空間向量的加法可得出A1N關于a、b、（2）假設存在點M，使得AM⊥A1N，設C1M=λC1B1=λ【解答過程】（1）A（2）假設存在點M，使得AM⊥A1N則AM=因為AM⊥A1N即c?所以，?1設CA=CB=CC1=1，又a所以，12即12×1×1×?所以當C1M=2【變式72】（2425高二上·福建廈門·階段練習）在平行六面體ABCD?A1B1C1D(1)求側棱AA(2)若M,N分別為D1C1，C【解題思路】（1）設AB=a，AD=b，（2）根據(jù)題意可得MN=12【解答過程】（1）設AB=a，a→=bACAC解得c=4，所以A（2）MN=AC所以AC1⊥【變式73】（2425高二上·北京豐臺·期中）如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=a,CB=b,CC1=c(1)用a,b,(2)求AM；(3)求證：AM⊥A【解題思路】（1）根據(jù)向量的線性運算結合空間向量基本定理求解即可；（2）利用數(shù)量積的運算律求解模長即可；（3）先利用向量線性運算得A1N=?1【