wordword/word2016-2017學(xué)年某某省某某市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：（每題只有一個正確選項．共12個小題，每題5分，共60分．）1．下列數(shù)列中不是等差數(shù)列的為（）A．6，6，6，6，6 B．﹣2，﹣1，0，1，2 C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10．2．已知m和2n的等差中項是4，2m和n的等差中項是5，則m和n的等差中項是（）A．2 B．3 C．6 D．93．在△ABC中內(nèi)角A，B，C所對各邊分別為a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc，則角A=（）A．60° B．120° C．30° D．150°4．已知等差數(shù)列{an}中，a2=2，d=2，則S10=（）A．200 B．100 C．90 D．805．已知{an}是等比數(shù)列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，則S3=（）A．12 B．16 C．18 D．246．大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論．主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．?dāng)?shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和．是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，則此數(shù)列第20項為（）A．180 B．200 C．128 D．1627．定義為n個正數(shù)p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”．若已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為，又bn=，則+++…+=（）A． B． C． D．8．在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，則?=（）A． B．﹣ C．3 D．﹣39．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是（）海里．A．10 B．20 C．10 D．2010．?dāng)?shù)列{an}滿足，則an=（）A． B． C． D．11．在△ABC中，若sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C），則△ABC必是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形12．△ABC外接圓半徑為R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，則角C=（）A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空題（共4個小題，每題5分，共20分．）13．邊長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為．14．若數(shù)列{an}滿足，則a2017=．15．已知正項等比數(shù)列{an}中，a1=1，其前n項和為Sn（n∈N*），且，則S4=．16．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，則b=．三、解答題：（解答題應(yīng)寫出必要的文字說明和演算步驟）17．在△ABC中，a，b，c分別為A、B、C的對邊，且滿足2（a2﹣b2）=2accosB+bc（1）求A（2）D為邊BC上一點，CD=3BD，∠DAC=90°，求tanB．18．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an﹣3n（n∈N+）．（1）求a1，a2，a3的值；（2）是否存在常數(shù)λ，使得{an+λ}為等比數(shù)列？若存在，求出λ的值和通項公式an，若不存在，請說明理由．19．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且n+1=1+Sn對一切正整數(shù)n恒成立．（1）試求當(dāng)a1為何值時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求出它的通項公式；（2）在（1）的條件下，當(dāng)n為何值時，數(shù)列的前n項和Tn取得最大值．20．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的長；（2）求cos（A﹣）的值．21．已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{an}的通項公式；（2）設(shè)=an+bn，求數(shù)列{}的前n項和．22．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大?。唬á颍┤鬮+c=2，求a的取值X圍．2016-2017學(xué)年某某省某某市安平中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：（每題只有一個正確選項．共12個小題，每題5分，共60分．）1．下列數(shù)列中不是等差數(shù)列的為（）A．6，6，6，6，6 B．﹣2，﹣1，0，1，2 C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10．【考點】83：等差數(shù)列．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，對所給的各個數(shù)列進行判斷，從而得出結(jié)論．【解答】解：A，6，6，6，6，6常數(shù)列，公差為0；B，﹣2，﹣1，0，1，2公差為1；C，5，8，11，14公差為3；D，數(shù)列0，1，3，6，10的第二項減去第一項等于1，第三項減去第二項等于2，故此數(shù)列不是等差數(shù)列．故選：D．2．已知m和2n的等差中項是4，2m和n的等差中項是5，則m和n的等差中項是（）A．2 B．3 C．6 D．9【考點】8F：等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由等差中項的性質(zhì)，利用已知條件，能求出m，n，由此能求出m和n的等差中項．【解答】解：∵m和2n的等差中項是4，2m和n的等差中項是5，∴，解得m=4，n=2，∴m和n的等差中項===3．故選：B．3．在△ABC中內(nèi)角A，B，C所對各邊分別為a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc，則角A=（）A．60° B．120° C．30° D．150°【考點】HR：余弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cosA的值，結(jié)合X圍A∈（0°，180°），利用特殊角的三角函數(shù)值即可得解A的值．【解答】解：在△ABC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故選：A．4．已知等差數(shù)列{an}中，a2=2，d=2，則S10=（）A．200 B．100 C．90 D．80【考點】85：等差數(shù)列的前n項和．【分析】由等差數(shù)列的通項公式，可得首項，再由等差數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和．【解答】解：等差數(shù)列{an}中，a2=2，d=2，a1+d=2，解得a1=0，則S10=10a1+×10×9d=0+45×2=90．故選：C．5．已知{an}是等比數(shù)列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，則S3=（）A．12 B．16 C．18 D．24【考點】88：等比數(shù)列的通項公式．【分析】推導(dǎo)出a3，a4是方程x2﹣2x﹣8=0的兩個根，|a3|＞|a4|，解方程，得a3=4，a4=﹣2，由等比數(shù)列通項公式列出方程組，求出，由此能求出S3．【解答】解：∵{an}是等比數(shù)列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，∴a3a4=a2a5=﹣8，∴a3，a4是方程x2﹣2x﹣8=0的兩個根，|a3|＞|a4|，解方程，得a3=4，a4=﹣2，∴，解得，∴S3===12．故選：A．6．大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論．主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．?dāng)?shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和．是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，則此數(shù)列第20項為（）A．180 B．200 C．128 D．162【考點】81：數(shù)列的概念及簡單表示法．【分析】0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶數(shù)項的通項公式：a2n=2n2．即可得出．【解答】解：由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶數(shù)項的通項公式：a2n=2n2．則此數(shù)列第20項=2×102=200．故選：B．7．定義為n個正數(shù)p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”．若已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為，又bn=，則+++…+=（）A． B． C． D．【考點】8E：數(shù)列的求和．【分析】直接利用給出的定義得到=，整理得到Sn=2n2+n．分n=1和n≥2求出數(shù)列{an}的通項，驗證n=1時滿足，所以數(shù)列{an}的通項公式可求；再利用裂項求和方法即可得出．【解答】解：由已知定義，得到=，∴a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn，即Sn=2n2+n．當(dāng)n=1時，a1=S1=3．當(dāng)n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]=4n﹣1．當(dāng)n=1時也成立，∴an=4n﹣1；∵bn==n，∴==﹣，∴+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴+++…+=，故選：C8．在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，則?=（）A． B．﹣ C．3 D．﹣3【考點】HR：余弦定理；9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形，把已知等式及cosB的值代入求出ac的值，原式利用平面向量的數(shù)量積運算法則變形，將各自的值代入計算即可求出值．【解答】解：∵在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，∴由余弦定理得：cosB=====，即ac=2，則?=﹣cacosB=﹣．故選：B．9．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是（）海里．A．10 B．20 C．10 D．20【考點】HU：解三角形的實際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意畫出圖象確定∠BAC、∠ABC的值，進而可得到∠ACB的值，根據(jù)正弦定理可得到BC的值．【解答】解：如圖，由已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=20，從而∠ACB=45°．在△ABC中，由正弦定理可得BC=×sin30°=10．故選：A．10．?dāng)?shù)列{an}滿足，則an=（）A． B． C． D．【考點】8H：數(shù)列遞推式．【分析】利用數(shù)列遞推關(guān)系即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2時，a1+3a2+…+3n﹣2an﹣1=，∴3n﹣1an=，可得an=．n=1時，a1=，上式也成立．則an=．故選：B．11．在△ABC中，若sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C），則△ABC必是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【考點】HX：解三角形．【分析】結(jié)合三角形的內(nèi)角和公式可得A+B=π﹣C，A+C=π﹣B，代入已知sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C）化簡可得，sin2C=sin2B，由于0＜2B＜π，0＜2C＜π從而可得2B=2C或2B+2C=π，從而可求【解答】解：∵A+B=π﹣C，A+C=π﹣B，∴sin（A+B﹣C）=sin（π﹣2C）=sin2Csin（A﹣B+C）=sin（π﹣2B）=sin2B，則sin2B=sin2C，B=C或2B=π﹣2C，即．所以△ABC為等腰或直角三角形．故選C12．△ABC外接圓半徑為R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，則角C=（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考點】HR：余弦定理．【分析】先根據(jù)正弦定理把2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB中的角轉(zhuǎn)換成邊可得a，b和c的關(guān)系式，再代入余弦定理求得cosC的值，進而可得C的值．【解答】解：△ABC中，由2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，根據(jù)正弦定理得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，∴cosC==，∴角C的大小為30°，故選A．二、填空題（共4個小題，每題5分，共20分．）13．邊長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為120°．【考點】HR：余弦定理．【分析】直接利用余弦定理求出7所對的角的余弦值，求出角的大小，利用三角形的內(nèi)角和，求解最大角與最小角之和．【解答】解：根據(jù)三角形中大角對大邊，小角對小邊的原則，所以由余弦定理可知cosθ==，所以7所對的角為60°．所以三角形的最大角與最小角之和為：120°．故答案為：120°．14．若數(shù)列{an}滿足，則a2017=2．【考點】8H：數(shù)列遞推式．【分析】數(shù)列{an}滿足a1=2，an=1﹣，可得an+3=an，利用周期性即可得出．【解答】解：數(shù)列{an}滿足a1=2，an=1﹣，可得a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2a5=1﹣=，…，∴an+3=an，數(shù)列的周期為3．∴a2017=a672×3+1=a1=2．故答案為：215．已知正項等比數(shù)列{an}中，a1=1，其前n項和為Sn（n∈N*），且，則S4=15．【考點】89：等比數(shù)列的前n項和．【分析】由題意先求出公比，再根據(jù)前n項和公式計算即可．【解答】解：正項等比數(shù)列{an}中，a1=1，且，∴1﹣=，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∴S4==15，故答案為：15．16．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，則b=．【考點】HX：解三角形．【分析】運用同角的平方關(guān)系可得sinA，sinC，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式，可得sinB，運用正弦定理可得b=，代入計算即可得到所求值．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案為：．三、解答題：（解答題應(yīng)寫出必要的文字說明和演算步驟）17．在△ABC中，a，b，c分別為A、B、C的對邊，且滿足2（a2﹣b2）=2accosB+bc（1）求A（2）D為邊BC上一點，CD=3BD，∠DAC=90°，求tanB．【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】（1）將2（a2﹣b2）=2accosB+bc化解結(jié)合余弦定理可得答案．（2）因為∠DAC=，所以AD=CD?sinC，∠DAB=．利用正弦定理即可求解．【解答】解：（1）由題意2accosB=a2+c2﹣b2，∴2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．整理得a2=b2+c2+bc，由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA可得：bc=﹣2bccosA∴cosA=﹣，∵0＜A＜π∴A=．（Ⅱ）∵∠DAC=，∴AD=CD?sinC，∠DAB=．在△ABD中，有，又∵CD=3BD，∴3sinC=2sinB，由C=﹣B，得cosB﹣sinB=2sinB，整理得：tanB=．18．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an﹣3n（n∈N+）．（1）求a1，a2，a3的值；（2）是否存在常數(shù)λ，使得{an+λ}為等比數(shù)列？若存在，求出λ的值和通項公式an，若不存在，請說明理由．【考點】8D：等比關(guān)系的確定；81：數(shù)列的概念及簡單表示法．【分析】（1）分別令n=1，2，3，依次計算a1，a2，a3的值；（2）假設(shè)存在常數(shù)λ，使得{an+λ}為等比數(shù)列，則（a2+λ）2=（a1+λ）（a3+λ），從而可求得λ，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得出an+λ，從而得出an．【解答】解：（1）當(dāng)n=1時，S1=a1=2a1﹣3，解得a1=3，當(dāng)n=2時，S2=a1+a2=2a2﹣6，解得a2=9，當(dāng)n=3時，S3=a1+a2+a3=2a3﹣9，解得a3=21．（2）假設(shè){an+λ}是等比數(shù)列，則（a2+λ）2=（a1+λ）（a3+λ），即（9+λ）2=（3+λ）（21+λ），解得λ=3．∴{an+3}的首項為a1+3=6，公比為=2．∴an+3=6×2n﹣1，∴an=6×2n﹣1﹣3．19．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且n+1=1+Sn對一切正整數(shù)n恒成立．（1）試求當(dāng)a1為何值時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求出它的通項公式；（2）在（1）的條件下，當(dāng)n為何值時，數(shù)列的前n項和Tn取得最大值．【考點】8E：數(shù)列的求和．【分析】（1）由已知數(shù)列遞推式可得an+1=2an，再由數(shù)列{an}是等比數(shù)列求得首項，并求出數(shù)列通項公式；（2）把數(shù)列{an}的通項公式代入數(shù)列，可得數(shù)列是遞減數(shù)列，可知當(dāng)n=9時，數(shù)列的項為正數(shù)，n=10時，數(shù)列的項為負數(shù)，則答案可求．【解答】解：（1）由an+1=1+Sn得：當(dāng)n≥2時，an=1+Sn﹣1，兩式相減得：an+1=2an，∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∴a2=2a1，又∵a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1．得：；（2），可知數(shù)列是一個遞減數(shù)列，∴，由此可知當(dāng)n=9時，數(shù)列的前項和Tn取最大值．20．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的長；（2）求cos（A﹣）的值．【考點】HX：解三角形；HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的長；（2）求出cosA、sinA，利用兩角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A為三角形的內(nèi)角，∴si