專題01三角形（5知識(shí)&18題型&3易錯(cuò)&4方法清單）【清單01】三角形邊與角的關(guān)系1.三角形三邊關(guān)系（1）定義：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。（2）符號(hào)表達(dá)：在△ABC中，AB+AC>BC，ABAC<BC。（3）應(yīng)用場(chǎng)景：判斷三條線段能否構(gòu)成三角形，已知兩邊長(zhǎng)度求第三邊取值范圍。2.三角形邊角關(guān)系（1）定理：在同一個(gè)三角形中，較大的邊所對(duì)的角較大，較大的角所對(duì)的邊較大。（2）證明方法：通過折紙實(shí)驗(yàn)或不等式性質(zhì)證明。（3）應(yīng)用場(chǎng)景：比較三角形內(nèi)角或邊的大小關(guān)系?！厩鍐?2】全等三角形1.全等三角形定義（1）定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱為全等三角形。（2）性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，周長(zhǎng)和面積相等。（3）特殊性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。2.全等三角形判定方法（1）SSS（邊邊邊）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（2）SAS（邊角邊）：兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（3）ASA（角邊角）：兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（4）AAS（角角邊）：兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（5）HL（斜邊、直角邊）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。3.全等三角形證明思路（1）已知兩邊：找第三邊（SSS），找夾角（SAS），判斷是否為直角三角形（HL）。（2）已知一邊一角：找另一角（AAS或ASA），找夾邊（SAS）。（3）已知兩角：找夾邊（ASA），找其他邊（AAS）。【清單03】線段垂直平分線與角平分線1.線段垂直平分線（1）性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。（2）判定定理：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。（3）拓展應(yīng)用：三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。2.角平分線（1）性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。（2）判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。（3）拓展應(yīng)用：三角形三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等?！厩鍐?4】等腰三角形與等邊三角形1.等腰三角形（1）定義：有兩條邊相等的三角形稱為等腰三角形。（2）性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）。（3）三線合一：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合。（4）判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）。2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形稱為等邊三角形。（2）性質(zhì)：三個(gè)內(nèi)角都相等，都等于60°；每條邊都能運(yùn)用三線合一性質(zhì)。（3）判定定理：三條邊都相等；三個(gè)角都相等；有兩個(gè)角是60°；有一個(gè)角是60°的等腰三角形。【清單05】直角三角形特殊性質(zhì)1.含30°角的直角三角形（1）性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角是30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。（2）應(yīng)用場(chǎng)景：求解含30°角的直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系。2.斜邊中線定理（1）性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。（2）應(yīng)用場(chǎng)景：求解直角三角形斜邊中線長(zhǎng)度或斜邊長(zhǎng)度?！绢}型一】組成三角形的條件【例1】下列長(zhǎng)度的三條線段可以組成三角形的是（

）A．2，3，4 B．5，6，12 C．1，5，9 D．2，5，7【答案】A【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系．根據(jù)三角形“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”即可逐項(xiàng)判斷．∴可以構(gòu)成三角形；∴不能構(gòu)成三角形；∴不能構(gòu)成三角形；∴不能構(gòu)成三角形．故選：A．【變式11】下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長(zhǎng)度，用它們能擺成三角形的是（

）【答案】B【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，判斷能否組成三角形的簡(jiǎn)便方法是看較小的兩個(gè)數(shù)的和是否大于第三個(gè)數(shù)．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析．故選：B．【變式12】已知等腰三角形的一條邊等于，另一條邊等于，那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，分是腰長(zhǎng)和底邊兩種情況討論求解即可．【詳解】解：是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為、、，不能組成三角形，是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為、、，能組成三角形，綜上所述，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是．故答案為：．【題型二】全等三角形的性質(zhì)A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)果，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．故選A． A． B． C． D．【答案】D故選：D．【答案】7【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，直接根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出結(jié)論即可．故答案為：7．【題型三】全等的依據(jù)【答案】D故選：D．【答案】D故選：D．【答案】/邊邊邊故答案為：．【題型四】最值問題A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：如圖，連接，∴垂直平分，故選：C．A． B． C． D．【答案】C本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，將軍飲馬河原理的應(yīng)用，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．∴點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，故選：C．【答案】3【分析】本題考查軸對(duì)稱－最短路線問題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，能用一條線段的長(zhǎng)表示出三條線段的和的最小值是解題的關(guān)鏈．故答案為：3．【題型五】軸對(duì)稱圖形（含網(wǎng)格作圖）【例5】下列各種標(biāo)志中，不是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸．根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A，B，C選項(xiàng)中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；D選項(xiàng)中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；故選：D．【答案】10【分析】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵垂直平分，故答案為：10(2)如果要在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使點(diǎn)H到A，B兩點(diǎn)的距離之和最短，請(qǐng)?jiān)谏蠘?biāo)出點(diǎn)H；【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】此題主要考查了圖形的變換軸對(duì)稱．（1）分別作出A、B、C三點(diǎn)關(guān)于直線MN對(duì)稱的點(diǎn)，再順次連接即可；（2）連接（或）與相交于點(diǎn)H，點(diǎn)H即為所求；（3）利用割補(bǔ)法求解．（2）解：如（1）圖，點(diǎn)H即為所求；【題型六】全等三角形的判定

A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】本題考查網(wǎng)格中判斷三角形全等，根據(jù)全等三角形的判定方法，借助網(wǎng)格特點(diǎn)，畫出符合題意的三角形即可．【詳解】解：如圖，符合題意的三角形共有4個(gè)；

故選B．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【題型七】角平分線的性質(zhì)與判定A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D∴點(diǎn)P到與的距離之和為，故選：D．【答案】故答案為：．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義和性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，理解角平分線的定義，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【題型八】垂直平分線的性質(zhì)與判定A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【詳解】解：垂直平分，故選：B．【答案】3點(diǎn)在的垂直平分線上，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造全等三角形．求證：點(diǎn)在的垂直平分線上；【答案】(1)見解析；見解析；；(2)；(3)．【分析】本題考查了線段垂直平分線判定，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練使用各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（）畫出圖形利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合圖形求解即可．【詳解】（1）證明：連接，，如圖，∴點(diǎn)在的垂直平分線上；故答案為：；故答案為：；【題型九】等腰三角形的性質(zhì)與判定A． B． C． D．【答案】B故選B．【答案】或分以下兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在的右邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在的左邊時(shí)，故答案為：或．【答案】(1)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．【題型十】等邊三角形的性質(zhì)與判定【答案】C故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的定義與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【答案】/20度故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的意義等知識(shí)，掌握這些知識(shí)是關(guān)鍵．【答案】(1)見解析【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵；【詳解】（1）證明：如題圖①，（2）解：如題圖②，【題型十一】設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的畫法、軸對(duì)稱最短路徑問題以及三角形面積的計(jì)算（割補(bǔ)法），熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)和割補(bǔ)法求面積是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)，找到點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再連接、．（2）利用軸對(duì)稱最短路徑原理，先找（或）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再連接對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)，與直線交點(diǎn)即為．（3）用“割補(bǔ)法”求解即可．∴點(diǎn)、在線段的垂直平分線上，∴垂直平分，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，【變式111】如圖，在所給的網(wǎng)格圖中，完成下列各題【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查了畫軸對(duì)稱圖形、最短路徑問題，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)正確作圖是解題的關(guān)鍵．（1）分別作點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)、、，再順次連接、、所得的三角形即為所求；（2）解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求；（3）解：如圖所示，點(diǎn)Q即為所求．【變式112】如圖所示，由每一個(gè)邊長(zhǎng)均為1的小正方形構(gòu)成的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，M，N均在格點(diǎn)上（小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)），利用網(wǎng)格畫圖．【答案】(1)見解析(2)3(3)見解析【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)與對(duì)稱軸是垂直等距原理畫圖即可；（2）根據(jù)分割法計(jì)算面積即可；本題考查了軸對(duì)稱作圖，分割法計(jì)算面積，對(duì)頂角相等，熟練掌握軸對(duì)稱作圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)與對(duì)稱軸是垂直等距原理畫圖如下：則點(diǎn)P即為所求．【題型十二】尺規(guī)作圖【答案】(1)見解析(2)24【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，三角形的面積的計(jì)算，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的作法，畫出圖形即可；(1)用尺規(guī)作的垂直平分線，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，連接，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析【分析】本題主要考查了用尺規(guī)作線段垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，等邊對(duì)等角，【詳解】（1）解：如答圖，直線即為所求．理由如下：【答案】見解析【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、垂線段的性質(zhì)的運(yùn)用等知識(shí)點(diǎn)，弄清問題中對(duì)所作圖形的要求、結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法成為解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：點(diǎn)Q即為所求．【題型十三】課本上的定理證明定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．【定理探索】（1）書中對(duì)上面的定理沒有給出證明，請(qǐng)你結(jié)合圖1，給出定理的證明．，故答案為：12；故答案為：40；【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握它們性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式131】課本再現(xiàn)：通過以上測(cè)量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？【實(shí)驗(yàn)猜想】針對(duì)以上問題，同學(xué)們進(jìn)行了小組實(shí)驗(yàn)探究，并猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．【推理證明】為了證明該定理，小明同學(xué)根據(jù)書上的圖形（如圖12.33）寫出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你利用全等的知識(shí)完成證明過程．【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析；②故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、角平分線的性質(zhì)和判定以及三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式132】定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程【答案】【推理證明】見解析；【探究問題】見解析；【拓展思考】【分析】推理證明∶依據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形來證明．【詳解】解：【推理證明】∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，【拓展思考】連接，如圖，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行四邊形、矩形及菱形的判定．【題型十四】倍長(zhǎng)中線法【例14】【閱讀理解】（2）連接，利用三角形的三邊關(guān)系可以確定的取值范圍，從而可以得到的取值范圍是_______；【方法總結(jié)】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中；【問題解決】【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，三角形的面積，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的判定定理即可解答；（2）根據(jù)三角形三邊的關(guān)系即可求出的取值范圍，進(jìn)而可求出得取值范圍；∵是中線，故選：B；故選：D；故答案為：．【變式141】【閱讀理解】（2）連接，利用三角形的三邊關(guān)系可以確定的取值范圍，從而可以得到的取值范圍是_______________；【方法總結(jié)】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中；【問題解決】本題考查了中線的應(yīng)用，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，垂直的證明，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．∵是邊上的中線，故選：B．故答案為：6．【變式142】【教材呈現(xiàn)】【嘗試感悟】②求的取值范圍．【問題解決】(3)6【分析】本題主要考查了中線的定義，垂直平分線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)和判定，構(gòu)造全等三角形來解決中線的取值范圍和求解線段長(zhǎng)度的問題，構(gòu)造輔助線是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中線的定義求解即可．根據(jù)三角形三邊關(guān)系：兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊，（3）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于F，如圖所示：【題型十五】角平分線與垂直平分線結(jié)合【例15】如圖，已知在△ABC中，AE平分△ABC的外角∠PAC，DE垂直平分BC，分別交BC，AC，AE于點(diǎn)D，F(xiàn)，E，分別過點(diǎn)E作EQAP，EHAC，垂足分別為Q，H．(1)求證：BQ＝CH；(2)若AQ＝4，BQ＝12，求AC的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)16【分析】（1）連接EB，EC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EQ＝EH，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝EC，即可利用HL判定Rt△BEQ≌Rt△CEH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；（2）結(jié)合（1），利用HL判定Rt△AEQ≌Rt△AEH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AQ＝AH，結(jié)合BQ＝CH，利用線段的和差即可得解．【詳解】（1）證明：連接EB，EC，如圖所示：∵AE平分∠PAC，EQ⊥AP，EH⊥AC，∴EQ＝EH，∵DE垂直平分BC，∴EB＝EC，∴Rt△BEQ≌Rt△CEH（HL），∴BQ＝CH．（2）解：∵EQ⊥AP，EH⊥AC，∴∠AQE＝∠AHE＝90°，∴Rt△AEQ≌Rt△AEH（HL），∴AQ＝AH，由（1）知BQ＝CH，∴AC＝AH＋CH＝AQ＋BQ，∵AQ＝4，BQ＝12，∴AC＝16．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．如圖，連接DA，DB，【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS和HL；全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊上的中線相等、對(duì)應(yīng)邊上的高線相等、對(duì)應(yīng)角的角平分線相等．【答案】(1)見解析(2)AE=4，BE=1【分析】（1）連接BD、CD，先由垂直平分線性質(zhì)得BD=CD，再由角平分線性質(zhì)得DE=CF，然后證Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出結(jié)論；（2）證明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，則CF=AFAC=AEAC，又因?yàn)锽E=ABAE，由（1）知BE=CF，則ABAE=AEAC，代入AB、AC值即可求得AE長(zhǎng)，繼而求得BE長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖，連接BD、CD，∴BD=CD，∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BED與Rt△CFD中，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△AED與Rt△AFD中，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∴CF=AFAC=AEAC，由（1）知：BE=CF，∴ABAE=AEAC即5AE=AE3，∴AE=4，∴BE=ABAE=54=1，【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定義和線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【題型十六】等奧三角形與斜中定理結(jié)合【答案】(1)見解析(2)4【分析】本題考查了直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)和等邊三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算；【詳解】（1）證明：連接、，∵是的中點(diǎn)，【答案】見解析【詳解】證明：如圖，連接，．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半．【答案】(1)①見解析；②；【分析】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）①證明：連接，又∵是的中點(diǎn)，（2）解：連接，【題型十七】手拉手模型(1)請(qǐng)寫出線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)求直線與相交所夾銳角的度數(shù)．(2)【分析】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．（2）解：分別延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)，【變式171】數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．【分析】本題考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖1，設(shè)交于點(diǎn)G，（3）解：如圖3所示：當(dāng)F點(diǎn)在線段上時(shí)，(1)試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．①試猜想與的數(shù)量關(guān)系（只猜想，不用證明）；②你能求出與的夾角(小于等于90°的角）度數(shù)嗎？如果能，請(qǐng)直接寫出夾角度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由．(2)不發(fā)生變化，理由見解析理由：延長(zhǎng)交于．（2）解：不發(fā)生變化，②能．即與所成的角的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合題，等邊三角形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答．【題型十八】新定義問題【例18】定義：在等腰三角形中，過某底角頂點(diǎn)的一條射線分這個(gè)底角所成的兩個(gè)角中恰好有一個(gè)角等于這個(gè)等腰三角形的頂角，那么稱這條射線為這個(gè)等腰三角形的“等角分割線”．【答案】(1)詳見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)．∴垂直平分，【變式181】定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成三個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線．(1)請(qǐng)你在圖②中畫出頂角為的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)；【答案】(1)圖見解析（答案不唯一）(2)或【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的定義、三角形的三分線的定義畫出圖形即可得；【詳解】（1）解：畫圖如下：（答案不唯一）則分以下兩種情況：綜上，的度數(shù)為或．【變式182】定義：三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的珺琟點(diǎn)．(2)(3)見解析【分析】（1）利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和即可求解；【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義及性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造適當(dāng)輔助線證明三角形全等是解決（3）小題的關(guān)鍵．【題型一】三邊關(guān)系應(yīng)用數(shù)軸化簡(jiǎn)符號(hào)問題【答案】A故選A．【分析】此題主要考查三角形三邊關(guān)系的理解及運(yùn)用能力．三角形的組成規(guī)則：任意兩條邊的長(zhǎng)度和大于第三邊同時(shí)應(yīng)保證這任意兩條邊的長(zhǎng)度差小于第三邊．根據(jù)三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，來判定絕對(duì)值里的式子的正負(fù)值，然后去絕對(duì)值進(jìn)行計(jì)算即可．【題型二】格點(diǎn)組成三角形沒分類全A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：如圖所示，故選：C．【答案】4【分析】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．根據(jù)全等三角形的判定畫出圖形，即可判斷．【詳解】解：如圖，觀察圖象可知滿足條件的三角形有4個(gè)．由圖可得，所有格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是4，故答案為：4．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，畫三角形的高，畫三角形的中線，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）如圖所示，取格點(diǎn)H，連接交于D，則線段即為所求；（2）如圖所示，取格點(diǎn)E，連接，則線段即為所求；【詳解】（1）解：如圖所示，線段即為所求；（2）解；如圖所示，線段即為所求；【題型三】全等三角形動(dòng)點(diǎn)情況討論不夠A．2 B． C．2或 D．2或【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，故選：C．【答案】2或4【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分情況討論，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出的值．【詳解】解：故答案為：2或4．（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在邊上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在邊上時(shí)，即可求解；（3）根據(jù)題意可得點(diǎn)A和點(diǎn)D為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，然后分類討論：∴點(diǎn)A和點(diǎn)D為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)及三角形面積、一元一次方程的幾何應(yīng)用，分類討論思想，掌握全等三角形的性質(zhì)及分情況討論是解題的關(guān)鍵．【題型一】三角形三種角平分線A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的定義．故選：D．(2)見解析（2）解：延長(zhǎng)交于D，如圖所示：【題型二】三角形三種折疊方法：向內(nèi)折：∠1+∠2=2∠A向外折：∠3∠4=2∠A邊上折：∠5=2∠A【答案】C故選：C．【答案】/度故答案為：．【分析】本題考查折疊問題，三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，熟練應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)來解決問題．【詳解】（1）解：如圖（2）解：如圖，連接，（3）解：如圖，連接，【題型三】?jī)蓤A一線畫等腰三角形題型：已知A、B兩點(diǎn)，在直線l上找點(diǎn)P，使得▲ABP是等腰三角形。方法：以A為圓心，AB為半徑畫圓與l交于點(diǎn)P1、P4；以B為圓心，AB為半徑畫圓與l交于點(diǎn)P2、P5；連接兩圓的交點(diǎn)形成直線（AB的垂直平分線）與l交于點(diǎn)P3.A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的判定，根據(jù)題意，畫出圖形，即可得到答案．如圖，①以點(diǎn)A為圓心