5/5專題01空間向量與立體幾何（5知識&14題型&5易錯）【清單01】空間向量的有關(guān)概念1、空間向量的定義及表示（1）定義：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量．（2）長度（模）：空間向量的大小叫做向量的長度或模．（3）表示方法：=1\*GB3①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；=2\*GB3②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起點是A，終點是B，則向量a也可以記作QUOTE，其模記為或QUOTE．2、幾類特殊向量（1）零向量：長度為0或者說起點和終點重合的向量，記為．規(guī)定：與任意向量平行．（2）單位向量：長度為1的空間向量，即．（3）相等向量：方向相同且模相等的向量．（4）相反向量：方向相反但模相等的向量．（5）共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作．【清單02】空間向量的運算1、空間向量的線性運算（1）空間向量的加減法空間中任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法（如下圖）．（2）空間向量加減法運算律交換律：結(jié)合律：小結(jié)：空間向量加法的運算的小技巧=1\*GB3①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即：=2\*GB3②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：．（3）空間向量的數(shù)乘：實數(shù)與空間向量的乘積仍是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當(dāng)QUOTE時，QUOTE與QUOTE方向相同；當(dāng)QUOTE時，QUOTE與方向相反；當(dāng)QUOTE時，QUOTE．QUOTE的長度是的長度的倍．空間向量數(shù)乘的運算律：分配律；結(jié)合律．2、空間向量的數(shù)量積（1）數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角：已知兩個非零向量，，在空間任取一點O，作，，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，其范圍是[0，π].若，則稱與互相垂直，記作.②非零向量，的數(shù)量積．（2）空間向量數(shù)量積的運算律①結(jié)合律：；②交換律：；③分配律：.【清單03】空間向量的基本定理1、共線向量定理：對空間任意兩個向量，，的充要條件是存在實數(shù)，使得.2、共面向量定理：如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使.3、空間向量基本定理：如果三個向量，，不共面，那么對空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得，其中，叫做空間的一個基底．【清單04】空間向量及其運算的坐標(biāo)表示1、空間向量的坐標(biāo)運算若，，則：（1）；（2）；（3）；（4）2、空間向量平行和垂直若，，則（1），，（2）3、空間向量的長度、夾角公式若，，則（1），．（2）．4、空間兩點的距離公式若，，則①即：一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)．②，或．【清單05】空間向量的應(yīng)用1、直線的方向向量和平面的法向量（1）直線的方向向量：如果表示非零向量的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量為直線l的方向向量．（2）平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量，則向量叫做平面α的法向量．2、用向量法研究位置關(guān)系位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為，直線l的方向向量為，平面α的法向量為平面α，β的法向量分別為，3、用向量法研究空間角（1）異面直線所成角設(shè)異面直線a，b所成的角為θ，則，其中，分別是直線a，b的方向向量．（2）直線與平面所成角如圖所示，設(shè)l為平面α的斜線，l∩α＝A，為l的方向向量，為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則.（3）二面角=1\*GB3①若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角(或其補(bǔ)角)的大小就是向量與的夾角，如圖a.=2\*GB3②平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為，平面β的法向量為，，則二面角α-l-β為θ或π－θ.設(shè)二面角大小為φ，則，如圖b，c.4、用向量法研究空間距離（1）點到直線的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．（2）點到平面的距離已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的任一點，是平面外一點，過點作則平面的垂線，交平面于點，則點到平面的距離為（如圖）.（3）線面距和面面距：線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進(jìn)行求解．=1\*GB3①直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．=2\*GB3②兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．【題型一空間向量的有關(guān)概念理解】選項多為對單個或多個概念的表述（如“零向量與任意向量共線”“空間中模相等的向量相等”等），需判斷對錯．其解題步驟分兩步：第一步：圈出選項中的“關(guān)鍵詞”，對照定義驗證是否遺漏或篡改定義條件；第二步：對模糊選項，構(gòu)造“反例”與“特例”驗證．【例1】（24-25高二上·廣東深圳·月考）下列命題是真命題的是（

）A．空間向量就是空間中的一條有向線段B．不相等的兩個空間向量的模必不相等C．任一向量與它的相反向量不相等D．向量與向量的長度相等【答案】D【解析】對于A，有向線段是空間向量的一種表示形式，但不能把二者完全等同起來，故A錯誤；對于B，不相等的兩個空間向量的模也可以相等，只要它們的方向不相同即可，故B錯誤；對于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的，故C錯誤；對于D，與僅是方向相反，它們的長度是相等的，故D正確，故選：D【變式1-1】（24-25高二上·山東·月考）給出下列命題：①零向量的方向是任意的；②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；③若空間向量，滿足，則；④空間中任意兩個單位向量必相等．其中正確命題的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】零向量是大小為的向量，零向量的方向是任意的，命題①正確；方向相同大小相等的空間向量相等，它們的起點不一定相同，終點也不一定相同，命題②錯誤；若空間向量，滿足，但由于它們的方向不一定相同，故不一定相等，③錯誤；空間中任意兩個單位向量由于它們的方向不一定相同，故它們不一定相等，④錯誤；所以正確的命題只有個；故選：D.【變式1-2】（24-25高二上·陜西漢中·月考）（多選）下列關(guān)于空間向量的說法中不正確的是（

）A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等C．若向量，滿足，則D．相等向量其方向必相同【答案】ABC【解析】A選項：長度相等，方向相反的兩個向量是相反向量，A錯誤；B選項：空間中任意兩個單位向量的模長相等，但方向不一定一樣，所以不一定相等，B錯誤；C選項：向量模長可比較大小，向量不能比較大??；D選項：兩個向量相等，則方向相同，模長相等，D正確；故選：ABC.【變式1-3】（24-25高二上·廣東廣州·期中）（多選）給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若，則或B．若向量是向量的相反向量，則C．在正方體中，D．若空間向量、、滿足，，則【答案】BC【解析】對于A：模相等的兩個向量，它們的方向是任意的，A錯誤；對于B：向量是向量的相反向量，則，B正確；對于C：在正方體中，四邊形是矩形，故，C正確；對于D：若，則，，但、不一定共線，D錯誤.故選：BC.【題型二空間向量的線性運算】向量線性運算的解題技巧（1）向量加法的三角形法則是解決空間向量加法運算的關(guān)鍵，靈活應(yīng)用相反向量可使向量間首尾相接．（2）利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法運算時，務(wù)必要注意和向量的方向，必要時可對空間向量自由平移進(jìn)而獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果．（3）利用數(shù)乘運算解題時，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則或平行四邊形法則將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量．【例2】（24-25高二上·安徽合肥·期中）在空間四邊形中，等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】,故選：C【變式2-1】（24-25高二上·福建福州·月考）在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在空間四邊形ABCD中，E為BC的中點，則，所以.故選：C【變式2-2】（24-25高二上·陜西安康·期中）（多選）如圖，在四面體ABCD中，點E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因為E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，所以由中位線性質(zhì)可知，故A正確；若可得，由圖可知不共線，矛盾，故B錯誤；因為，故C正確；因為，故D正確.故選：ACD【變式2-3】（24-25高二上·山東菏澤·月考）如圖，在正方體中，化簡下列向量表達(dá)式：(1)；(2)．(3)【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）；（2）；（3）.【題型三空間向量的線性表示】用基向量表示指定向量的方法（1）結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．（2）將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．（3）利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．【例3】（24-25高二上·北京·期中）如圖，在三棱錐中，是的中點，若，則等于.【答案】【解析】由圖可得.【變式3-1】（24-25高二上·廣東湛江·期中）如圖，在四面體中，．點在上，且為中點，則等于（）A． B．C． D．【答案】B【解析】連接．故選：B.【變式3-2】（24-25高二下·福建寧德·期中）如圖，在直三棱柱中，點在棱上，且．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】連接，．故選：A.【變式3-3】（24-25高二上·湖北仙桃·期中）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，根據(jù)空間向量的運算法則，可得.故選：B.【題型四空間向量基本定理及應(yīng)用】本題型的核心是利用定理將空間任意向量分解為三個不共面向量的線性組合，將“空間任意向量”轉(zhuǎn)化為“基底向量的線性組合”，實現(xiàn)“復(fù)雜向量→簡單基底”的轉(zhuǎn)化，為后續(xù)計算（如向量的模、點積、參數(shù)求解）提供依據(jù)．幾何體中選基底技巧：優(yōu)先選“從同一頂點出發(fā)、不共面的三條棱”．【例4】（24-25高二上·貴州貴陽·期中）若，，是空間一組不共面的向量，則下列可以作為基底的一組向量為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【解析】A選項，，所以，，是共面向量；B選項，，所以，，是共面向量；C選項，，所以，，是共面向量；D選項，令，顯然無解，故不是共面向量.故選：D【變式4-1】（24-25高二上·河北邢臺·期中）在四面體中，點為線段靠近A的四等分點，為的中點，若，則的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】由空間向量基本定理可得又由題干，則，故.故選：C.【變式4-2】（24-25高二下·福建莆田·期中）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，點是邊上一點,且，若，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，則，，，故．故選:A.【變式4-3】（24-25高二下·甘肅金昌·期中）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱．如圖，在塹堵，中，M是的中點，是的中點，若，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】連接，因為是的中點，所以，因為三棱柱是底面為直角三角形的直棱柱，所以四邊形為長方形，又因為是的中點，所以，則，又，又，，不共面，所以，所以．故選：D．【題型五空間向量共線定理及應(yīng)用】證明空間三點共線的三種思路：對于空間三點P、A、B可通過證明下列結(jié)論來證明三點共線（1）存在實數(shù)，使成立．（2）對空間任一點O，有．（3）對空間任一點O，有．【例5】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列條件中，能說明空間中不重合的三點、、共線的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，對于空間中的任意向量，都有，不能說明三點共線，說法A錯誤；對于B，若，則，而，據(jù)此可知，即，兩點重合，選項B錯誤；對于C，，則、、三點共線，選項C正確；對于D，，則線段的長度與線段的長度相等，不一定有、、三點共線，選項D錯誤；故選：C.【變式5-1】（24-25高二上·天津河西·期中）設(shè)空間四點滿足，其中，則（

）A．點一定在直線上 B．點一定不在直線上C．點不一定在直線上 D．以上答案都不對【答案】A【解析】因為，所以，而，故，所以，所以，則點一定在直線上，故A正確.故選：A【變式5-2】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若與共線，則實數(shù)的值為（

）A． B．1 C．3 D．或3【答案】C【解析】，，若與共線，則有，即，解之得，則的值為3.故選：C【變式5-3】（24-25高二上·吉林白城·期中）在四面體中，E為的中點，G為平面的重心．若與平面交于點F，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖：連接交于H，則H為中點，連接,因為平面，平面，設(shè)，則，又平面，所以平面，故K為與平面的交點，又因為與平面交于點F，所以F與K重合，又E為的中點，G為平面的重心，因為點A，F(xiàn)，G三點共線，則又因為點E，F(xiàn)，H三點共線，則，,所以，解得，即，故.故選：C.【題型六空間向量的共面定理及應(yīng)用】向量共面證明思路（1）證明點在平面ABC內(nèi)，可以用QUOTE，也可以用QUOTE，若用QUOTE，則必須滿足QUOTE．（2）判斷三個向量共面一般用QUOTE，證明三線共面常用QUOTE，證明四點共面常用QUOTE（其中QUOTE）．【例6】（24-25高二下·甘肅白銀·期中）在三棱錐中，M是平面內(nèi)一點，且，則（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】因為，所以，即，又點M是平面內(nèi)一點，所以，解得.故選：B【變式6-1】（24-25高二上·江蘇無錫·期中）設(shè)為空間的一個基底，，，，若，，共面，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，，共面，則可設(shè)，即，即，解得，故選：D.【變式6-2】（24-25高二上·廣東·期中）已知A，B，C三點不共線，點O不在平面ABC內(nèi)，，若A，B，C，D四點共面，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由及A，B，C，D四點共面得：，即，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選：B【變式6-3】（24-25高二上·上海·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三個向量共面，則實數(shù).【答案】【解析】若，，三個向量共面，則存在實數(shù)滿足，即，所以，解得，，.【題型七空間向量的數(shù)量積問題】1、求夾角：設(shè)向量，所成的角為，則，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角；2、求長度（距離）：運用公式，可使線段長度的計算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題；3、解決垂直問題：利用，可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題．【例7】（24-25高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，平行六面體的所有棱長均為2，兩兩所成夾角均為，點分別在棱上，且，，則．【答案】【解析】由平行六面體的所有棱長均為2，且兩兩所成夾角均為，設(shè)，則且，如圖所示，連接，由，，可得，所以.【變式7-1】（24-25高二上·廣東韶關(guān)·期中）如圖，在正六棱柱中，為的中點.設(shè).若，則的值是.【答案】2【解析】，；由題意易知，則，，則．【變式7-2】（24-25高二上·湖北荊門·期中）已知空間四邊形各邊及對角線長都相等，分別為的中點，向量與夾角的余弦值.【答案】【解析】如圖，設(shè)，，，，由題意易知，則，因為，，，所以，所以,所以向量與夾角的余弦值為.【變式7-3】（24-25高二上·上海靜安·期中）如圖，在一個的二面角的棱上，有兩個點，分別是在這個二面角的兩個半平面內(nèi)垂直于AB的線段，且，則CD的長為．【答案】【解析】由題設(shè)，，，所以，所以.【題型八空間中的點坐標(biāo)對稱問題】（1）關(guān)于原點對稱的點，三個坐標(biāo)均變?yōu)樵瓟?shù)的相反數(shù)；（2）關(guān)于哪條坐標(biāo)軸對稱，相應(yīng)坐標(biāo)不變，另兩個坐標(biāo)變?yōu)樵瓟?shù)的相反數(shù)；（3）關(guān)于哪個坐標(biāo)平面對稱，點在這個平面的坐標(biāo)不變，另一個坐標(biāo)變?yōu)樵瓟?shù)的相反數(shù)．簡記為：關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反．【例8】（24-25高二上·河南·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，點與關(guān)于原點對稱，則點的坐標(biāo)為.【答案】【解析】依題意，，解得，所以點的坐標(biāo)為.【變式8-1】（24-25高二上·廣東肇慶·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為：，所以點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為：.故選：B.【變式8-2】（24-25高二上·安徽蕪湖·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，點，則（

）A．點和點關(guān)于軸對稱 B．點和點關(guān)于軸對稱C．點和點關(guān)于軸對稱 D．點和點關(guān)于原點中心對稱【答案】B【解析】由于,坐標(biāo)不變，其他互為相反數(shù).則兩點關(guān)于軸對稱.故選：B.【變式8-3】（24-25高二上·四川·期中）（多選）在空間直角坐標(biāo)系中，下列敘述正確的是（

）A．點與點關(guān)于軸對稱B．點與點關(guān)于軸對稱C．點與點關(guān)于平面對稱D．坐標(biāo)軸兩兩確定的平面把空間分為個部分【答案】AC【解析】A選項，點與點關(guān)于軸對稱，A正確；B選項，點關(guān)于軸的對稱點是，B錯誤；C選項，點與點關(guān)于平面對稱，C正確；D選項，坐標(biāo)軸兩兩確定的平面把空間分為個部分，D錯誤．故選：AC．【題型九利用空間向量證明平行垂直】1、利用空間向量證明平行的方法（1）線線平行：證明兩直線的方向向量共線．（2）線面平行：①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行．（3）面面平行：①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題．2、利用空間向量證明垂直的方法（1）線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零．（2）線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示．（3）面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎荆纠?】（24-25高二下·江蘇宿遷·期中）在正三棱柱中，，P為的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，過點作平面的垂線為軸，以，為軸和軸，作空間直角坐標(biāo)系.則平面的一個法向量為，設(shè)正三棱柱中，，則，，所以，所以,所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A【變式9-1】（24-25高二上·廣東中山·期中）如圖在邊長是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點．證明：平面．【答案】證明見解析【解析】如圖以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，∵E，F(xiàn)分別為AB，的中點，∴，，，，∵，，∴，又，平面，平面．【變式9-2】（24-25高二上·廣東吳川·期中）如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點．(1)求證：平面；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】（1）根據(jù)題意可知平面平面，平面平面，又是正方形，所以，平面，

所以平面，從而可得，，兩兩垂直；以D為原點，分別以，，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，又為的中點，所以，則，所以，故共面．又平面，所以平面；（2）易知，所以；又，可得；又，平面，所以平面.【變式9-3】（24-25高二上·江蘇徐州·學(xué)情調(diào)研）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為上一點，且．（請用空間向量法予以證明）(1)求證：平面PBC；(2)求證：平面BDE．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】（1）證明：如圖，以A為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，因為，所以，所以，所以，，所以，，即，，又因為，平面PBC．所以平面PBC．（2）證明：由（1）可得，，．設(shè)平面BDE的法向量為，則，即令，得，，則是平面BDE的一個法向量，因為，所以，因為平面BDE，所以平面BDE．【題型十利用空間向量求異面直線所成角】用向量法求異面直線所成角的步驟：（1）建立空間直角坐標(biāo)系；（2）用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；（3）利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；（4）注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值．【例10】（24-25高二上·山東·期中）設(shè)兩條異面直線的方向向量分別為，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為兩條異面直線、的方向向量分別為，，，所以與所成的角的余弦值為，所以，與所成的角為.故選：C.【變式10-1】（24-25高二下·福建寧德·期中）如圖，在四棱臺中，底面ABCD是菱形，平面，直線AC與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取BC的中點，連接AF，則由題意可得,，且，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，所以，所以直線AC與直線所成角的余弦值為．故選：A【變式10-2】（24-25高二下·江蘇常州·期中）已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面ABCD，且，，則異面直線AC與PB所成的角的余弦值為.【答案】【解析】以A為坐標(biāo)原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，因此，所以異面直線AC與PB所成角的余弦值為.【變式10-3】（24-25高二下·江蘇泰州·期中）空間四面體中，，，且，，則直線與直線所成角的余弦值為【答案】【解析】在空間四面體中，，，將四面體補(bǔ)成長方體，則，解得，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，因為為的中點，則，由，可得，所以，，所以.因此，直線與直線所成角的余弦值為.【題型十一利用空間向量求直線與平面所成角】如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為，平面α的法向量為，直線l與平面α所成的角為φ，向量與的夾角為θ，則有.【例11】（24-25高二上·湖南·期中）在長方體中，已知，為的中點，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，，，所以直線與所成角的余弦值為.故選：C【變式11-1】（24-25高二下·重慶·月考）在棱長為4的正方體中，分別是棱的中點，過作平面，使得，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，取中點，因為是棱的中點，故，又平面，平面，則平面，故平面即為平面，，設(shè)平面的一個法向量為，即，令則，即為平面的一個法向量，線面角的正弦值為.故選：C【變式11-2】（24-25高二下·廣東惠州·期中）如圖，已知四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，，，平面ABCD，.(1)求證：平面PCD；(2)若M是PC的中點，求PC與平面ADM所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）因為，平面，平面，所以平面；（2）以AD，AB，AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為底面ABCD是直角梯形，，，，所以，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，所以，所以，令，則，設(shè)PC與平面ADM所成角為，所以，所以PC與平面ADM所成角的正弦值為.【變式11-3】（24-25高二下·浙江·期中）如圖，在四棱錐中，，，，點E在AD上，且，.(1)若點Q為線段PE的中點，證明：平面PCD；(2)若平面PAD，，求直線PD與平面PAB所成的角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）過點Q作交PD于點G，連接CG，因為Q為PE中點，所以G為PD中點，，又因為，所以，，所以四邊形BCGQ是平行四邊形，所以，又因為平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.（2）因為平面PAD，平面PAD，所以，又因為，，所以面ABCD，以E為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面PAB的一個法向量為，所以令，，則，故，設(shè)直線PD與平面PAB所成的角為，，所以直線PD與平面PAB所成的角的正弦值為.【題型十二利用空間向量求平面與平面所成角】1、找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大?。?、找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大?。纠?2】（24-25高二上·山東·月考）已知平面，的法向量分別為，，則平面，的夾角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由向量與，得，又，則，所以平面，的夾角的大小為．故選：C．【變式12-1】（24-25高二上·四川·期中）在正方體中，為的中點，則平面與平面夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，取的中點為，連接，則，，，則，又因為，，，平面，故平面，所以為平面的一個法向量，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．故選：D．【變式12-2】（24-25高二上·廣東惠州·期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，為棱的中點.(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）取的中點，連接，因為點為的中點，所以，又因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）因為，所以，所以，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因為平面，平面，所以，又，以為坐標(biāo)原點，以所在的直線分別為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，因為點為的中點，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，

又平面的一個法向量，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.【變式12-3】（24-25高二下·浙江杭州·期中）如圖，在三棱錐中，，為的中點，平面平面．(1)證明：；(2)若，，，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）因為為的中點，，所以．因為平面平面，平面平面，平面，所以平面．又因為平面，所以．因為為的中點，所以.（2）如圖，以為坐標(biāo)原點，，所在直線分別為，軸，過點垂直平面為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，取的中點，連接．因為，所以．由（1）平面，平面，所以平面平面．因為平面平面，平面，，所以平面，所以，所以，，．設(shè)平面的一個法向量為，所以，即，可?。?，可得平面的一個法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角為.【題型十三利用空間向量求空間距離】（1）點線距：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)．（2）點面距：已知平面的法向量為,是平面內(nèi)的任一點，是平面外一點，過點作則平面的垂線，交平面于點，則點到平面的距離為．【例13】（24-25高二上·吉林四平·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，向量平面，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，平面的一個法向量為，點，所以，所以點到平面的距離為．故選：A【變式13-1】（24-25高二下·江蘇揚州·期中）在棱長為2的正方體中，點，分別為平面，平面的中心，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，平面的中心，平面的中心，于是，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，則點B到平面APQ的距離為.故選：B【變式13-2】（24-25高二上·山東濟(jì)寧·期中）在正方體中，是棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，所以設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.【變式13-3】（23-24高二上·陜西寶雞·期中）（多選）已知正方體的棱長為1，點、分別是、的中點，在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是（

）A．點到直線的距離是 B．點到平面的距離為C．平面與平面間的距離為 D．點到直線的距離為【答案】BC【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，.設(shè)，則，.故到直線的距離，故A錯誤.，平面的一個法向量，則點到平面的距離，故B正確.，，.設(shè)平面的法向量為，則，所以令，得，，所以.所以點到平面的距離.，所以，又因平面，平面，所以平面，同理平面，所以平面平面，所以平面與平面間的距離等于點到平面的距離，所以平面與平面間的距離為，故C正確.因為，所以，又，則，所以點到的距離，故D錯.故選：BC【題型十四利用空間向量研究動點問題】利用空間向量解決立體幾何的動點問題思路：（1）根據(jù)題設(shè)條件的垂直關(guān)系，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，將相關(guān)點、相關(guān)向量用坐標(biāo)表示。（2）假設(shè)所成的點或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點的坐標(biāo)，根據(jù)線、面滿足的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建方程（組）求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在．【例14】（24-25高二上·重慶·期中）已知矩形ABCD，，，為CD中點，沿AE折成直二面角，為BC為中點.

(1)求證：；(2)在棱DE上是否存在點N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在；【解析】（1）取的中點，連接，因為矩形ABCD，，，所以，由為CD中點，所以，因為，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，由為的中點，為四邊形的中位線，，所以，又平面，，所以平面，由平面，所以.（2）作平面，以為原點，以所在直線為建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）得為四邊形的中位線，所以，由得，，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)點存在，，，所以，所以，由平面得，所以，解得，即，所以所以存在點N，使得平面ADM，.【變式14-1】（24-25高二上·貴州·期中）如圖，在直三棱柱中，，，P為上的動點，Q為棱的中點．(1)設(shè)平面平面，若P為的中點，求證：；(2)設(shè)，問線段上是否存在點P，使得平面？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【解析】（1）證明：設(shè)的中點為，連接，因為P為的中點，Q為的中點，所以，，，在直三棱柱中，，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以.（2）在直三棱柱中，平面，，故可以為原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，則，，又，則，所以，若平面，則，則，解得，所以線段上存在點P，使得平面，此時.【變式14-2】（24-25高二上·浙江·期中）如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，為等邊三角形，且S在平面上的射影為中點P，，.(1)若E為棱的中點，求證：平面；(2)在棱上是否存在點M，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求出點M的位置并給以證明，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在點，或，證明見解析.【解析】（1）取中點，連接，又分別為的中點，，，底面四邊形是矩形，為棱的中點，，，則，，故四邊形是平行四邊形，所以.又平面，平面，可得平面.（2）在棱上存在點，且或，證明如下，在等邊中S在平面上的射影為中點P，所以面，則是四棱錐的高.設(shè)，則，結(jié)合，知矩形的面積，所以.以點為原點，的方向分別為軸的正方向，在面ABCD內(nèi)過點P作垂線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，.由題意，整理得，解得或，所以存在點，或時，使直線與平面所成角的余弦值為.【變式14-3】（24-25高二上·四川瀘州·期中）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的等邊三角形，，分別是線段的中點，在平面內(nèi)的射影為.(1)求證：平面；(2)若點為棱的中點，求點到平面的距離；(3)在棱上是否存在點，使得平面與平面所成的角為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，【解析】（1）連接，，為等邊三角形，為中點，；由題意知：平面，又平面，，，平面，平面，平面，；四邊形為平行四邊形，，四邊形為菱形，，分別為中點，，，又，平面，平面.（2）方法一：由（1）知：平面，；則以為坐標(biāo)原點，正方向為軸正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，點到平面的距離；方法二：取的中點，連接，過作交于，過作分別交的延長線于，則分別是的中點，，平面，平面，平面，點到平面的距離等于點到平面的距離；由（1）得：，平面，平面，是直角三角形，在菱形中，易得，，，，，即點到平面的距離為.（3）方法一：，，，設(shè)，，，；由（2）知：平面的一個法向量；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，解得：（舍）或，此時，在棱上存在點，使得平面與平面所成的角為，此時；方法二：假設(shè)存在點滿足題意，取的中點，連接，過作交于，連接，，平面，又由（1）得：，，二面角的平面角為，；在菱形中，作，，，，為直角三角形，，，在棱上存在點，使得平面與平面所成的角為，此時.【易錯1】忽視零向量的特殊性致錯點撥：在進(jìn)行空間向量相關(guān)概念判斷時，要注意零向量的特殊性，如零向量與任意向量平行等【典例】（23-24高二上·陜西西安·月考）下列關(guān)于空間向量的說法中錯誤的是（

）A．零向量與任意向量平行B．任意兩個空間向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的兩個向量是相等向量【答案】C【解析】由已知，選項A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，該選項正確；選項B，平面由兩個不平行的向量確定，任意兩個向量可通過平移形成相交，故一定可以確定一個平面，該選項正確；選項C，在直線上取非零向量，把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量，選項錯誤；選項D，方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，該選項正確.故選：C.【變式】（24-25高二上·安徽合肥·期中）（多選）下列說法正確的有（

）A．設(shè)是空間向量，若與共線，與共線，則與共線B．若兩個非零向量與滿足，則C．零向量與任何向量都共線D．兩個單位向量一定是相等向量【答案】BC【解析】對于A，若為零向量時，則無法得到與共線，A錯誤，對于B，由可得，故∥，B正確，對于C，零向量與任意向量共線，故C正確，對于D，單位向量的模長相等，但是方向不一定相同,故D錯誤，故選：BC【易錯2】混淆平行直線與平行向量致錯點撥：平行向量所在的直線既可能平行也可能重合；平行直