2025年高三數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)家貢獻專題模擬試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分）秦九韶算法與多項式求值南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出"增乘開方法"，其核心思想被現(xiàn)代算法稱為秦九韶算法。已知多項式(f(x)=2x^5-3x^4+4x^3-5x^2+6x-7)，若用秦九韶算法求(f(3))的值，則運算過程中需要進行的乘法次數(shù)為（）A.4次B.5次C.6次D.7次劉徽割圓術(shù)與極限思想魏晉數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)"割圓術(shù)"，其核心思想為"割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣"。如圖1，圓內(nèi)接正(n)邊形邊長為(a_n)，半徑為(R)，則劉徽通過遞推公式(a_{2n}=\sqrt{2R^2-R\sqrt{4R^2-a_n^2}})計算圓周長。若(R=1)，且(a_6=1)，則(a_{12})的值為（）A.(\sqrt{2-\sqrt{3}})B.(\sqrt{2+\sqrt{3}})C.(2-\sqrt{3})D.(2+\sqrt{3})祖暅原理與體積計算南北朝數(shù)學(xué)家祖暅提出"冪勢既同，則積不容異"（祖暅原理），即夾在兩個平行平面間的幾何體，若被平行于這兩個平面的任意平面所截得的截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等。已知某不規(guī)則幾何體與棱長為2的正方體滿足祖暅原理條件，且正方體體積為8，則該不規(guī)則幾何體的體積為（）A.4B.6C.8D.12笛卡爾坐標(biāo)系與軌跡方程法國數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立坐標(biāo)系后，實現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化。已知平面直角坐標(biāo)系中，點(P(x,y))滿足到點(A(1,0))與到直線(x=-1)的距離相等，則點(P)的軌跡方程為（）A.(y^2=2x)B.(y^2=4x)C.(x^2=2y)D.(x^2=4y)費馬大定理與整數(shù)解法國數(shù)學(xué)家費馬提出"當(dāng)(n>2)時，方程(x^n+y^n=z^n)沒有正整數(shù)解"（費馬大定理），該定理于1995年被懷爾斯證明。若存在正整數(shù)(x,y,z)滿足(x^2+y^2=z^2)，且(x=5)，則下列選項中可能為(y)值的是（）A.10B.12C.14D.16高斯函數(shù)與分段函數(shù)德國數(shù)學(xué)家高斯提出"高斯函數(shù)"(f(x)=[x])，其中([x])表示不超過(x)的最大整數(shù)。已知函數(shù)(f(x)=[2x-1])，則(f(x))在區(qū)間([0,2))上的值域為（）A.({-1,0,1,2})B.({0,1,2,3})C.({-1,0,1,2,3})D.({0,1,2,3,4})楊輝三角與二項式系數(shù)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中記載"開方作法本源圖"（楊輝三角），與二項式系數(shù)展開規(guī)律一致。若((a+b)^n)的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則(n)的值為（）A.9B.10C.11D.12阿基米德窮竭法與球體積古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用"窮竭法"推導(dǎo)球體積公式(V=\frac{4}{3}\piR^3)。已知球的半徑為(R)，則其外切正方體（各面均與球相切的正方體）的體積與球體積之比為（）A.(\frac{6}{\pi})B.(\frac{\pi}{6})C.(\frac{3}{\pi})D.(\frac{\pi}{3})牛頓-萊布尼茨公式與定積分英國數(shù)學(xué)家牛頓與德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨共同創(chuàng)立微積分，其中牛頓-萊布尼茨公式(\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a))（(F'(x)=f(x))）是連接微分與積分的橋梁。計算定積分(\int_0^\pi\sinxdx)的值為（）A.-2B.0C.1D.2貝葉斯定理與概率計算英國數(shù)學(xué)家貝葉斯提出的貝葉斯定理在人工智能、醫(yī)療診斷等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。某醫(yī)院用某檢測方法診斷疾病，已知該病的發(fā)病率為0.01%，檢測的真陽性率（患病者檢測為陽性）為99%，假陽性率（未患病者檢測為陽性）為1%。若某人檢測結(jié)果為陽性，則其實際患病的概率約為（）A.0.99%B.1%C.9.9%D.99%二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）《九章算術(shù)》與線性方程組《九章算術(shù)》"方程"章中記載："今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？"設(shè)上、中、下禾每秉分別為(x,y,z)斗，則可列方程組為________________________，其解為(x=)______。斐波那契數(shù)列與遞推關(guān)系意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在《計算之書》中提出斐波那契數(shù)列({F_n})：(F_1=1,F_2=1,F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}(n\geq3))。若(F_{10}=55)，(F_{12}=144)，則(F_{11}=)，前10項和(S{10}=)_。歐幾里得幾何與三角形全等古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中系統(tǒng)整理平面幾何公理。已知在(\triangleABC)與(\triangleDEF)中，(AB=DE)，(AC=DF)，若添加條件________或________，則可根據(jù)"邊角邊"（SAS）判定兩三角形全等。華羅庚優(yōu)選法與黃金分割中國數(shù)學(xué)家華羅庚推廣的"優(yōu)選法"基于黃金分割率(\omega=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618)。在區(qū)間([1,10])內(nèi)利用黃金分割法選取試點，則第一個試點坐標(biāo)為______（精確到小數(shù)點后兩位）。拉普拉斯變換與微分方程法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯提出的拉普拉斯變換可將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。若函數(shù)(y=y(x))滿足微分方程(y'+2y=0)且(y(0)=1)，則其解為(y=)______。陳省身示性類與微分幾何華裔數(shù)學(xué)家陳省身創(chuàng)立的示性類理論是微分幾何的重要工具。已知球面的高斯曲率為常數(shù)(K)，半徑為(R)，則(K=)；若球面三角形的三個內(nèi)角分別為(\alpha,\beta,\gamma)，則其面積(S=)（用(K,\alpha,\beta,\gamma)表示）。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）祖沖之圓周率與近似計算南北朝數(shù)學(xué)家祖沖之將圓周率精確到小數(shù)點后7位，即(3.1415926<\pi<3.1415927)，并提出"約率"(\frac{22}{7})與"密率"(\frac{355}{113})。（1）驗證密率(\frac{355}{113})的小數(shù)表示，說明其精確到小數(shù)點后第幾位；（2）利用圓內(nèi)接正(n)邊形周長(L_n=2nR\sin\frac{\pi}{n})，取(R=1)，計算(n=12,24,48)時的(L_n)，并分析當(dāng)(n)增大時(L_n)與(2\pi)的關(guān)系。（12分）秦九韶多項式求值與算法優(yōu)化已知多項式(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0)，秦九韶算法將其改寫為嵌套形式：(f(x)=(\dots((a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dots+a_1)x+a_0)。（1）用秦九韶算法求(f(x)=3x^4-2x^3+5x^2-7x+1)在(x=2)處的值，寫出計算步驟；（2）比較秦九韶算法與直接展開法的運算效率（提示：計算乘法與加法次數(shù)），說明該算法的優(yōu)勢。（12分）劉徽"牟合方蓋"與球體積推導(dǎo)劉徽為推導(dǎo)球體積公式，構(gòu)造了"牟合方蓋"（由兩個正交圓柱面圍成的幾何體），并指出"牟合方蓋體積與內(nèi)切球體積之比為(4:\pi)"。（1）設(shè)球半徑為(R)，證明牟合方蓋的體積(V_{蓋}=\frac{16}{3}R^3)；（2）若某球的外切牟合方蓋表面積為(32\pi)，求該球的體積。（12分）高斯正態(tài)分布與概率應(yīng)用德國數(shù)學(xué)家高斯發(fā)現(xiàn)的正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))在統(tǒng)計學(xué)中具有核心地位，其概率密度函數(shù)為(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}})。（1）若隨機變量(X\simN(0,1))，求(P(-1<X<1))（參考數(shù)據(jù)：(\Phi(1)=0.8413)，其中(\Phi(x))為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)）；（2）某工廠生產(chǎn)的零件長度(Y\simN(50,4))（單位：mm），若規(guī)定長度在([48,54])內(nèi)為合格品，求生產(chǎn)1000個零件時合格品的數(shù)量期望。（12分）楊輝三角與二項式定理推廣楊輝三角中蘊含豐富的數(shù)學(xué)規(guī)律，如第(n)行（從0開始計數(shù)）的數(shù)對應(yīng)((a+b)^n)的展開式系數(shù)。（1）寫出第5行的楊輝三角數(shù)，并驗證其和為(2^5)；（2）利用二項式定理證明：(\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n)，(\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^k=0)；（3）若((1+x)^n=\sum_{k=0}^nC_n^kx^k)，求(\sum_{k=0}^nkC_n^k)的值（用含(n)的代數(shù)式表示）。（12分）數(shù)學(xué)建模綜合題：《九章算術(shù)》"均輸術(shù)"的現(xiàn)代應(yīng)用《九章算術(shù)》"均輸"章記載了按人口、距離等因素合理分配賦役的算法。某物流公司現(xiàn)有A、B、C三個倉庫，分別存儲貨物120噸、180噸、200噸，需調(diào)運至甲、乙兩個配送中心，甲中心需240噸，乙中心需260噸。已知每噸貨物的運輸成本（單位：元/噸）如下表：倉庫/配送中心甲中心乙中心A1015B1218C1420（1）設(shè)從A倉庫調(diào)往甲中心(x)噸，B倉庫調(diào)往甲中心(y)噸，寫出總運輸成本(z)關(guān)于(x,y)的函數(shù)關(guān)系式，并求出(x,