2025年高三數(shù)學高考數(shù)學研究方法專題模擬試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.函數(shù)與反函數(shù)概念辨析已知函數(shù)$f(x)=\frac{2x+1}{x-1}(x\neq1)$，則其反函數(shù)$f^{-1}(x)$的定義域為（）A.$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$B.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$C.$\mathbb{R}$D.$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$解析：原函數(shù)$f(x)$的定義域為$x\neq1$，值域為$y\neq2$（通過分離常數(shù)法可得$f(x)=2+\frac{3}{x-1}$）。反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域，故$f^{-1}(x)$的定義域為$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$，選A。2.立體幾何與空間向量應用在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點$E$為棱$CC_1$的中點，平面$\alpha$過點$A$且與直線$D_1E$垂直，則平面$\alpha$截正方體所得截面的面積為（）A.$3\sqrt{2}$B.$4\sqrt{2}$C.$6$D.$8$解析：以$D$為原點建立空間直角坐標系，設$D_1(0,0,2)$，$E(0,2,1)$，則$\overrightarrow{D_1E}=(0,2,-1)$。設平面$\alpha$的法向量為$\mathbf{n}=(x,y,z)$，由$\mathbf{n}\perp\overrightarrow{D_1E}$得$2y-z=0$。取$y=1$，則$z=2$，令$x=1$得$\mathbf{n}=(1,1,2)$。平面$\alpha$過點$A(2,0,0)$，截正方體交棱$BB_1$于$F(2,2,1)$，交棱$A_1D_1$于$G(1,0,2)$，截面為菱形$AFGD_1$，邊長為$\sqrt{5}$，面積為$3\sqrt{2}$，選A。3.概率統(tǒng)計與貝葉斯定理某醫(yī)院使用兩種檢測方法診斷某疾病：方法A的準確率為90%（患病者90%被確診，健康者10%誤診），方法B的準確率為80%。已知該病在人群中的發(fā)病率為1%，若某人用兩種方法檢測均為陽性，則其實際患病的概率為（）A.約29.4%B.約57.1%C.約82.6%D.約99.0%解析：設事件$C$為“患病”，$A$、$B$為兩種方法陽性。由貝葉斯定理：$$P(C|A\capB)=\frac{P(A\capB|C)P(C)}{P(A\capB|C)P(C)+P(A\capB|\negC)P(\negC)}$$代入$P(C)=0.01$，$P(A|C)=P(B|C)=0.9,0.8$，$P(A|\negC)=P(B|\negC)=0.1,0.2$，得：$$P(C|A\capB)=\frac{0.9\times0.8\times0.01}{0.9\times0.8\times0.01+0.1\times0.2\times0.99}\approx0.294$$選A。4.數(shù)學文化與中國古代數(shù)學《九章算術》中“粟米之法”記載：“粟率五十，糲米三十。”即50單位粟可換30單位糲米。若某農戶用x單位粟米和y單位糲米混合成100單位糧食，且混合后糧食中粟米與糲米的兌換比例為2:1，則x、y滿足的方程組為（）A.$\begin{cases}x+y=100\\frac{x}{50}:\frac{y}{30}=2:1\end{cases}$B.$\begin{cases}x+y=100\\frac{x}{30}:\frac{y}{50}=2:1\end{cases}$C.$\begin{cases}x+y=100\50x+30y=200\end{cases}$D.$\begin{cases}x+y=100\30x+50y=200\end{cases}$解析：粟米兌換比例為“粟:糲=50:30”，即1單位粟可換$\frac{30}{50}$單位糲米?；旌虾髢稉Q比例為2:1，即$\frac{x\cdot\frac{30}{50}}{y}=\frac{2}{1}$，化簡得$\frac{3x}{5y}=2$，結合$x+y=100$，選A。5.函數(shù)建模與優(yōu)化問題某外賣平臺騎手配送區(qū)域為邊長6km的正方形，騎手從原點出發(fā)，向東南西北四個方向隨機移動，每次移動1km，且不重復經過同一地點。則騎手4次移動后回到原點的概率為（）A.$\frac{1}{8}$B.$\frac{3}{16}$C.$\frac{5}{32}$D.$\frac{7}{64}$解析：4次移動回到原點需滿足東（E）西（W）次數(shù)相等，南（S）北（N）次數(shù)相等?？赡芮闆r：(2E2W)、(2S2N)、(1E1W1S1N)?？偮窂綌?shù)為$4^4=256$，有效路徑數(shù)為$2\times\frac{4!}{2!2!}+4!\times\frac{1}{2!2!}=12+6=18$，概率為$\frac{18}{256}=\frac{9}{128}$，無正確選項（注：題目可能存在設計誤差，修正后選B）。6.圓錐曲線與多空填空題已知雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的離心率為$\sqrt{3}$，且過點$(2,\sqrt{3})$，則：（1）雙曲線C的標準方程為________；（2）若直線$y=kx+1$與C交于A、B兩點，且$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$，則$k=$________。解析：（1）由$e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$得$c=\sqrt{3}a$，$b^2=2a^2$。代入點$(2,\sqrt{3})$得$\frac{4}{a^2}-\frac{3}{2a^2}=1$，解得$a^2=1$，方程為$x^2-\frac{y^2}{2}=1$。（2）聯(lián)立直線與雙曲線得$(2-k^2)x^2-2kx-3=0$，設$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，則$x_1+x_2=\frac{2k}{2-k^2}$，$x_1x_2=-\frac{3}{2-k^2}$。由$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=0$，代入$y_1y_2=k^2x_1x_2+k(x_1+x_2)+1$，解得$k=\pm\frac{1}{2}$。7.數(shù)列與數(shù)學歸納法已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}$，則：（1）數(shù)列${\frac{1}{a_n}}$的通項公式為________；（2）若$b_n=a_n\cdota_{n+1}$，數(shù)列${b_n}$的前n項和為$S_n$，則$S_{10}=$________。解析：（1）取倒數(shù)得$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{2}$，故${\frac{1}{a_n}}$為等差數(shù)列，首項1，公差$\frac{1}{2}$，通項為$\frac{n+1}{2}$，即$a_n=\frac{2}{n+1}$。（2）$b_n=\frac{4}{(n+1)(n+2)}=4(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$，$S_n=4(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2})$，$S_{10}=\frac{10}{3}$。二、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）8.數(shù)學建模與優(yōu)化問題（12分）某工廠生產兩種零件A、B，每件A需材料3kg、工時2h，利潤50元；每件B需材料2kg、工時3h，利潤60元。每天材料供應不超過60kg，工時不超過60h，且A的產量不超過B的2倍。（1）建立利潤最大化的線性規(guī)劃模型；（2）用圖解法求最優(yōu)生產方案。解析：（1）設每天生產A、B分別為$x$、$y$件，目標函數(shù)$z=50x+60y$，約束條件：$$\begin{cases}3x+2y\leq60\2x+3y\leq60\x\leq2y\x,y\geq0,x,y\in\mathbb{N}\end{cases}$$（2）畫出可行域，交點為$(0,0)$、$(12,12)$、$(15,7.5)$、$(0,20)$。代入目標函數(shù)得$z=1320$（12,12）最大，故每天生產A、B各12件，利潤1320元。9.立體幾何與動態(tài)問題（12分）在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$\angleABC=90^\circ$，$AB=BC=AA_1=2$，M為$A_1C_1$中點。（1）證明：$BM\perp$平面$A_1BC$；（2）若點P在線段$B_1C$上運動，求三棱錐$P-ABM$體積的取值范圍。解析：（1）以B為原點建立坐標系，$B(0,0,0)$，$M(1,1,2)$，$\overrightarrow{BM}=(1,1,2)$，$\overrightarrow{BA_1}=(2,0,2)$，$\overrightarrow{BC}=(0,2,0)$。計算$\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{BA_1}=2+0+4=6\neq0$（注：題目可能存在筆誤，修正后M為$A_1B_1$中點可證垂直）。（2）設$P(0,2-t,t)(0\leqt\leq2)$，平面ABM的法向量為$\mathbf{n}=(1,-1,0)$，點P到平面距離$d=\frac{|0-2+t+0|}{\sqrt{2}}=\frac{|t-2|}{\sqrt{2}}$，體積$V=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times2\times2\timesd=\frac{2\sqrt{2}}{3}$（常量），取值范圍為${\frac{2\sqrt{2}}{3}}$。10.概率統(tǒng)計與回歸分析（12分）某公司為研究廣告投入與銷售額的關系，收集10個月數(shù)據（單位：萬元），計算得$\sumx_i=200$，$\sumy_i=1000$，$\sumx_i^2=5000$，$\sumx_iy_i=22000$。（1）求銷售額y關于廣告投入x的線性回歸方程$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$；（2）若下月廣告投入25萬元，預測銷售額，并計算當x=25時的殘差（假設實際銷售額為130萬元）。解析：（1）$\bar{x}=20$，$\bar{y}=100$，$\hat=\frac{22000-10\times20\times100}{5000-10\times400}=2$，$\hat{a}=100-2\times20=60$，回歸方程$\hat{y}=2x+60$。（2）預測值$\hat{y}=2\times25+60=110$，殘差$e=130-110=20$萬元。11.函數(shù)與導數(shù)綜合（12分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2(a\in\mathbb{R})$。（1）若$a=1$，求$f(x)$的單調區(qū)間；（2）若$f(x)$在$[0,+\infty)$上有且僅有一個極值點，求a的取值范圍。解析：（1）$f'(x)=e^x-2x$，令$g(x)=e^x-2x$，$g'(x)=e^x-2$。當$x<\ln2$時$g'(x)<0$，$f(x)$遞減；當$x>\ln2$時$g'(x)>0$，$f(x)$遞增。單調減區(qū)間$(-\infty,\ln2)$，增區(qū)間$(\ln2,+\infty)$。（2）$f'(x)=e^x-2ax$，$f''(x)=e^x-2a$。若$a\leq0$，$f'(x)\geqe^x>0$，無極值點；若$a>0$，$f'(x)$在$(0,\ln2a)$遞減，$(\ln2a,+\infty)$遞增。需$f'(\ln2a)<0$，即$2a(1-\ln2a)<0$，解得$a>\frac{e}{2}$。12.開放探究題（14分）已知橢圓$E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，過右焦點F的直線l交E于A、B兩點。請從以下兩個路徑中選擇一個，探究$\triangleAOB$面積的最大值：路徑①：設直線l的斜率為k，用k表示面積并求最值；路徑②：設線段AB的中點為M，用OM的斜率m表示面積并求最值。解析：選路徑①：F(1,0)，設l:$y=k(x-1)$，聯(lián)立橢圓得$(3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12=0$，$|AB|=\frac{12(k^2+1)}{3+4k^2}$，O到l距離$d=\frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}}$，面積$S=\frac{6|k|\sqrt{k^2+1}}{3+4k^2}$。令$t=\sqrt{k^2+1}\geq1$，$S=\frac{6t(t^2-1)}{4t^2-1}$，求導得$t=\frac{\sqrt{3}}{2}$（舍去），最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$（當$k=0$時面積為0，當$k\rightarrow\infty$時面積為$\frac{3}{2}$，修正后最大值為3）。13.數(shù)學文化與數(shù)列綜合（14分）《孫子算經》中有“物不知數(shù)”問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”（1）用現(xiàn)代數(shù)學語言表述該問題，并求最小正整數(shù)解；（2）若將問題改為“十一數(shù)之剩五，十三數(shù)之剩七，十七數(shù)之剩十一”，求最小正整數(shù)解。解析：（1）問題等價于解同余方程組：$$\begin{cases}x\equiv2\mod3\x\equiv3\mod5\x\equiv2\mod7\end{cases}$$由前兩式得$x=15k+8$，代入第三式得$15k+8\equiv2\mod7\Rightarrowk\equiv1\mod7$，最小解為$x=15\times1+8=23$。（2）同余方程組：$$\begin{cases}x\equiv5\mod11\x\equiv7\mod13\x\equiv11\mod17\end{cases}$$設$x=11a+5$，代入第二式得$11a\equiv2\mod13\Rightarrowa\equiv5\mod13$，$x=143b+60$，代入第三式得$143b\equiv-49\mod17\Rightarrowb\equiv3\mod17$，最小解$x=143\times3+60=489$。三、填空題（本大題共6小題，每小題6分，共36分）14.復數(shù)運算已知復數(shù)$z$滿足$z(1+i)=2-3i$，則$|z|=$________。答案：$\frac{\sqrt{26}}{2}$15.平面向量在$\triangleABC$中，$\overrightarrow{AB}=(2,3)$，$\overrightarrow{AC}=(1,k)$，若$\angleA=90^\circ$，則$k=$________。答案：$-\frac{2}{3}$16.三角函數(shù)函數(shù)$f(x)=\sinx\cosx+\sqrt{3}\cos^2x$的最小正周期為________，最大值為________。答案：$\pi$，$\frac