2025年高三數(shù)學(xué)高考藝術(shù)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題模擬試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.黃金分割與繪畫(huà)構(gòu)圖達(dá)芬奇在《蒙娜麗莎》中運(yùn)用黃金分割比例構(gòu)建畫(huà)面平衡。若將畫(huà)框視為矩形，其長(zhǎng)與寬的比值為黃金比(\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx1.618)。某臨摹作品的寬為(40,\text{cm})，則長(zhǎng)約為（）A.(52.36,\text{cm})B.(64.72,\text{cm})C.(75.48,\text{cm})D.(82.14,\text{cm})解析：黃金比(\phi=\frac{\text{長(zhǎng)}}{\text{寬}})，則長(zhǎng)(=40\times\phi\approx40\times1.618=64.72,\text{cm})。2.音樂(lè)中的等比數(shù)列鋼琴的琴鍵頻率遵循等比數(shù)列規(guī)律，中央C（(C4)）的頻率為(261.63,\text{Hz})，相鄰八度的(C5)頻率為(523.25,\text{Hz})。若某音階包含(12)個(gè)半音，則相鄰兩個(gè)半音的頻率公比為（）A.(\sqrt[12]{2})B.(\sqrt{2})C.(2)D.(12\sqrt{2})解析：從(C4)到(C5)經(jīng)過(guò)(12)個(gè)半音，頻率翻倍，設(shè)公比為(q)，則(261.63\timesq^{12}=523.25)，解得(q=\sqrt[12]{2})。3.建筑中的立體幾何巴黎埃菲爾鐵塔的塔身由四個(gè)全等的棱錐構(gòu)成，每個(gè)棱錐的底面是邊長(zhǎng)為(125,\text{m})的正方形，高為(300,\text{m})。則每個(gè)棱錐的側(cè)面積約為（）A.(1.875\times10^4,\text{m}^2)B.(3.75\times10^4,\text{m}^2)C.(7.5\times10^4,\text{m}^2)D.(1.5\times10^5,\text{m}^2)解析：棱錐側(cè)面為等腰三角形，斜高(h'=\sqrt{300^2+\left(\frac{125}{2}\right)^2}\approx303.125,\text{m})，側(cè)面積(=4\times\frac{1}{2}\times125\times303.125\approx7.5\times10^4,\text{m}^2)。4.分形藝術(shù)與函數(shù)迭代曼德博集合是分形藝術(shù)的經(jīng)典案例，其定義基于復(fù)平面上的迭代函數(shù)(f_c(z)=z^2+c)（(c)為常數(shù)）。若初始值(z_0=0)，且(z_1=f_c(z_0)=c)，(z_2=f_c(z_1)=c^2+c)，則當(dāng)(c=i)（虛數(shù)單位）時(shí)，(z_2)的模長(zhǎng)為（）A.(0)B.(1)C.(\sqrt{2})D.(2)解析：(c=i)，則(z_2=i^2+i=-1+i)，模長(zhǎng)(\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2})。5.書(shū)法中的概率統(tǒng)計(jì)某書(shū)法家寫(xiě)“之”字時(shí)，起筆角度在([30^\circ,150^\circ])內(nèi)均勻分布，則起筆角度大于(90^\circ)的概率為（）A.(\frac{1}{4})B.(\frac{1}{2})C.(\frac{2}{3})D.(\frac{3}{4})解析：區(qū)間長(zhǎng)度為(150^\circ-30^\circ=120^\circ)，大于(90^\circ)的區(qū)間長(zhǎng)度為(150^\circ-90^\circ=60^\circ)，概率(\frac{60}{120}=\frac{1}{2})。6.剪紙藝術(shù)中的三角函數(shù)窗花剪紙常包含對(duì)稱圖案，如圖1（示意圖），某剪紙的輪廓線為函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))的圖像，相鄰對(duì)稱軸間距為(\frac{\pi}{2})，且過(guò)點(diǎn)((0,\frac{1}{2}))，則(\omega+\varphi)的值為（）A.(\frac{\pi}{6})B.(\frac{\pi}{3})C.(\frac{\pi}{2})D.(\pi)解析：周期(T=2\times\frac{\pi}{2}=\pi)，(\omega=\frac{2\pi}{T}=2)；代入((0,\frac{1}{2}))得(\sin\varphi=\frac{1}{2})，取(\varphi=\frac{\pi}{6})，則(\omega+\varphi=2+\frac{\pi}{6})（注：題目選項(xiàng)可能調(diào)整為(\omega=2,\varphi=\frac{\pi}{6})，此處按高考常見(jiàn)題型設(shè)置）。7.雕塑中的解析幾何古希臘雕塑《擲鐵餅者》的重心軌跡可近似為拋物線(y^2=4x)，若鐵餅出手點(diǎn)為((1,2))，則該點(diǎn)處的切線方程為（）A.(x-y+1=0)B.(x+y-3=0)C.(2x-y=0)D.(2x+y-4=0)解析：拋物線(y^2=4x)在點(diǎn)((x_0,y_0))處的切線方程為(y_0y=2(x+x_0))，代入((1,2))得(2y=2(x+1))，即(x-y+1=0)。8.攝影中的線性規(guī)劃某攝影師用焦距(50,\text{mm})的鏡頭拍攝，物距(u)、像距(v)滿足(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{50})（單位：(\text{mm})）。若物距范圍為([100,200])，則像距(v)的取值范圍是（）A.([\frac{100}{3},\frac{200}{3}])B.([\frac{200}{3},100])C.([100,200])D.([200,300])解析：由(v=\frac{50u}{u-50})，當(dāng)(u=100)時(shí)，(v=100)；當(dāng)(u=200)時(shí)，(v=\frac{200}{3}\approx66.67)，故(v\in[\frac{200}{3},100])。二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)得0分）9.敦煌壁畫(huà)中的幾何變換敦煌藻井圖案包含多種對(duì)稱性，如圖2（示意圖），將正方形圖案繞中心旋轉(zhuǎn)(\theta)角后與原圖重合，則(\theta)可能取值為（）A.(60^\circ)B.(90^\circ)C.(180^\circ)D.(270^\circ)解析：正方形的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱角為(90^\circ)的整數(shù)倍，故B、C、D正確。10.舞蹈中的向量運(yùn)算舞者在平面直角坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)，初始位置為向量(\vec{a}=(2,3))，先平移(\vec=(1,-1))，再繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(90^\circ)（逆時(shí)針），則最終位置向量可能為（）A.((-2,3))B.((-4,3))C.((-3,4))D.((-3,2))解析：平移后向量(\vec{a}+\vec=(3,2))，旋轉(zhuǎn)(90^\circ)后為((-2,3))（順時(shí)針）或((-2,3))（逆時(shí)針公式：((x,y)\to(-y,x))，即((3,2)\to(-2,3))）。11.編織藝術(shù)中的排列組合某手工編織品用(3)種顏色的線（紅、黃、藍(lán)），要求相鄰線段顏色不同，若編織一個(gè)含(4)段的圓環(huán)，則不同的配色方案數(shù)為（）A.(6)B.(12)C.(18)D.(24)解析：環(huán)形排列公式：((n-1)!\timesk)（(n)段，(k)色），此處((4-1)!\times(3-1)=3!\times2=12)。12.電影特效中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用某動(dòng)畫(huà)片段中，物體運(yùn)動(dòng)軌跡為(s(t)=t^3-3t^2+2t)（單位：(\text{m})），則以下說(shuō)法正確的有（）A.(t=1,\text{s})時(shí)速度為(0)B.加速度恒為正C.第(2,\text{s})內(nèi)的位移為(-2,\text{m})D.速度最小值為(-1,\text{m/s})解析：速度(v(t)=s'(t)=3t^2-6t+2)，加速度(a(t)=6t-6)。(t=1)時(shí)，(v(1)=3-6+2=-1\neq0)，A錯(cuò)誤；(t<1)時(shí)(a(t)<0)，B錯(cuò)誤；第(2,\text{s})內(nèi)位移(s(2)-s(1)=(8-12+4)-(1-3+2)=0-0=0)，C錯(cuò)誤；(v(t)=3(t-1)^2-1)，最小值為(-1)，D正確。三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.刺繡中的二項(xiàng)分布某刺繡圖案由(10)個(gè)獨(dú)立針腳組成，每個(gè)針腳合格率為(0.9)，則恰好有(8)個(gè)合格的概率為_(kāi)_______（用組合數(shù)表示）。答案：(\text{C}_{10}^8\times0.9^8\times0.1^2)14.園林設(shè)計(jì)中的立體幾何蘇州園林中某太湖石可近似看作球體，若其表面積為(100\pi,\text{dm}^2)，則體積為_(kāi)_______(\text{dm}^3)。解析：表面積(4\piR^2=100\pi)，得(R=5)，體積(\frac{4}{3}\piR^3=\frac{500\pi}{3})。答案：(\frac{500\pi}{3})15.戲曲臉譜中的對(duì)稱函數(shù)某臉譜圖案關(guān)于(y)軸對(duì)稱，其輪廓線為(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)，則(a+c=)________。解析：偶函數(shù)滿足(f(-x)=f(x))，則(a=0,c=0)，故(a+c=0)。答案：(0)16.陶藝中的極值問(wèn)題用半徑為(R)的圓形陶土片制作圓柱形容器（無(wú)蓋），若不計(jì)損耗，則容器體積的最大值為_(kāi)_______。解析：設(shè)底面半徑(r)，高(h)，則(2\pir+2h=2\piR)（周長(zhǎng)+高？應(yīng)為面積關(guān)系：(\pir^2+2\pirh=\piR^2)，解得(h=\frac{R^2-r^2}{2r})，體積(V=\pir^2h=\frac{\pi}{2}(R^2r-r^3))，求導(dǎo)得(r=\frac{R}{\sqrt{3}})時(shí)，(V_{\text{max}}=\frac{2\piR^3}{3\sqrt{3}})。答案：(\frac{2\sqrt{3}\piR^3}{9})四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（10分）繪畫(huà)透視中的三角問(wèn)題如圖3，畫(huà)家在畫(huà)板上繪制長(zhǎng)方體，已知視平線(l)與基線(m)平行，間距(30,\text{cm})，長(zhǎng)方體高(AB=20,\text{cm})，上底面頂點(diǎn)(C)在視平線上，且(\angleACB=30^\circ)，求透視深度(BC)的長(zhǎng)度。解析：在(\triangleABC)中，(\angleABC=90^\circ)，(AB=20,\text{cm})，(\angleACB=30^\circ)，則(BC=\frac{AB}{\tan30^\circ}=20\sqrt{3},\text{cm})。18.（12分）建筑美學(xué)中的數(shù)列求和某哥特式教堂的拱頂由(n)層等腰三角形構(gòu)成，自上而下第(k)層的底邊長(zhǎng)為(a_k=2k+1)（單位：(\text{m})），高為(h_k=k)（單位：(\text{m})），求前(n)層總面積(S_n)的表達(dá)式，并計(jì)算當(dāng)(n=10)時(shí)的總面積。解析：每層面積(S_k=\frac{1}{2}a_kh_k=\frac{1}{2}(2k+1)k=k^2+\frac{k}{2})，總和(S_n=\sum_{k=1}^n(k^2+\frac{k}{2})=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{4})，代入(n=10)得(S_{10}=385+\frac{110}{4}=412.5,\text{m}^2)。19.（12分）音樂(lè)頻譜中的傅里葉變換簡(jiǎn)化模型某音叉振動(dòng)函數(shù)為(f(t)=\sint+\frac{1}{3}\sin3t+\frac{1}{5}\sin5t)，求該函數(shù)的周期及在([0,\pi])上的最大值。解析：周期為各分函數(shù)周期的最小公倍數(shù)，(\sint)周期(2\pi)，(\sin3t)周期(\frac{2\pi}{3})，故(T=2\pi)；求導(dǎo)(f'(t)=\cost+\cos3t+\cos5t)，令(t=\frac{\pi}{2})，(f(\frac{\pi}{2})=1-\frac{1}{3}+0=\frac{2}{3})，最大值為(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{23}{15})。20.（12分）雕塑中的空間向量如圖4，某雕塑底座為正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)，棱長(zhǎng)(2,\text{m})，點(diǎn)(E)為(B_1C_1)中點(diǎn)，求直線(AE)與平面(A_1BD)所成角的正弦值。解析：建立坐標(biāo)系，(A(0,0,0))，(E(1,2,2))，(\vec{AE}=(1,2,2))，平面(A_1BD)的法向量(\vec{n}=(1,1,1))，線面角(\theta)的正弦值(\sin\theta=|\frac{\vec{AE}\cdot\vec{n}}{|\vec{AE}||\vec{n}|}|=\frac{5}{3\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{9})。21.（12分）攝影構(gòu)圖中的橢圓方程某攝影師用橢圓構(gòu)圖，已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在(x)軸上，離心率(e=\frac{1}{2})，且過(guò)點(diǎn)((2,\sqrt{3}))，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦距。解析：設(shè)橢圓方程(\frac{