2/24專題05直線與圓題型1限定條件求圓方程題型10阿波羅尼斯圓題型2點(diǎn)與圓題型11圓形“將軍飲馬”（難點(diǎn)）題型3內(nèi)切圓題型12動(dòng)點(diǎn)最短距離（難點(diǎn)）題型4弦長與勾股三角形（重點(diǎn)）題型13切線：入射與反射光線題型5到直線距離定值的圓上點(diǎn)個(gè)數(shù)（常考點(diǎn)）題型14切線：切點(diǎn)弦題型6弦心角題型15切線：切線長最值（?？键c(diǎn)）題型7兩圓位置關(guān)系（重點(diǎn)）題型16切線：面積最值題型8公共弦過定點(diǎn)題型17切線：三角函數(shù)型動(dòng)切線（難點(diǎn)）題型9最短弦應(yīng)用題型18圓公切線2/24題型一、限定條件求圓方程（共3小題）1．（25-26高二上·重慶·開學(xué)考試）點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)所連線段中點(diǎn)為，則點(diǎn)軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而代入即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，即，又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在圓上，所以，則，即，則點(diǎn)軌跡方程為.故選：A.2．（22-23高二上·重慶·階段練習(xí)）求過兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由兩圓方程設(shè)出所求圓方程，求出圓心，代入直線即可解出參數(shù)，即可確定圓的方程.【詳解】設(shè)所求圓的方程為，則，則圓心坐標(biāo)為，代入直線，可解得.故所求圓的方程為，即.故選：A.3．（20-21高二下·河北石家莊·開學(xué)考試）已知曲線與x軸交于M，N兩點(diǎn)，與y軸交于P點(diǎn)，則外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)外接圓的方程為，分別令，結(jié)合韋達(dá)定理求得D,E,F,代入即可求得圓的方程.【詳解】設(shè)外接圓的方程為，點(diǎn)Q是的外接圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)，分別令，則，．設(shè)，則，又曲線與x軸交于M，N兩點(diǎn)，則，，，，，所以，，故外接圓的方程．故選：C.題型二、點(diǎn)與圓（共2小題）4．（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）“或”是“定點(diǎn)在圓的外部”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由定點(diǎn)在圓的外部得，求得k的取值范圍，結(jié)合充分,必要條件的意義可得結(jié)論.【詳解】定點(diǎn)在圓的外部，，化簡(jiǎn)得，k的取值范圍：或，所以或”是“定點(diǎn)在圓的外部”的必要不充分條件.故選：B.5．（24-25高二上·福建福州·期中）已知點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．∪【答案】B【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓及點(diǎn)在圓外列不等式求參數(shù)范圍即可.【詳解】圓的方程可化為，則，可得，又點(diǎn)在圓外，則，可得，所以.故選：B題型三、內(nèi)切圓（共2小題）6．（2016·重慶·一模）已知直線和直線分別與圓相交于和，則四邊形的內(nèi)切圓的面積為．【答案】【分析】由兩直線方程，得出兩直線垂直且交于點(diǎn)，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)判斷出四邊形是邊長為的正方形，其內(nèi)切圓半徑為，由此可求得答案.【詳解】聯(lián)立，解得，即直線和直線互相垂直且交于點(diǎn)，而恰好是圓的圓心，則AB,CD為圓的兩條互相垂直的直徑，且,所以，四邊形是邊長為的正方形，因此其內(nèi)切圓半徑是，面積是，故答案為:.7．（20-21高二·全國·課后作業(yè)）直線l：與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；此圓的面積為．【答案】【分析】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，則半徑為m，將直線l的方程化為一般式，利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程求得m，則圓的方程和面積都可求出.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，則半徑為m，直線l的方程可化為，由得由題意得，得或（舍去）．所以內(nèi)切圓的方程為，此圓的面積．故答案為：；.題型四、弦長與勾股三角形（共2小題）8．（24-25高二上·北京東城·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，圓C截x軸所得弦長為1，截y軸所得弦長為2，則這樣的圓C的面積（

）A．有最大值，有最小值 B．有最大值，無最小值C．無最大值，有最小值 D．無最大值，無最小值【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)半徑相等建立等量關(guān)系可得，則圓C半徑為，根據(jù)范圍可得結(jié)果.【詳解】如圖，圓C與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），設(shè)，則線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為∵，∴，由得，，整理得，即，由得，，∴圓的半徑，即圓的半徑無最大值，有最小值1，∴圓C的面積無最大值，有最小值.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用半徑相等分析出圓心橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合范圍即可得到答案.9．（23-24高二上·吉林延邊·期末）已知二次函數(shù)與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，圓過，，三點(diǎn)，存在一條定直線被圓截得的弦長為定值，則該定值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓的方程為，依題意可得，，再由點(diǎn)在圓上，即可得到，從而得到圓為，求出圓過定點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出定弦長.【詳解】設(shè)圓的方程為，因?yàn)閳A過，兩點(diǎn)，且，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足方程，所以，，所以圓的方程為，又在圓上，所以，解得，所以圓的方程為，即，令，解得或，即圓恒過點(diǎn)和，又，所以該定值為．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出圓的方程為，從而求出圓過定點(diǎn)坐標(biāo).題型五、到直線距離為定值的圓上的點(diǎn)個(gè)數(shù)（共2小題）10．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知直線，圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1，則（

）A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1【答案】D【分析】結(jié)合題意，利用點(diǎn)到直線的距離公式列式求解，再進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】如圖所示，圓的半徑為2.設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).圓心到直線的距離，令，則.①當(dāng)時(shí)，與直線平行且距離等于1的直線是，，與圓的三個(gè)交點(diǎn)是，，，滿足題意.②當(dāng)時(shí)，與直線平行且距離等于1的直線是，，與圓的三個(gè)交點(diǎn)是，，，滿足題意.綜上，.故選：D.11．（22-23高二上·江蘇連云港·期末）設(shè)為實(shí)數(shù),若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1,則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓上三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1,可得圓心到直線的距離為2-1=1,利用點(diǎn)到直線的距離公式解出即可.【詳解】解:由題知圓的方程為,所以圓心為,半徑為,因?yàn)閳A上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1,所以只需要圓心到直線的距離為即可,直線方程為:,所以圓心到直線的距離為:,解得,故當(dāng)時(shí),圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1．故選:D題型六、弦心角（共2小題）12．（21-22高二下·四川成都·開學(xué)考試）已知橢圓，過定點(diǎn)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為銳角，則直線l的斜率k的取值范圍為（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)直線l的方程為，、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由根的判別式得到，由為銳角，則，即可得到，從而得到，即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：由題意設(shè)直線l的方程為，、，聯(lián)立方程得，則∴，，∵為銳角，則，即，，解得，又∵，∴．故選：C13．（23-24高二上·北京豐臺(tái)·期中）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且（其中為原點(diǎn)），則的值為（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】畫出圖形，首先由垂徑分線定理算出原點(diǎn)到直線的距離，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以由垂徑分線定理可知，由圓的方程可知，，所以，即原點(diǎn)到直線的距離為，解得或.故選：D.題型七、兩圓位置關(guān)系（共2小題）14．（2025·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)是圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交圓于另一點(diǎn)，交圓于另一點(diǎn)，若，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】證明，證明是以為直徑的圓與圓的公共弦，求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出以為直徑的圓的方程，求出直線的方程即可求解.【詳解】由知為中點(diǎn)，所以，以為直徑的圓過點(diǎn)，故是以為直徑的圓與圓的公共弦，聯(lián)立圓圓的方程，可解得，當(dāng)時(shí)，以為直徑的圓的方程，與圓的方程相減，可得直線的方程為，直線的斜率為，考慮對(duì)稱性，直線斜率的另外一解為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于證明是以為直徑的圓與圓的公共弦.15．（23-24高二下·江蘇南通·期中）已知圓D：與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且圓C：，點(diǎn)．若圓C與圓D相外切，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓與圓相外切，可得，再根據(jù)圓的對(duì)稱性不妨令，再分，和三種情況討論即可.【詳解】圓D：的圓心，半徑為，圓C：的圓心，半徑為，因?yàn)閳A與圓相外切，所以，所以，且圓與軸交于，不妨記，因?yàn)閳A關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)在軸上，由對(duì)稱性不妨令，當(dāng)時(shí)，則，解得，故，當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，則，解得，故，綜上所述，的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將表示的坐標(biāo)重新表示為線段長度從而方便正切公式的計(jì)算，是解決本題的關(guān)鍵.題型八、公共弦過定點(diǎn)（共2小題）16．（2021·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓和圓相交，則圓和圓的公共弦所在的直線恒過的定點(diǎn)為（

）A．(2，2) B．(2，1) C．(1，2) D．(1，1)【答案】B【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程可得兩圓公共弦所在的直線方程，由此分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，圓和圓相交，則，則圓和圓的公共弦所在的直線為，變形可得，則有，則有，即兩圓公共弦所在的直線恒過的定點(diǎn)為，故選：B．17．（2020·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知圓和圓的公共弦所在的直線恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先根據(jù)兩圓方程得公共弦方程，再求得點(diǎn)，再根據(jù)的幾何意義即可求解.【詳解】由圓和圓，可得圓和的公共弦所在的直線方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，即，又由原點(diǎn)到直線的距離為，即的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查圓的公共弦問題，直線過定點(diǎn)問題，點(diǎn)到直線的距離問題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.題型九、最短弦應(yīng)用（共2小題）18．（23-24高二上·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）已知圓，直線則直線被圓截得的弦長的最小值為（

）A．5 B．4 C．10 D．2【答案】C【分析】先判定直線過定點(diǎn)，再由弦長公式計(jì)算即可.【詳解】由，，即過定點(diǎn)，由得，半徑，則當(dāng)時(shí)，C到的距離最遠(yuǎn)，此時(shí)被圓截得的弦長最小，最小值為.故選：C

19．（24-25高二下·云南昆明·階段練習(xí)）已知圓，直線，若直線被圓截得的弦長的最大值為，最小值為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出直線過定點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求出最長弦長和最短弦長即可得解.【詳解】由題意直線可化為，則直線過定點(diǎn)，點(diǎn)代入圓可得，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，又圓半徑，圓心，所以當(dāng)時(shí)，直線被圓截得弦長最短，即，當(dāng)過圓心時(shí)，直線被圓截得弦長最長，即，所以，故選：B.題型十、阿波羅尼斯圓（共2小題）29．（22-23高二上·湖南益陽·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)分別作圓，的切線，切點(diǎn)分別為，，若存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出兩圓圓心和半徑，利用，可求點(diǎn)軌跡方程為圓，又在直線上，結(jié)合圓心到直線的距離小于等于半徑可求的取值范圍.【詳解】由題意，，，，設(shè)，若，，則，，，即，圓心坐標(biāo)為，半徑為，動(dòng)點(diǎn)在直線上，存在點(diǎn)滿足，直線與圓有交點(diǎn)，圓心到直線的距離，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C．21．（23-24高三上·黑龍江牡丹江·期末）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可確定的軌跡，設(shè)的中點(diǎn)為D，可得，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)確定的最值，即可求得答案.【詳解】設(shè)，由得，即，化簡(jiǎn)得，即動(dòng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)；同理可得動(dòng)點(diǎn)Q也在圓上運(yùn)動(dòng)；即軌跡方程為，設(shè)的中點(diǎn)為D，則，連接并延長，與圓交于點(diǎn)，,當(dāng)重合且位于點(diǎn)E處時(shí)，重合，此時(shí)取到最小值，當(dāng)重合且位于點(diǎn)F處時(shí)，重合，此時(shí)取到最大值，故的取值范圍為，故選：B．題型十一、圓型“將軍飲馬”（共2小題）22．（23-24高二上·江西南昌·階段練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比（，），那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，已知?jiǎng)狱c(diǎn)的M與定點(diǎn)和定點(diǎn)的距離之比為2，其方程為，若點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式列方程求M軌跡，結(jié)合已知圓的方程求參數(shù)m，進(jìn)而得，再由，數(shù)形結(jié)合求目標(biāo)式最小值.【詳解】由題設(shè)，令，則，所以，則，即，又，即在圓外，，即在圓外，由，當(dāng)且僅當(dāng)共線上等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C23．（23-24高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知圓上的動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．【答案】D【分析】取點(diǎn)，連接，由，可得，推出，在中，，推出的最小值為的長.【詳解】如圖，取點(diǎn)，連接，，，，，，，因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,的最小值為的長，，，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程與幾何性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用，屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，尤其在解決知識(shí)點(diǎn)較多以及知識(shí)跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).以便將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識(shí)領(lǐng)域，進(jìn)而順利解答，解答本題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為.題型十二、動(dòng)點(diǎn)最短距離（共2小題）24．（21-22高二上·江蘇無錫·期中）已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】作出關(guān)于直線的對(duì)稱圓，把轉(zhuǎn)化到與直線同側(cè)的，數(shù)形結(jié)合找到取最大值的位置，求出的最大值.【詳解】如圖所示，圓的圓心為，半徑為3，圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓為圓B，其中設(shè)圓心B坐標(biāo)為，則，解得：，故圓B的圓心為，半徑為1，由于此時(shí)圓心A與圓心B的距離為4，等于兩圓的半徑之和，所以兩圓外切，此時(shí)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，且，所以，在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)P，B，A，，F(xiàn)五點(diǎn)共線時(shí)，且在圓B左側(cè)，點(diǎn)F在圓A右側(cè)時(shí)，最大，最大值為故選：C25．（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知點(diǎn)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】取點(diǎn)，則，將的最小值轉(zhuǎn)化為距離，即可得到所求.【詳解】由題意可知：圓A的圓心，半徑為，圓B的圓心，半徑為，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，取，由，可得，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，等號(hào)成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，等號(hào)成立，綜上所述：，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.

題型十三、切線：入射與反射光線（共2小題）26．（24-25高一下·江西上饒·階段練習(xí)）一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)軸反射到圓上的最短路徑的長度是A．4 B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)反射對(duì)稱性以及圓的性質(zhì)確定最短路徑，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),則所求最短路徑的長度為，選C.【點(diǎn)睛】本題考查反射對(duì)稱性以及圓的性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬中檔題.27．（24-25高二上·河北張家口·階段練習(xí)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的切線，那么這一點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓的蒙日?qǐng)A為圓，若圓不透明，則一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)軸反射到圓上的最大路程為3時(shí)，的值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】由特殊切線求得蒙日?qǐng)A的方程，根據(jù)切線長和圓的半徑解得（為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)）兩點(diǎn)間的距離，進(jìn)而解得的值.【詳解】

由橢圓方程得：直線和是橢圓的兩條互相垂直的切線，所以點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，則蒙日?qǐng)A的半徑，故蒙日?qǐng)A的方程為；如圖所示，設(shè)點(diǎn)出發(fā)的光線與軸交于點(diǎn)，反射光線與圓交于點(diǎn)，當(dāng)直線為圓的切線時(shí)，路程取最大值，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由對(duì)稱性知點(diǎn)在直線上，且，則，由題意，當(dāng)直線為圓的切線時(shí)，路程最大，且最大值為3，即，則，即，解得，，故選：A.題型十四、切線：切點(diǎn)弦（共2小題）28．（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）已知圓，點(diǎn)在橢圓運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，依題意可得切點(diǎn)弦方程為，取的中點(diǎn)，連接，則，利用點(diǎn)到直線的距離公式及的范圍計(jì)算可得.【詳解】設(shè)、、，設(shè)切線上任意一點(diǎn)為，則，，所以，即，即切線的方程為，同理可得切線的方程為，所以且，因?yàn)辄c(diǎn)、的坐標(biāo)都滿足方程，所以直線的方程為，取的中點(diǎn)，連接，則，，又，即，所以，因?yàn)?，所以，則，所以.故選：D.29．（24-25高二上·湖北·期中）已知點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則點(diǎn)到直線距離的最大值（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】假設(shè)點(diǎn)，求得以為直徑的圓的方程，與已知圓的方程作差可得直線的方程，然后可知直線過定點(diǎn)，最后判斷和計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，則以為直徑的圓的方程為，與圓的方程相減，得到直線的方程為：，又，可得，即，可得，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，點(diǎn)到直線距離的最大值即為點(diǎn)，之間的距離，，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為.故選：A.題型十五、切線：切線長最值（共2小題）30．（2025·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心坐標(biāo)與半徑，再利用切線的性質(zhì)得到與的關(guān)系，最后根據(jù)的最小值求出的最小值.【詳解】已知圓的方程為，可得圓心，半徑.因?yàn)镻Q為圓的切線，所以，在中，根據(jù)勾股定理可得.已知，則.點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取得最小值，.因?yàn)?，?dāng)取最小值時(shí)，，則.的最小值為.故選：A.31．（24-25高二下·湖北·階段練習(xí)）已知圓，圓，點(diǎn)P在圓N上運(yùn)動(dòng)，直線與圓M相切于點(diǎn)A，則的最大長度為（

）A．8 B．7 C． D．【答案】C【分析】利用圓的切線長公式以及點(diǎn)到圓的距離的位置關(guān)系求解.【詳解】由題，圓，圓，所以圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，作圖如下，因?yàn)?由幾何性質(zhì)可知，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，有最大值為，此時(shí)最大，最大值為，故選:C.題型十六、切線：面積最值（共2小題）32．（2025·山東聊城·三模）已知是直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，則面積的最大值為（）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】應(yīng)用點(diǎn)到直線距離得出，最小時(shí)，利用面積公式結(jié)合角的范圍即得.【詳解】∵圓心O到直線的距離，所以，設(shè)，，所以，，所以，則面積故選：A.33．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)記為，若存在四邊形的面積為，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由四邊形面積求得切線長，得出，從而得出圓心到直線的距離的范圍，再結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得參數(shù)范圍．【詳解】易得圓心，半徑，由圖知，則，此時(shí)，則只需圓心到直線的距離，即存在四邊形的面積為，所以，即，解得．故選：B．

題型十七、切線：三角函數(shù)型動(dòng)切線（共2小題）34．（2025·安徽池州·二模）已知直線，圓，過上一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，使四邊形的面積為的點(diǎn)有且僅有一個(gè)，則此時(shí)直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，可得，且，由點(diǎn)到直線的距離公式求得，進(jìn)而求得直線的方程，再求出直線的方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求出以為直徑的圓的方程，易知直線是圓與以為直徑的圓的公共弦所在直線，兩圓方程相減得解.【詳解】如圖，，解得，所以，因這樣的點(diǎn)有且僅有一個(gè)，由圖知此時(shí)，則圓心到直線的距離為6，即，化簡(jiǎn)得，其中，，則，，所以，即，則直線的斜率為，所以直線，即，聯(lián)立，解得，即，因的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且，則以為直徑的圓的方程為，整理得，易知直線是圓與以為直徑的圓的公共弦所在直線，將兩圓的方程相減得，故直線的方程為.故選：B.35.（15-16高二上·四川成都·階段練習(xí)）設(shè)直線系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），對(duì)于下列四個(gè)命題：A．M中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)B．存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上C．對(duì)于任意整數(shù)n（n≥3），存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上D．M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等其中真命題的代號(hào)是