雅安天立學(xué)校高中2025-2026學(xué)年度秋季高2024級期中考試數(shù)學(xué)本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試題卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷組成，共4頁；答題卡共4頁。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡和試卷指定位置上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某超市收銀臺排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率如下：排隊(duì)人數(shù)01234概率0.10.160.30.30.10.04則至少有兩人排隊(duì)的概率為()A、0.16 B、0.26 C、0.56 D、0.742．圓心為(1,2)，且過(0,0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A、(x+1)2+(y+2)2=5C、(x-1)2+(y-23．已知點(diǎn)A(3,1),B(33,3),則直線AB的傾斜角A、 B、 C、 D、4．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(-4,7)，則BC邊的中線A、25 B、35 C、5525．設(shè)直線l與平面α相交，且l的方向向量為a→,α的法向量為n→，若〈a→，n→〉=2π3，則lA、2π3 B、π3 C、π6 6．已知l，m為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則m至少與中一個(gè)平行 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則7．設(shè)A(-2,2),B(1,1),若直線l:ax+y+1=0與線段AB有交點(diǎn),則aA、(-∞,-32C、(-∞,-2]∪8．已知△ABC的外接圓圓心為O，且，，點(diǎn)D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知圓，則下列說法正確的是（）A、圓的圓心為 B、圓的圓心為C、圓的半徑為5 D、圓被軸截得的弦長為610．已知平面α的一個(gè)法向量為n→1=(1,-2,-12)，平面β的一個(gè)法向量為n→2=(-1,0,-2)A、 B、α⊥βC、l與m為相交直線或異面直線 D、a→在b→11．如圖，正四棱臺中，其中，，下列說法正確的是（

）A．平面平面B．直線與面ABCD所成角的大小為C．異面直線與所成角的余弦值為D．以A為球心，1為半徑作一個(gè)球，則該球球面與正四棱臺表面相交的交線長為第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知直線l：kx-y+1+2k=0(k∈R)，則直線13．如圖，是兩圓輪疊靠在墻邊，已知兩輪半徑分別為2和1，則它們與墻的切點(diǎn)A，B間的距離為______.14．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且，面，為棱上一動(dòng)點(diǎn)，滿足.若二面角的平面角的正切值為，當(dāng)時(shí)，求與平面所成角的正弦值________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)計(jì)算下面各小題：(1)若，，求的值；(2)直線l1:y=-x+1與直線l2(3)l的傾斜角是2π3，l在x軸上的截距是-3，求直線l的方程16．(15分)已知定點(diǎn)，點(diǎn)B為圓上的動(dòng)點(diǎn).(1)求AB的中點(diǎn)C的軌跡方程；(2)若過定點(diǎn)的直線與C的軌跡交于M,N兩點(diǎn)，且，求直線的方程.17．(15分)為響應(yīng)國家“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的號召、培養(yǎng)同學(xué)們的“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”，我校團(tuán)委鼓勵(lì)全校學(xué)生積極學(xué)習(xí)相關(guān)知識，并組織知識競賽．今隨機(jī)對其中的1000名同學(xué)的初賽成績(滿分：分)作統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖(有數(shù)據(jù)缺失)．請大家完成下面的問題：(1)根據(jù)直方圖求以下表格中、的值；成績頻數(shù)(2)求參賽同學(xué)初賽成績的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)若從這1000名參加初賽的同學(xué)中按等比例分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本，再在該樣本中成績不低于分的同學(xué)里任選人繼續(xù)參加教育局組織的校際比賽，求抽到的人中恰好人的分?jǐn)?shù)低于分且人的分?jǐn)?shù)不低于分的概率．18．(17分)如圖所示，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點(diǎn)O，EC⊥底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．(1)求證：平面ACF；(2)求證：；(3)若，求三棱錐的體積.19．(17分)孟德爾在觀察豌豆雜交時(shí)發(fā)現(xiàn)了以下規(guī)律：豌豆的各種性狀是由其遺傳因子決定的.以子葉顏色為例，豌豆的子葉分黃、綠兩種顏色，其中黃色為顯性性狀，綠色為隱性性狀.我們用表示子葉為黃色的豌豆的遺傳因子對，用表示子葉為綠色的豌豆的遺傳因子對.當(dāng)這兩種豌豆雜交時(shí)，父本的其中一個(gè)遺傳因子與母本的其中一個(gè)遺傳因子等概率隨機(jī)組合，子一代的遺傳因子對全部為，如圖所示，其中為顯性遺傳因子，為隱性遺傳因子.當(dāng)生物的遺傳因子對中含有顯性遺傳因子時(shí)呈現(xiàn)顯性性狀，否則呈現(xiàn)隱性性狀.例如：均指示黃色子葉，指示綠色子葉.我們稱以上定律為孟德爾定律.(1)若僅考慮子葉顏色，在子一代豌豆間進(jìn)行相互交配得到存在不同遺傳因子的子二代豌豆，繼續(xù)在子二代豌豆中將含有相同遺傳因子對的豌豆（如與）進(jìn)行交配得到子三代豌豆，求子三代豌豆中子葉顏色為綠色的概率；(2)已知人的單、雙眼皮性狀服從孟德爾定律，其中雙眼皮是顯性性狀，記其遺傳因子對為或；單眼皮是隱性性狀，記其遺傳因子對為.若僅考慮眼皮性狀，已知你的祖父、祖母和母親的遺傳因子對均為；若祖父和祖母育有伯父、父親、叔父和姑母三子一女，除父親外，其余三人均與單眼皮配偶婚配并各育有一子，求你及你的三代以內(nèi)父系親屬（如圖）中雙眼皮人數(shù)的概率.

高2024級期中考試數(shù)學(xué)（答案）1-8：DCBC CACC7．8．【詳解】因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，又為的外接圓圓心，所以為直角三角形，，又，所以為等邊三角形，如圖，以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系：則，，設(shè)，，則，，所以，（當(dāng)時(shí)取“”）.故選：C9-11:ACD BC BCD11．【詳解】對于A，由正四棱臺得，，∥，令，，若平面平面，則∥，所以四邊形是平行四邊形，則，∴，顯然不成立，故A不正確；對于B，正四棱臺中，，，則過作，垂足為，則即為直線與面ABCD的所成角，,，所以，所以.故B正確；對于C，過作，垂足為，取的中點(diǎn)，過分別作∥，∥，則為異面直線與所成角.則，,，，，所以，.在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得故C正確；對于D，以A為球心，1為半徑作一個(gè)球，則該球球面與正四棱臺的面、、的交線是半徑為，圓心角分別為的三段弧，所以交線長即為.故D正確故選：BCD.12． 13． 14．14．取中點(diǎn)，連接，，又平面，所以平面，又，所以以為原點(diǎn)，所在直線為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，底面為菱形，且，設(shè)，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，設(shè)，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，所以，又因?yàn)槊?，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，，解的，所以，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，則，令，所以，，，所以與平面所成角的正弦值.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)計(jì)算下面各小題：(1)…………4分(2)…………8分(3)…………13分16．(15分)【解析】(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，化簡得，故的軌跡方程為．…………5分(2)由圓可得，圓心坐標(biāo)為，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離是，所以，滿足條件；…………………9分當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，化簡得，因?yàn)?，故圓心到直線的距離，由圓心到直線的距離公式得，………12分所以，即，平方得，整理得，解得，直線的方程為，即，故直線的方程為或．………………15分17．(15分)(1)；(2)平均數(shù)為，方差；(3)【詳解】（1）因?yàn)閭€(gè)體在區(qū)間內(nèi)的頻率是，所以頻數(shù)；………………2分在內(nèi)的頻率是，所以頻數(shù).………………4分（2）平均數(shù)為，……7分方差.…10分（3）由等比例分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本，則抽樣比例為，所以在區(qū)間和內(nèi)抽取的人數(shù)各為和，分別記這人為、、、、和、，則事件的總體是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中共有個(gè)基本事件，……………13分記所求的事件為，則中包含的基本事件為：，，，，，，，，，共個(gè)，所以．……………………15分18．(17分)【詳解】（1）如圖所示，連接.由四邊形是正方形可知，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，又F為的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.………5分（2）由底面，底面，∴，∵四邊形是正方形，∴，又，平面，∴平面.又平面，∴.………11分（3）取中點(diǎn)，連接，在四棱錐中，底面，∵是的中位線，∴，∴底面.∵，則，.∴.………17分19．(17分)(1)(2)【詳解】（1）子一代豌豆的遺傳因子對全部為，它們相互交配，產(chǎn)生的配子有和，比例為.子二代豌豆的遺傳因子對有，比例為.含有相同遺傳因子對的豌豆（如與）進(jìn)行交配，即與交配，得到的子三代豌豆的遺傳因子對全部為，子葉顏色為黃色，所以子