(人教2024版)數(shù)學八年級上冊專題01三角形目錄A題型建?！ｍ椡黄祁}型一、作圖問題 錯誤！未定義書簽。題型二、三角形三邊關系 2題型三、分類討論思想的應用 3題型四、三角形的面積問題 4題型五、三角形的中線、高和角平分線 7題型六、三角形的折疊問題 8題型七、三角形的內(nèi)角和外角 9題型八、三角形的綜合探究 11B綜合攻堅·能力躍升A 題型建?！ｍ椡黄祁}型一、作圖問題1.小涵求VABC的面積時，作了AB邊上的高，下列作圖正確的是()2.如圖,BABC中BC邊上的高是()A.BD B.AE C.BE D.CF3.如圖，在VABC中，關于高的說法正確的是()A.線段AD是BC邊上的高 B.線段BE是AB邊上的高C.線段CF是AC邊上的高 D.線段CF是BC邊上的高4.如圖,在Rt△ABF中,∠F=90°,點C是線段BF上異于點B和點F的一點,連接AC,過點C作CD⊥AC交AB于點D，過點C作CE⊥AB交AB于點E，則下列說法中，錯誤的是()A.VABC中,AB邊上的高是CE B.VABC中,BC邊上的高是AFC1C1C.△ACD中,AC邊上的高是CE D.△ACD中,CD邊上的高是AC5.數(shù)學課上同學們用三角板作三角形的高，有四位同學的作法如下，其中正確的是()6.如圖,在VABC中,AB邊上的高線是()A.線段AD B.線段AF C.線段BG D.線段CE故選D.題型二、三角形三邊關系7.若一個三角形的兩邊長分別為3和9，則第三邊長可能是()A.6 B.3 C.2 D.118.如圖，已知點M是直線l上的一點，點O在直線l的上方，以點O為圓心，OM長為半徑畫弧，交直線l于另一點N.若OM=5，則MN的長不可能是()A.7 B.8 C.9 D.109.為估計池塘兩岸A、B間的距離，如圖，小明在池塘一側選取了一點O，測得OA=16m,OB=12m,那么AB的距離不可能是()A.5m B.15m C.20m D.30m10.如圖，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小麗在池塘的一側選取點P，測得PA=20m，PB=15m，那么A，B間的距離可能是()A.40m B.35m C.25m D.5m11.如圖，數(shù)軸上A，B兩點到原點的距離分別是三角形兩邊的長，則該三角形第三邊的長可能是()A.1 B.4 C.7 D.812.三根底端對齊的小棒中有一根被擋板遮住了，它們的長度如圖所示.若三根小棒可以圍成三角形，則第三根小棒的長度可以是()A.2 B.3或5 C.4或5 D.613.已知三角形的三邊長為3，5，a+1，則化簡∣a-1∣+∣a-9∣的結果為.14.已知一個三角形的邊長均為整數(shù)，且其中兩條邊長分別3cm和5cm，則第三邊的長度可能是cm.(寫出滿足條件的一個答案即可)15.若VABC的兩條邊分別長3cm和2cm，第三邊的長是一個奇數(shù)，則第三邊長cm.16.若三角形的三邊分別為5cm,8cm,(a-2)cm,則a的取值范圍是.題型三、分類討論思想的應用17.等腰三角形兩邊的長分別為3cm和7cm，則這個三角形的第三邊是()A.3cm B.7cm C.10cm D.無法確定18.如圖，這是一個三角形裁剪后剩余的部分圖形，則原三角形不可能為()A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形19.等腰三角形的底邊長為16，則腰長的取值可以為()A.6 B.7 C.8 D.920.等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為5cm，則該等腰三角形的底邊長為()A.3cm B.5cm C.3cm或5cm D.4cm或5cm21.若等腰三角形兩邊長為2cm，4cm，則周長可以是cm.22.已知實數(shù)x，y滿足∣x-3∣+y-7=0,則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是.23.如果等腰三角形的一邊長是5cm，另一邊長是10cm，那么這個等腰三角形的周長為.24.(1)等腰三角形的兩邊長分別為6cm、13cm,其周長為cm;(2)若等腰三角形的兩條邊長分別為4cm和5cm，則它的周長為cm.25.已知VABC的高AD與AB,AC的夾角分別是50°和20°,則∠BAC的度數(shù)是.26.AD為VABC的中線,AE為VABC的高,△ABD的面積為12,AE=4,CE=2,則DE的長為.題型四、三角形的面積問題27.如圖,在VABC中,D,E,F分別是BC,AD,CE的中點,SaABC=8cm2,則陰影部分A.1cm2 B.2cm2 C.4cm28.如圖,VABC中,點E是BC上的一點,EC=3BE,點D是AC中點,若S△ABC=36,則S△ADF?A.9 B.12 C.18 D.2429.如圖,AD是VABC的中線,CE是△ACD的中線，DF是△DEC的中線，若S△DEF=2,則S△A.16 B.14 C.12 D.1030.如圖，EABC中，點D是AB邊上的中點，點E是BC邊上的中點，若SABC=12，則圖中陰影部分的面積是()A.6 B.4 C.3 D.231.如圖,EABC中,AD是BC邊上的中線,BE是BABD中AD邊上的中線,若EABC的面積是24,則EABE的面積是()A.4 B.6 C.8 D.1032.如圖,D、E是VABC邊AB、BC上的點,AD=BD,BE=2CE,設△ADF的面積為S1,△CEF的面積為S?,若VABC的面積為12,則S1A.1 B.2 C.3 D.不能確定33.如圖,在VABC中,點D、E分別在BC、AC邊上,E是AC的中點,BC=3BD,BE與AD相交于點F,S△ABE=6,則△ACD的面積為()A.9 B.12 C.8 D.1034.如圖,在VABC中,E是BC上的一點,EC=2BE,點D是AC的中點,設VABC,△ADF,△BEF的面積分別為SΔABC,S△ADF,S△BEF,A.2 B.3 C.4 D.5CC35.如圖,在VABC中,D、E、F分別是BC、AC、AD的中點,若VABC的面積是40,則四邊形BDEF的面積是()A.10 B.12.5 C.15 D.2036.如圖是一塊面積為28cm2的三角形紙板，其中點D，E，F(xiàn)分別是線段AF，BD，EC的中點，則陰影部分的面積是cm^{2}.37.如圖,D、E分別是VABC的邊AB、AC的中點,連接DE、BE,則S△ADE:題型五、三角形的中線、高和角平分線38.如圖,在VABC中,∠C=90°,D,E是AC上兩點,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列說法中不正確的是()A.BE是△ABD的中線 B.BD是△BCE的角平分線C.∠1=∠2=∠3 D.BC是△BCE的高39.已知命題：“三角形三條高線的交點一定在三角形的內(nèi)部，“琪琪想舉一反例說明它是假命題，則下列選項中符合要求的反例是()A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.等邊三角形 D.任意三角形40.如圖,三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,若AAB=5,AC=3,BC=4，則點C到直線AB的距離是()A.125 B.3 C.4 D.541.在VABC中,AD是中線,△ACD與△ABD的周長差為7.若AB=5,則AC=()A.10 B.12 C.14 D.1542.已知BD是VABC的中線,若△ABD與△BCD的周長分別為21，12，則AB-BC=_.43.如圖,在VABC中,BD?AC于點D，AE平分∠BAC,交BD于點F,∠ABC=90°,求證：44.如圖,在VABC中,AD是BC邊上的中線,△ADC的周長比△ABD的周長多5cm,VABC的周長為50cm,且BC=17cm,求AC的長.45.在VABC中:(1)如圖,若∠A=60°,AB,AC邊上的高CE,BD交于點O.求∠BOC(2)若∠A為鈍角，AB，AC邊上的高CE，BD所在直線交于點O，畫出圖形，并用量角器量一量，可知∠BAC+∠BOC=_.用你已學過的數(shù)學知識加以說明：(3)由(1)(2)可以得到什么結論，嘗試寫出來.題型六、三角形的折疊問題46.如圖，將直角三角形紙片ABC的直角C沿EF折疊，點C落在紙片內(nèi)部的點P處.如果?FEP48?，則∠BFP的度數(shù)是()A.42° B.48° C.8447.如圖,在△ABC中,∠A=28°,∠ACB=10邊上的點B'處，則∠ADB'的度數(shù)為.48.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=52°,D、E分別在AB、AC上,將VADE沿DE折疊得VFDE,且滿足EF∥AB,則∠EDF=.49.如圖,把三角形紙片ABC折疊,使得點B,點C都與點A重合,折痕分別為DE,MN,若∠BAC=100°,則∠DAM=度.50.如圖所示，在數(shù)學拓展課上，小聰將直角三角形紙片ABC(∠A=25°，∠B=65°)沿DE向上折疊，點A落在點A'處,當DA'∥BC時,∠DEC=度.題型七、三角形的內(nèi)角和外角51.在“三角形拼角”實驗中，明明把一副三角尺按如圖所示的方式放置，則∠α=()A.65° B.70° C.75° D.80°52.如圖,在VABC中,D是AB上一點.連接CD.則∠1,∠2,∠3的大小關系是()A.∠1<∠2<∠3 B.∠1<∠3<∠2C.?3?2?1 D.∠2<∠1<∠353.如圖,∠1的大小等于()A.40° B.50° C.60° D.70°54.如圖，從A處觀測C處的仰角∠CAD=30°，從B處觀測C處的仰角∠CBD=55°,從C處觀測A，BA.20° B.25° C.30° D.35°55.一把直尺與一塊三角板如圖放置，若∠1=43°,A.123° B.127° C.133° D.137°56.如圖,已知直線a∥b,∠1=120°,∠2=62°,則∠3的度數(shù)為().A.58° B.60° C.55° D.68°57.如圖,在VABC中,D是BA延長線上一點,∠CAD的平分線與∠CBD的平分線相交于點E.當∠E+∠C=60°,∠EBA=25°時,∠CAD的度數(shù)為.58.如圖,將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上,∠1=30°,∠2=50°,則∠3=°.題型八、三角形的綜合探究59.已知三角形的三邊長分別為3，8，a.(1)求a的取值范圍：(2)若a為偶數(shù)，則組成的三角形的周長最小是多少?60.(1)已知△ABC的三邊長分別為a,b,c,化簡: |a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|;(2)一個等腰三角形的周長為25cm，一邊長為5cm，求另兩邊的長.61.如圖,VABC中,∠B=20°,∠C=60°,點D為邊BC上一點,將△ABD沿直線AD折疊后,點B落到點B'處,恰有B'D∥AC,求∠ADC的度數(shù).62.如圖,在VABC中,BD平分∠ABC交AC于點D,點E在AB邊上,連接DE,已知∠EBD=∠EDB.(1)請說明:DE∥BC;(2)若BD⊥AC,∠ADE=70°,求∠BED的度數(shù).63.如圖,在VABC中,P是線段BC上的一個動點,且不與B,C重合,PD⊥AB,PE⊥AC.(1)已知∠BAC=80°,∠B=∠C.①∠DPE=;②若∠APB=3∠PAC,則∠APD=;(2)如圖②,已知AB=AC,作BF⊥AC,試探究BF,PE,PD之間的關系.B 綜合攻堅·能力躍升1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，若中線BD將該三角形的周長分為5和3兩個部分，則該等腰三角形的底邊長為()A.43 B.4 C.43或4 2.如圖,分別延長VABC的邊AB,BC,CA,使得BD=AB,CE=2BC,AF=2AC.若VABC的面積為1,則△DEF的面積為()A.14 B.12 C.11 D.103.在三角形紙片ABC中,∠A=90°,∠C=25°,點D為AC邊上靠近點C處一定點,點E為BC邊上一動點，沿DE折疊三角形紙片，點C落在點C'處.①如圖1,當點C'落在BC邊上時,∠ADC'=50°;②如圖2,當點C'落在VABC內(nèi)部時,∠ADC'+∠BEC'=50°;③如圖3,當點C'落在VABC上方時,∠BEC'-∠ADC'=50';④當C'E∥AB時,∠CDE=32.5°或∠CDE=123.5°,以上結論正確的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.44.定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”，若等腰VABC是“倍長三角形"，腰AB的長為6，則VABC的周長為.5.如圖,在VABC中,AE?BC于點E，AB=9,BC=8,AE=7,P為AB邊上一動點，連接CP，則CP的最小值為.6.如圖，將長方形紙片ABCD依次折疊兩次：第一次以MN為折痕，使點A落在CD上的點E處；第二次以HG為折痕，使點N與點E重合，點B落在點B處.若∠DEM=30°,則∠EHG的度數(shù)為7.如圖,BA1和CA1分別是VABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的角平分線，CA2是∠A1CD的角平分線，BA3是8.等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學解題方法.(1)如圖1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,AC=10,BD⊥AC,垂足為點D,則BD的長是；(2)如圖2,在VABC中,AB=3,BC=6,則VABC的高AD與CE的比是;(3)如圖3,在VABC中,∠A=90°,∠ABC>45°,點D,E分別在邊BC,AC上,且BE=EC,DM⊥BE,DN⊥AC,垂足分別為點M,N.若AB=8,DM=3,求DN的值.9.已知:點A在射線CE上,∠C=∠D.(1)如圖1,若AC∥BD,求證:AD∥BC;(2)如圖2,若∠BAC=∠BAD,BD⊥BC,請?zhí)骄俊螪AE與∠C的數(shù)量關系,寫出你的探究結論,并加以證明：(3)如圖3,在(2)的條件下,過點D作DF∥BC交射線CE于點F,當∠DFE=8∠DAE時,求∠BAD的度數(shù)(直接寫出答案即可)。10.如圖,已知直線AB∥CD.(1)如圖1,求證:∠D=∠E+∠B.(2)如圖2,點F在AB、CD之間,連接EF、DF,EG平分∠BEF,FG平分∠EFD,∠D=26°,求∠B與∠G之間的數(shù)量關系.(3)如圖3,點G為直線AB,CD之間一點,且在∠DEH內(nèi)部,點H為直線AB上一點,連接EH,∠DEH=n∠GEH,∠EDC=n∠GDC,當2∠G-∠EHB=180°恒成立時,(n=_.11.已知∠MON,點A，B分別在射線ON，OM上移動(不與點O重合)，AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,AD(或其反向延長線)與BC交于點C.(1)如圖①,若∠MON=90°,試猜想∠ACB(2)如圖②,若∠MON=α,問：當點A，B在射線ON，OM上運動的過程中，∠ACB的度數(shù)是否改變?若不改變，求出其值(用含α的式子表示)：若改變，請說明理由.12.根據(jù)以下探究過程，完成所提出的問題.(1)探究1:如圖1,在VABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,BP與CP相交于點P,若∠A=70°,則∠BPC=_.(2)探究2:如圖2,∠DBC與∠ECB是VABC的兩個外角,BP平分∠DBC,CP平分∠ECB,BP與CP相交于點P，求∠BPC與∠A的數(shù)量關系.(3)拓展:如圖3,∠EBC與∠BCF是四邊形ABCD的兩個外角,BP平分∠EBC,CP平分∠BCF,BP和CP相交于點P,設∠A+∠D=α.①求出∠BPC與α的數(shù)量關系；②根據(jù)α的值的情況，判斷△BPC的形狀(按角分類).13.【問題情景】如圖①，有一塊直角三角板PMN放置在VABC上(P點在VABC內(nèi))，三角板PMN的兩條直角邊PM、PN恰好分別經(jīng)過點B和點C.【特例探究】(1)若∠A=50°,則∠ABC+∠ACB=,∠PBC+∠PCB=,∠ABP+∠ACP=;【類比探究】(2)請猜想∠ABP+∠ACP與∠A的關系,并進行證明;【類比延伸】(3)如圖②，改變直角三角板PMN的放置方式，使點P在VABC外，其兩條直角邊PM，PN分別經(jīng)過點C和點B，(2)中的結論是否仍然成立?若成立，請證明：若不成立，請直接寫出新的結論.14.如圖,在平面直角坐標系中,點A(a,0),B(0,b),且a,b滿足4-a+|b+2|=0,線段AB向上平移k個單位長度得到線段CD.(1)求點A,B的坐標;(2)若點P在x軸上,且S△ABP=5,求滿足條件的點P的坐標；(3)當點F,E分別為線段AB,CD上任意一點時,∠EOF=120°,點G為線段AB與CD之間一點,連接GE,GF,?DEG1315.問題1：如圖，我們將圖1所示的凹四邊形稱為“鏢形”，在“鏢形”圖中，∠AOC與∠A、∠C、∠P的數(shù)量關系為∠AOC=∠A+∠C+∠P.問題2:如圖2,已知AP平分∠BAD,CP平分∠BCD,∠B=28°,∠D=48°,求∠P的大小;小明認為可以利用“鏢形”圖的結論解決上述問題：由問題1結論得:∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC,所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC,即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC;因為∠AOC分別是△OAB,△OCD的外角,所以∠AOC=∠B+∠BAO,∠AOC=.所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D.所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D=所以2∠APC=∠B+∠D.因為∠B=28°,∠D=48°,所以.∠P=_請幫助小明完善上述說理過程，并嘗試解決下列問題(問題1、問題2中得到的結論可以直接使用，不需說答案明理由)；解決問題1：如圖3，已知AP平分△BAD的外角∠FAD,CP平分△BCD的外角∠BCE,猜想∠P與∠B、∠D的關系為什么?(四邊形內(nèi)角和為360°,解決問題2：如圖4，已知直線AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,∠B=64°,∠D=42°,求(人教2024版)數(shù)學八年級上冊專題01三角形目錄A題型建?！ｍ椡黄祁}型一、作圖問題 錯誤！未定義書簽。題型二、三角形三邊關系 4題型三、分類討論思想的應用 7題型四、三角形的面積問題 11題型五、三角形的中線、高和角平分線 19題型六、三角形的折疊問題 2錯誤！未定義書簽。題型七、三角形的內(nèi)角和外角 27題型八、三角形的綜合探究 31B綜合攻堅·能力躍升A 題型建?！ｍ椡黄祁}型一、作圖問題1.小涵求VABC的面積時，作了AB邊上的高，下列作圖正確的是()【答案】D【分析】本題考查畫三角形的高，根據(jù)三角形的高線的定義，作AB邊上的高即過點C向邊AB引垂線，垂足為D即可.【詳解】解：由題意，作圖正確的是：故選D.2.如圖,△ABC中BC邊上的高是()A.BD B.AE C.BE D.CF【答案】答案B【分析】三角形高的定義是：從三角形的一個頂點向?qū)呉咕€，從頂點到垂足之間的線段是三角形的高，據(jù)此可判斷.【詳解】∵BC邊對應的頂點是A,AE⊥BC,∴AE是BC邊上的高.故選:B.3.如圖，在VABC中，關于高的說法正確的是()A.線段AD是BC邊上的高 B.線段BE是AB邊上的高C.線段CF是AC邊上的高 D.線段CF是BC邊上的高【答案】A【分析】本題主要考查了三角形的高的定義.根據(jù)“三角形的一個頂點到對邊的垂線段叫做三角形的高”對各選項分析判斷即可求解.【詳解】解:觀察圖形知AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB,∴線段AD是BC邊上的高，線段BE是AC邊上的高，線段CF是AB邊上的高，觀察四個選項，A選項符合題意.故選:A.4.如圖，在Rt△ABF中，∠F=90°,點C是線段BF上異于點B和點F的一點，連接AC，過點C作CD?ACA.VABC中,AB邊上的高是CE B.VABC中,BC邊上的高是AFC.△ACD中,AC邊上的高是CE D.△ACD中,CD邊上的高是AC【答案】答案C【分析】根據(jù)三角形的高的定義進行判斷即可.【詳解】解:∵過點C作CE⊥AB交AB于點E,∠F=90°,∴△ABC中,AB邊上的高是CE,BC邊上的高是AF,∴A、B兩個選項說法正確，不符合題意；∵CD⊥AC交AB于點D,∴△ACD中,AC邊上的高是CD,CD邊上的高是AC,∴C選項說法錯誤，符合題意；D選項說法正確，不符合題意；故選:C.【點睛】本題考查了三角形的高：從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高.注意：銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點。5.數(shù)學課上同學們用三角板作三角形的高，有四位同學的作法如下，其中正確的是()【答案】D【分析】本題考查了三角形的高的定義，三角形的高的定義是從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點到垂足之間的線段，由此逐項判斷即可得出答案，熟練掌握三角形的高的定義是解此題的關鍵.【詳解】解：A、不滿足三角形的高的定義，故不符合題意；B、不滿足三角形的高的定義，故不符合題意；C、不滿足三角形的高的定義，故不符合題意；D、滿足三角形的高的定義，故符合題意；故選:D.6.如圖,在VABC中,AB邊上的高線是()A.線段AD B.線段AF C.線段BG D.線段CE【答案】D【分析】本題考查的是三角形的高，從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高.據(jù)此解答即可.【詳解】解：A.線段AD是BC邊上的高，故不符合題意；B.線段AF不是任何邊上的高，故不符合題意；C.線段BG是AC邊上的高，故不符合題意；D.線段CE是AB邊上的高，符合題意；故選D.題型二、三角形三邊關系7.若一個三角形的兩邊長分別為3和9，則第三邊長可能是()A.6 B.3 C.2 D.11【答案】D【分析】本題考查了三角形的三邊關系；根據(jù)三角形三邊關系定理，第三邊必須大于兩邊之差且小于兩邊之和.【詳解】解：設第三邊長為x，根據(jù)三角形三邊關系：9-3<x<9+3,即6<x<12.因此，第三邊長可能是11，故選:D.8.如圖，已知點M是直線l上的一點，點O在直線l的上方，以點O為圓心，OM長為半徑畫弧，交直線l于另一點N，若OM=5，則MN的長不可能是()A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D【分析】本題考查三角形三邊關系，關鍵是掌握三角形三邊關系定理；三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊，由此得到0<MN<10，即可得到答案.【詳解】解:連接ON,由三角形三邊關系定理得到5-5<MN<5+5，∴0<MN<10,∴MN的長不可能是10，故選:D.9.為估計池塘兩岸A、B間的距離，如圖，小明在池塘一側選取了一點O，測得(OA=16m,OB=12m,那么AB的距離不可能是()A.5m B.15m C.20m D.30m【答案】答案D【分析】本題主要考查了三角形的三邊關系，根據(jù)三邊關系求出AB的取值范圍是解題的關鍵.首先確定三角形的兩邊是16m，12m，再根據(jù)三角形三邊關系確定AB的取值范圍，判斷即可.【詳解】解:根據(jù)三角形三邊關系得:16-12<AB<16+12,即4<AB<28,所以AB的距離不能是30m，故選:D.10.如圖，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小麗在池塘的一側選取點P，測得PA=20m,PB=15m,那么A，B間的距離可能是()A.40m B.35m C.25m D.5m【答案】C【分析】本題考查三角形三邊關系，關鍵是掌握三角形三邊關系定理，三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊，由此得到，即可得到答案.【詳解】解:由三角形三邊關系定理得到:AP-PB<AB<PA+PB,∴20-15<AB<20+15,∴5<AB<35,∴A,B間的距離可能是25m.故選:C.11.如圖，數(shù)軸上A，B兩點到原點的距離分別是三角形兩邊的長，則該三角形第三邊的長可能是()A.1 B.4 C.7 D.8【答案】答案B【分析】此題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，三角形的三邊關系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。直接利用數(shù)軸得出三角形的兩邊長，進而得出第三邊取值范圍，進而得出答案.【詳解】解：由數(shù)軸可得：A到原點距離為2，B到原點距離為5，∵數(shù)軸上A、B兩點到原點的距離是三角形兩邊的長，∴設該三角形第三邊長為x，則x的取值范圍是:5-2<x<5+2,∴3<x<7.故選:C.12.三根底端對齊的小棒中有一根被擋板遮住了，它們的長度如圖所示，若三根小棒可以圍成三角形，則第三根小棒的長度可以是()A.2 B.3或5 C.4或5 D.6【答案】C【分析】本題考查三角形三邊關系，設第三根小棒的長度是x，根據(jù)題意，可得3<x<17,再由圖中擋板高度進一步確定3<x≤5,結合選項即可得到答案，熟記三角形三邊關系是解決問題的關鍵.【詳解】解：有圖可知，一根小棒的長度為10，一根小棒的長度為7，設第三根小棒的長度是x，若三根小棒可以圍成三角形，則由三角形三邊關系可知10-7<x<10+7,即3<x<17,再由圖中擋板高度為5，則3<x≤5,結合四個選項可知，第三根小棒的長度可以是4或5，故選:C.13.已知三角形的三邊長為3，5，a+1，則化簡∣a-1∣+∣a-9∣的結果為.【答案】答案8【分析】本題考查三角形三邊關系的應用，此類求范圍的問題，實際上就是根據(jù)三角形三邊關系定理列出不等式組，然后解不等式組即可.根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；可得a的取值范圍，進而得到化簡結果.【詳解】解：由三角形三邊關系定理得5-3<a+1<5+3,解得1<a<7.∴|a-1|+|a-9|=a-1+9-a=8.故答案為：814.已知一個三角形的邊長均為整數(shù)，且其中兩條邊長分別3cm和5cm，則第三邊的長度可能是cm.(寫出滿足條件的一個答案即可)【答案】4(答案不唯一)【分析】本題主要考查了三角形的三邊關系，掌握三角形的任意兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊成為解題的關鍵.先根據(jù)三角形三邊關系確定第三邊的取值范圍，然后確定第三邊可能取值即可.【詳解】解：已知三角形兩條邊為3cm和5cm，設第三邊為xcm，則:5-3<x<5+3,即2<x<8,因為邊長為整數(shù)，所以x可以取3、4、5、6、7中任意一個，比如取4.故答案為：4(不唯一).15.若VABC的兩條邊分別長3cm和2cm，第三邊的長是一個奇數(shù)，則第三邊長cm.【答案】3【分析】本題主要考查了三角形三邊的關系，三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，據(jù)此求出第三邊長的取值范圍即可得到答案?！驹斀狻拷?∵VABC的兩條邊分別長3cm和2cm,∴3-2=1cm<第三邊長<3+2=5cm,∵第三邊的長是一個奇數(shù)，∴第三邊長3cm,故答案為：3.16.若三角形的三邊分別為5cm,8cm,(a-2)cm,則a的取值范圍是.【答案】5<a<15【分析】本題主要考查了三角形的三邊關系，掌握三角形中任意兩邊之和大于第三邊、任意兩邊之差小于第三邊成為解題的關鍵。根據(jù)三角形的三邊關系列不等式組求解即可.【詳解】解：∵三角形的三邊分別為5cm,8cm,(a-2)cm,∴8-5<a-2<8+5,即5<a<15.故答案為:5<a<15.題型三、分類討論思想的應用17.等腰三角形兩邊的長分別為3cm和7cm，則這個三角形的第三邊是()A.3cm B.7cm C.10cm D.無法確定【答案】答案B【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關系，掌握知識點的應用是解題的關鍵。分①當7cm為底邊時，第三邊長為3cm和②當3cm為底邊時，第三邊長為7cm兩種情況，分類進行討論即可.【詳解】解：①當7cm為底邊時，第三邊長為3cm，因為3+3<7，故不能構成三角形；②當3cm為底邊時，第三邊長為7cm，因為7-3<7<7+3,故能構成三角形,所以第三邊長為7cm，故選:B.18.如圖，這是一個三角形裁剪后剩余的部分圖形，則原三角形不可能為()A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形【答案】D【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類，會應用三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類求解是解答的關鍵.根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類判斷即可.【詳解】解：等邊三角形的每一個內(nèi)角均為60°，由圖可知該三角形有一個內(nèi)角為40°,故不可能為等邊三故選:D.19.等腰三角形的底邊長為16，則腰長的取值可以為()A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【分析】本題主要考查等腰定義，三角形三邊關系的應用，根據(jù)三角形三邊關系求解即可.【詳解】解:設腰長為x,則x+x>16,∴x>8.故選:D.20.等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為5cm，則該等腰三角形的底邊長為()A.3cm B.5cm C.3cm或5cm D.4cm或5cm【答案】答案C【分析】此題考查了等腰三角形的兩腰相等的性質(zhì)，此題分為兩種情況：5cm是等腰三角形的底邊或5cm是等腰三角形的腰，然后進一步根據(jù)三角形的三邊關系進行分析能否構成三角形，同時注意三角形的三邊關系.【詳解】解：當5cm是等腰三角形的底邊時，則其腰長是(13-5)÷2=4cm，能夠組成三角形；當5cm是等腰三角形的腰時，則其底邊是13-5×2=3cm，能夠組成三角形.故選:C.21.若等腰三角形兩邊長為2cm，4cm，則周長可以是cm.【答案】10【分析】本題考查等腰三角形的定義，三角形的三邊關系，“分類討論”的數(shù)學思想是解題關鍵.分情況討論：腰長為2cm，底為4cm；腰長為4cm，底為2cm，先判斷是否構成三角形，再計算周長即可.【詳解】解:當腰長為2cm,底為4cm,2+2=4,不能構成三角形;當腰長為4cm,底為2cm,周長4+4+2=10cm,故答案為：10.22.已知實數(shù)x，y滿足∣x-3∣+y-7=0,則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是.【答案】17【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義、構成三角形的條件、非負數(shù)的性質(zhì)等知識點，靈活運用相關知識是解題的關鍵.根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到x-3=0，y-7=0則x=3，y=7，再分腰長為3和7兩種情況，根據(jù)構成三角形的條件驗證是否能構成三角形，最后根據(jù)三角形周長計算公式求解即可.【詳解】解：∵∣x-3∣+y-7=0,∴∣x-3∣=y-7=0,∴x=3,y=7,當腰長為3時，則該等腰三角形的三邊長為3，3，7，∵3+3<7,∴此時不能構成三角形，不符合題意；當腰長為7時，則該等腰三角形的三邊長為3，7，7，∵3+7>7,∴此時能構成三角形，符合題意，∴該等腰三角形的周長為：17.故答案為17.23.如果等腰三角形的一邊長是5cm，另一邊長是10cm，那么這個等腰三角形的周長為.【答案】答案25cm/25厘米【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關系，分腰長為5cm和腰長為10cm兩種情況進行討論求解即可.【詳解】解：當腰長為5cm時：5+5=10，不能構成三角形，不符合題意；當腰長為10cm時,5+10>10,能構成三角形,此時三角形的周長為:10+10+5=25cm;故答案為:25cm.24.(1)等腰三角形的兩邊長分別為6cm、13cm,其周長為cm;(2)若等腰三角形的兩條邊長分別為4cm和5cm，則它的周長為cm.【答案】 32 13或14【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵.(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況：①當腰長為6cm時，②當腰長為13cm時，解答出即可.(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分為當腰長為4cm時，腰長為5cm時，解答出即可.【詳解】解：(1)由題意知，應分兩種情況：當腰長為6cm時，三角形三邊長為6，6，13，6+6<13，不能構成三角形；當腰長為13cm時，三角形三邊長為6，13，13，能構成三角形，周長=2×13+6=32(cm),故答案為：32.(2)∵三角形是等腰三角形，兩條邊長分別為4cm和5cm，∴三角形三邊可以是4cm、5cm,4cm或4cm、5cm,5cm,∴三角形的周長為13cm或14cm,故答案為:13或14.25.已知VABC的高AD與AB,AC的夾角分別是50°和20°,則∠BAC的度數(shù)是.【答案】70°或30°【分析】本題主要考查三角形的高的特征.分兩種情況討論求解即可：①當D在線段BC上時，②當D在線段BC的延長線上時.【詳解】解：①當D在線段BC上時，如圖1，∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°②當D在線段BC的延長線上時，如圖2，∠BAC=∠BAD-∠CAD=50°故答案為：70°或326.AD為VABC的中線,AE為VABC的高,△ABD的面積為12，AE=4,CE=2,則DE的長為.【答案】4或8/8或4【分析】本題考查三角形的高、中線和面積，注意高可在三角形的內(nèi)部和外部是解題的關鍵，利用面積法求出BD，即可求得CD，再分AE在VABC內(nèi)部和外部，求出DE即可.【詳解】解:AE為VABC的高,△ABD的面積為12，AE=4,∴12∴BD=24AE∵AD為VABC的中線,∴CD=BD=6,當AE在VABC內(nèi)部時，如圖所示：∵CE=2,DE=CD-CE=6-2=4當AE在VABC外部時，如圖所示：∵CE=2,∴DE=CD+CE=6+2=8;綜上分析可知：DE的長為4或8.故答案為：4或8.題型四、三角形的面積問題27.如圖,在VABC中,D,E,F分別是BC,AD,CE的中點,S△ABC=8cm2,則陰影部分A.1cm2 B.2cm2 C.4cm【答案】答案B【分析】本題主要考查了三角形的面積，三角形中線的性質(zhì)等知識點，根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形，即可得出結果，熟練掌握三角形中線把三角形分成面積相等的兩個三角形是解決此題的關鍵.【詳解】解:∵E是AD的中點,SaABC=8c∴S△ABE∵F是CE的中點,∴S△FBE故選:B.28.如圖,VABC中,點E是BC上的一點,EC=3BE,點D是AC中點，若S△ABC=36,則S△ADF?A.9 B.12 C.18 D.24【答案】A【分析】本題主要考查了三角形的面積計算，本題需先分別求出S△ABD,S△ABE再根據(jù)【詳解】解：∵S△ABC∴SsABE∴S△ADF=18-9=9.故選:A.29.如圖,AD是VABC的中線,CE是△ACD的中線，DF是△DEC的中線，若S△DEF=2,則S△A.16 B.14 C.12 D.10【答案】答案A【分析】根據(jù)三角形中線平分三角形面積進行求解即可.【詳解】解:∵DF是△DEC的中線，∴S△DCF∴S△DBC∵CE是△ACD的中線，∴S±CAE∴S△ACD∵AD是VABC的中線,∴S△ABD∴S△ABC故選:A.【點睛】本題主要考查了三角形中線與三角形的面積關系，關鍵是掌握三角形中線把三角形面積平分.30.如圖,△ABC中，點D是AB邊上的中點，點E是BC邊上的中點，若SABC=12,則圖中陰影部分的面積是()A.6 B.4 C.3 D.2【答案】答案C【分析】作CF?AB交AB于點F，作DG?BC交BC于點G，利用中點的性質(zhì)即可求出△BCD的面積，同理可求出陰影部分面積.【詳解】解：作CF?AB交AB于點F,作DG?BC交BC于點G,∵點D是AB邊上的中點∴BD=12∵點E是BC邊上的中點∴CE=12∴SvCED所以陰影部分的面積為3.故選:C.【點睛】本題考查了和中點有關的三角形的面積，靈活的利用中點的性質(zhì)表示三角形的面積間的關系是解題的關鍵.31.如圖,△ABC中，AD是BC邊上的中線，BE是△ABD中AD邊上的中線，若△ABC的面積是24，則△ABE的面積是()A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)，得△ABE的面積是△ABD的面積的一半，△ABD的面積是△ABC的面積的一半，由此即可解決問題；【詳解】解:∵AD是△ABC的中線，∴S△ABD∵CE是△ABD的中線,∴S△ABE故選:B.【點睛】本題考查三角形的面積，三角形的中線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是掌握三角形的中線把三角形的面積分成了相等的兩部分.32.如圖,D、E是VABC邊AB、BC上的點,AD=BD,BE=2CE,設△ADF的面積為S1,△CEF的面積為S?,若VABC的面積為12,則S1A.1 B.2 C.3 D.不能確定【答案】答案B【分析】本題主要考查了等底同高三角形的面積關系，三角形中線的性質(zhì)，如果兩個三角形等底同高，那么這兩個三角形的面積之比等于對應的底邊之比.先根據(jù)等底同高三角形的面積關系分別求出S△ABE=2S△ACE=23S△ABC【詳解】解：∵BE=2CE,S△ABC∴S△ABE∵AD=BD,∴BD=12∴S△BCD∴S△BCD∴S1故選:B.33.如圖,在VABC中,點D、E分別在BC、AC邊上,E是AC的中點, BC=3BD, BE與AD相交于點F,S△ABE=6,則△ACD的面積為()A.9 B.12 C.8 D.10【答案】答案C【分析】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)，三角形中線平分三角形面積，據(jù)此可得S△ABC=2S△ABE=12,再求出CD=【詳解】解:∵E是AC的中點,S△ABE=6,∴S?ABC∵BC=3BD,即BD=13∴CD=23∴S△ACD=故選:C.34.如圖,在VABC中,E是BC上的一點,EC=2BE,點D是AC的中點,設VABC,△ADF,△BEF的面積分別為SsABC,SsADF,S△BEF,A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【分析】利用三角形面積公式，等高的三角形的面積比等于底邊的比，則S△AEC=23S△ABC=12,S【詳解】解:∵EC=2BE,∴S△∵點D是AC的中點，∴S△∴S△即S△ADF+∴S△故選B.【點睛】本題考查了三角形面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即Sa=1235.如圖,在VABC中,D、E、F分別是BC、AC、AD的中點,若VABC的面積是40,則四邊形BDEF的面積是()A.10 B.12.5 C.15 D.20【答案】答案C【分析】三角形的一條中線把原三角形分成面積相等的兩個小三角形，由此可解.【詳解】解:∵D、E、F分別是BC、AC、AD的中點,∴S△OEF∵D、F分別是BC、AD的中點,∴SoABD∴SoBDF∴四邊形BDEF的面積=SsBDF故選C.【點睛】本題考查三角形中線的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握“三角形的一條中線把原三角形分成面積相等的兩個小三角形”.36.如圖是一塊面積為28cm2的三角形紙板，其中點D，E，F(xiàn)分別是線段AF，BD，EC的中點，則陰影部分的面積是cm^{2},【答案】4【分析】本題考查了三角形面積，熟練掌握三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.根據(jù)每條中線將三角形分為面積相等的兩部分，計算即可得到答案.【詳解】解:連接AE,BF,CD,v點D、E、F分別是線段AF、BD、CE的中點∴AD=DF,BE=ED,EF=FC,S△ADC=S△CDF∴VABC被分為7個面積相同的三角形，中間陰影部分的三角形的面積是VABC的17,所以陰影部分的面積是4c故答案為：4.37.如圖,D、E分別是VABC的邊AB、AC的中點,連接DE、BE,則SoADE:【答案】答案1:2【分析】本題考查三角形中線的判定和性質(zhì)，連接頂點和對邊中點的線段是三角形的中線，中線把三角形面積分成相等的兩個部分：由中線可得△ABE與△BCE面積相等,VADE與VBDE面積相等,即VADE的面積是△BCE面積的12,【詳解】解:∵D、E分別是VABC的邊AB、AC的中點,∴BE是VABC的中線,ED是△ABE的中線，?SVABE\SvaDC故答案為：1：2題型五、三角形的中線、高和角平分線38.如圖,在VABC中,∠C=90°,D,E是AC上兩點,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列說法中A.BE是△ABD的中線 B.BD是△BCE的角平分線C.∠1=∠2=∠3 D.BC是△BCE的高【答案】答案C【分析】本題考查三角形的高線，三角形的角平分線定義，三角形的中線等知識點，能熟記知識點的內(nèi)容是解此題的關鍵，利用已知條件和三角形中線即可判斷出A選項的正誤；利用已知條件和角平分線的定義即可判斷出B選項的正誤；利用角平分線的性質(zhì)只能得到∠2=∠3,但沒有辦法得到∠1=∠2=∠3,可判斷出C選項錯誤；由三角形的高線的定義，可判斷D.【詳解】解:∵AE=DE,即點E為AD中點,∴BE是△ABD的中線，故A正確，不符合題意；∵BD平分∠EBC,∴BD是△BCE的角平分線，故B正確，不符合題意；∵BD平分∠EBC,∴∠2=∠3.∵AE=DE,AB>BD,∴∠2≠∠1,故C錯誤,符合題意;∵∠C=90°,即BC⊥CE,∴BC是△BCE的高，故D正確，不符合題意.故選C.39.已知命題：“三角形三條高線的交點一定在三角形的內(nèi)部.”琪琪想舉一反例說明它是假命題，則下列選項中符合要求的反例是()A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.等邊三角形 D.任意三角形【答案】B【分析】本題考查了舉反例證明命題是假命題，根據(jù)鈍角三角形的三條高線所在直線的交點在三角形的外部進行判斷即可求解，熟練掌握知識點是解題的關鍵.【詳解】解：A、銳角三角形三條高線的交點在三角形的內(nèi)部，不在外部，不符合反例要求；B、鈍角三角形三條高線的交點在三角形外部，符合反例要求；C、等邊三角形三條高線的交點在三角形的內(nèi)部，不在外部，不符合反例要求；D、任意三角形三條高線的交點為可能為直角頂點或在三角形外部或在三角形的內(nèi)部，不符合反例要求；故選:B.40.如圖,三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點D，若∠AB=5,AC=3,BC=4，則點C到直線A.125 B.3 C.4 D.5【答案】答案A【分析】本題考查的是點到直線的距離，等面積法的應用，先求解S△ABC=12×3×4=6,結合【詳解】解:在VABC中,∠ACB=90°,根據(jù)三角形面積公式S=∴S△ABC∵AC=3,BC=4,∴SΔABC∵CD⊥AB,∴S△ABC∴12解得CD=125∴點C到直線AB的距離是125.故選:A.41.在VABC中,AD是中線,△ACD與△ABD的周長差為7.若AB=5,則AC=()A.10 B.12 C.14 D.15【答案】答案B【分析】本題考查的是三角形的中線，三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線.根據(jù)三角形的中線的概念得到BD=DC，再根據(jù)三角形的周長公式計算即可.【詳解】解:∵AD是△ABC的中線,∴BD=DC,∵△ACD與△ABD的周長差為7,∴(AC+DC+AD)-(AB+BD+AD)=7,∴AC-AB=7.∵AB=5,∴AC=12,故選:B.42.已知BD是VABC的中線,若△ABD與△BCD的周長分別為21,12,則AB=BC=.【答案】9【分析】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，熟練掌握三角形的中線的性質(zhì)，利用數(shù)形結合的思想解決問題是解題的關鍵.證明AD=CD，進一步計算周長差即可.【詳解】解：如圖：QBD是VABC的中線,∴AD=CD,∵△ABD與△BCD的周長分別為21,12,\AB+BD+AD=21①,BC+BD+CD=12②,①-②得:AB-BC=9,故答案為：9.43.如圖,在VABC中,BD⊥AC于點D,AE平分∠BAC,交BD于點F,∠ABC=90°,求證:∠BEF=∠BFE.【答案】見解析【分析】本題考查了角平分線的定義，與高有關的計算題，對頂角相等，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵.根據(jù)角平分線的定義,得∠BAE=∠CAE,結合BD⊥AC,∠ABC=90°,故∠BEF=∠AFD,最后根據(jù)對頂角相等,則∠BEF=∠BFE.【詳解】證明:∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE.∵BD⊥AC,∴∠ADB=90°,∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠BEF=∠CAE+∠AFD=90°,∴∠BEF=∠AFD.∵∠BFE=∠AFD,∴∠BEF=∠BFE.44.如圖,在VABC中,AD是BC邊上的中線,△ADC的周長比△ABD的周長多5cm,VABC的周長為50cm,且BC=17cm,求AC的長.【答案】答案AC的長為19cm【分析】本題考查了三角形的中線三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線，以及構造二元一次方程組解決問題.根據(jù)中線的定義得到BD=CD，再根據(jù)周長之差化簡可得AC-AB=5cm，結合已知計算即可，然后根據(jù)VABC的周長為50cm,且BC=17cm,得到AC+AB+17=50,再構造二元一次方程組求解即可.【詳解】解：∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD,∵△ADC的周長比△ABD的周長多5cm,∴AC+AD+CD-AB-AD-BD=AC-AB=5cm,答案∵VABC的周長為50cm,且BC=17cm,∴AC+AB+17=50,∴{AC?AB=5解得：{AC=19AB=14∴AC的長為19cm.45.在VABC中:(1)如圖,若∠A=60°,AB,AC邊上的高CE,BD交于點O.求∠BOC的度數(shù);(2)若∠A為鈍角，AB，AC邊上的高CE，BD所在直線交于點O，畫出圖形，并用量角器量一量，可知∠BAC+∠BOC=，用你已學過的數(shù)學知識加以說明：(3)由(1)(2)可以得到什么結論，嘗試寫出來.【答案】(1)120°;(2)畫圖見解析;180°;說明見解析：(3)無論∠A是銳角還是鈍角，總有【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、垂線的定義、三角形外角的定義及性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.(1)由垂線的定義得出∠ADB=∠BEC=90°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠ABD=30°，再根據(jù)三角形外角的定義及性質(zhì)即可得出答案；(2)由垂線的定義得出∠ADB=∠BEO=90°,再由三角形內(nèi)角和定理得出∠BOC=90°-∠ABD,由三角形外角的定義及性質(zhì)得出∠BAC=90°+∠ABD,即可得解:(3)根據(jù)(1)、(2)直接得出結論即可.【詳解】(1)解:∵AB,AC邊上的高CE,BD交于點O.∴∠ADB=∠BEC=90°,∵∠BAD=60°,∴∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD=30°,∴∠BOC=∠ABD+∠BEC=120°;(2)如圖所示：∠BAC+∠BOC=180°,理由如下：答案∵AB,AC邊上的高CE,BD所在直線交于點O,∴∠ADB=∠BEO=90°∵∠B(OC=180°-∠BEO-∠ABD=18∴∠BAC+∠BOC=90°(3)由(1)(2)可以得到結論：無論∠A是銳角還是鈍角，總有∠BAC+∠BOC=180°題型六、三角形的折疊問題46.如圖，將直角三角形紙片ABC的直角C沿EF折疊，點C落在紙片內(nèi)部的點P處.如果?FEP48?，則∠BFP的度數(shù)是()A.42° B.48° C.84° D.96°【答案】D【分析】本題考查的是三角形的折疊問題，注意折疊前后的兩個圖形完全重合，由折疊可得：∠P=∠C=90°,?FEP?FEC48?,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠CFE=∠PFE=90【詳解】解:∵!PEF由△CEF翻折得到,∠C=90°,∴∠P=∠C=90°,?FEP?FEC48?,∴∠CFE=∠PFE=90°∴∠BFP=180°故選:D.47.如圖,在△ABC中,∠A=28°,∠ACB=100°,點D在邊AB上,將VABC沿CD折疊,使點B落在AC邊上的點B'處，則∠ADB'的度數(shù)為.【答案】24°/24度【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，解題的關鍵是靈活運用所學知識進行倒角，屬于中考?？碱}型.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠B=52°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠DB'C=52°，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解.【詳解】解:∵∠A=28°,∠ACB=100°,∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-28°-100°=52°,∵△CDB沿CD折疊得到△CDB',∴∠DB'C=∠B=52°,∵∠DB'C是△ADB'的一個外角,∴∠ADB=∠DB'C=∠A=52°-28°=24°.故答案為:24°.48.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=52°,D、E分別在AB、AC上,將VADE沿DE折疊得VFDE,且滿足EF∥AB,則∠EDF=.【答案】71°/71【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，圖形的折疊，平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì).先求出∠A=38°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠EDF=∠EDA,∠DEF=∠DEA,由平行線的性質(zhì)得到∠CEF=∠A=38°,∠EDA=∠DEF,推出∠EDF=∠EDA=∠DEF,然后根據(jù)平角的定義得∠CEF+∠DEF+∠DEA=180°,據(jù)此求解即可.【詳解】解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=52°,∴∠A=180°-(∠C+∠B)=180°-(90°+52°)=38°,由折疊的性質(zhì)得:∠EDF=∠EDA,∠DEF=∠DEA,∵EF∥AB,∴∠CEF=∠A=38°,∠EDA=∠DEF,∴∠EDF=∠EDA=∠DEF,∵∠CEF+∠DEF+∠DEA=180°,∴38°+2∠DEF=180°,∴∠DEF=71°,∴∠EDF=71°.故答案為：71°49.如圖,把三角形紙片ABC折疊,使得點B,點C都與點A重合,折痕分別為DE,MN,若∠BAC=100°,則∠DAM=度.心【答案】答案20【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和，以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關鍵.根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠B+∠C=180°-∠BAC=80°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠BAD=∠B,∠CAM=∠C,即可求解.【詳解】解:∵∠BAC=100°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=80°,∵三角形紙片ABC折疊，使得點B、C都與點A重合，∴∠BAD=∠B,∠CAM=∠C,∴∠BAD+∠CAM=∠B+∠C=80°,∴∠DAM=∠BAC-(∠BAD+∠CAM)=100°-80°=20°,故答案為：20.50.如圖所示，在數(shù)學拓展課上，小聰將直角三角形紙片ABC(∠A=25°，∠B=65°)沿DE向上折疊，點A落在點A'處,當DA'∥BC時,∠DEC=度.【答案】57.5【分析】本題考查三角形中求角度，涉及平行線性質(zhì)、折疊性質(zhì)、外角性質(zhì)等知識，熟練掌握三角形中求角度的方法是解決問題的關鍵.先由平行線得到∠ADA'=∠B=65°，再由折疊性質(zhì)得到∠ADE=∠A'DE=【詳解】解:∵DA'∥BC,∴∠ADA'由折疊的性質(zhì)可得：∠ADE=∠A'∴∠ADE=12∵∠DEC是VADE的外角,∴∠DEC=∠A+∠ADE=25°故答案為:57.5.題型七、三角形的內(nèi)角和外角51.在“三角形拼角”實驗中，明明把一副三角尺按如圖所示的方式放置，則∠α=()A.65° B.70° C.75° D.80°【答案】答案C【分析】本題主要考查了三角形的外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可求解.【詳解】解： ∠α=30°故選:C.52.如圖,在VABC中,D是AB上一點.連接CD.則∠1,∠2,∠3的大小關系是()A.∠1<∠2<∠3 B.∠1<∠3<∠2C.?3?2?1 D.∠2<∠1<∠3【答案】D【分析】此題考查三角形的外角問題，關鍵是根據(jù)三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角解答.根據(jù)三角形的外角性質(zhì)進行解答即可.【詳解】解:因為∠1=∠2+∠DCB,所以∠1>∠2,因為∠3=∠1+∠ACD,所以∠3>∠1,所以∠3>∠1>∠2,即∠2<∠1<∠3,故選:答案D.53.如圖,∠1的大小等于()A.40° B.50° C.60° D.70°【答案】D【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，據(jù)此即可解答.【詳解】解:∵∠1+60°=130°,∴∠1=70°,故選:D.54.如圖,從A處觀測C處的仰角∠CAD=30°,從B處觀測C處的仰角∠CBD=55°,從C處觀測A,B兩處的視角∠ACB的度數(shù)是()A.20° B.25° C.30° D.35°【答案】B【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理。根據(jù)平角的定義得到∠CBA=125°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和計算即可.【詳解】解:∵∠CBD=55°∴∠CBA=125°,∵∠CAD=30°,∴∠ACB=180°-∠CBA-∠CAD=180°-125°-30°=25°,故選:B.55.一把直尺與一塊三角板如圖放置，若∠1=43°，則∠2的度數(shù)為()A.123° B.127° C.133° D.137°【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，準確識圖是解題的關鍵.根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠4，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等求解即可.【詳解】解：如圖，∵∠1=43°,∴∠4=∠1+90°=43°+90°=133°.∵直尺的兩邊互相平行，∴∠2=∠4=133°,故選:C.56.如圖,已知直線a∥b,∠1=120°,∠2=62°,則∠3的度數(shù)為().A.58° B.60° C.55° D.68°【答案】答案A【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識點，掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關鍵.先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠CAD的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)求解即可.【詳解】解:∵∠1=120°,∠2=62°,∴∠CAD=120°-62°=58°,∵a∥b,∴∠3=∠CAD=58°.故選:A.57.如圖，在VABC中，D是BA延長線上一點，∠CAD的平分線與∠CBD的平分線相交于點E.當∠E+∠C=60°,∠EBA=25°時,∠CAD的度數(shù)為.【答案】90°/90度【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義，根據(jù)角平分線的定義和外角的性質(zhì)∠C=2∠E，得∠C的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠CAD的度數(shù).【詳解】解:∵AE平分∠CAD,BE平分∠CBD,∴∠CAD=2∠EAD,∠CBD=2∠EBA=50°,∴∠C=∠CAD-∠CBD=2∠EAD-2∠EBA=2(∠EAD-∠EBA)=2∠E,∵∠E+∠C=60°,∴∠E=20°,∠C=40°,∵∠EBA=25°,∴∠CBD=50°,∴∠CAD=∠C+∠CBD=40°+50°=90°.故答案為:90°.58.如圖,將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上,∠1=30°,∠2=50°,則∠3=°.【答案】答案20【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì).如圖，由平行線的性質(zhì)可求得∠4，結合三角形外角的性質(zhì)可求得∠3.【詳解】解：如圖，∵a∥b,∴∠4=∠2=50°,又∵∠4=∠1+∠3,∴∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°.故答案為：20.題型八、三角形的綜合探究59.已知三角形的三邊長分別為3，8，a。(1)求a的取值范圍：(2)若a為偶數(shù)，則組成的三角形的周長最小是多少?【答案】答案(1)5<a<11(2)17【分析】此題考查了三角形三邊關系的應用，三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，據(jù)此進行解答即可.(1)根據(jù)三角形的三邊關系即可得到答案；(2)由(1)中求得的范圍并根據(jù)a為偶數(shù)即可得到a的值，再根據(jù)三角形的周長最小即可求出答案?！驹斀狻?1)解:由題意可得,8-3<a<8+3即5<a<11則a的取值范圍為5<a<11;(2)由(1)得5<a<11∵a為偶數(shù)∴a為6,8,10∵要組成三角形的周長最小，∴a只能為6,∴三角形的周長最小為3+6+8=17.則三角形的周長最小為1760.(1)已知△ABC的三邊長分別為a,b,c.化簡:|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|;(2)一個等腰三角形的周長為25cm，一邊長為5cm，求另兩邊的長.【答案】(1)-a+3b-c(2)10cm,10cm【分析】本題考查三角形三邊關系，整式的加減，等腰三角形的定義，掌握分類討論是解題的關鍵.(1)先根據(jù)三角形三邊關系得到a-b-c<0,b-c-a<0,a+b-c>0,然后去絕對值合并解題即可;(2)分為5是腰長和5是底邊長兩種情況分別計算，然后根據(jù)三角形三邊關系將不合題意的解舍去.【詳解】(1)解:∵△ABC的三邊長分別為a,b,c,∴a-b-c<0,b-c-a<0,a+b-c>0,∴|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|=-(a-b-c)+(b-c-a)+(a+b-c)=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b-c;(2)當5是腰長時,底邊是25-2×5=15cm,則5,5,15不能構成三角形;當5是底邊長時,則腰的長為:(25-5)÷2=10cm,則另外兩邊是10cm,10cm.61.如圖,VABC中,∠B=20°,∠C=60°,點D為邊BC上一點,將△ABD沿直線AD折疊后,點B落到點處,恰有B'D∥AC,求∠ADC的度數(shù).B′【答案】答案∠ADC=60°.【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BAC=100°,由折疊的性質(zhì)可得∠B'=∠B=20°,∠BAD=∠B'AD,則由平行線的性質(zhì)得到∠CAB'=∠B'=20°,進而得到∠BAB'=∠BAC-∠CAB'=80°,則∠BAD=12∠BAB【詳解】解:∵∠B=20°,∠C=60°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°,由折疊的性質(zhì)可得∠B'=∠B=20°,∠BAD=∠B'AD,∵BD∥AC,∴∠CAB'=∠B'=20°,∴∠BAB'=∠BAC=∠CAB'=80°,∴∠BAD=∠B'∴∠ADC=∠BAD+∠B=60°.62.如圖,在VABC中,BD平分∠ABC交AC于點D,點E在AB邊上,連接DE,已知∠EBD=∠EDB.(1)請說明:DE∥BC;(2)若BD⊥AC,∠ADE=70°,求∠BED的度數(shù).【答案】(1)見解析:(2)140°.【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，解題的關鍵是通過角的等量關系推導線線平行，并利用垂直關系和角度和差計算角度.(1)利用角平分線得角相等，結合已知角相等推出內(nèi)錯角相等，證明平行.(2)由垂直得直角，結合已知角度求∠EDB，再用三角形內(nèi)角和求∠BED.【詳解】答案(1)證明:QBD平分∠ABC,∴∠CBD=∠DBE,∵∠EBD=∠EDB,∴∠CBD=∠EDB.∴DE∥BC;(2)∵BD⊥AC,∴∠ADB=90°,∵∠ADE=70°,∴∠EDB=20°,∵∠EBD=∠EDB,∴∠EBD=20°,∵∠EBD+∠EDB+∠BED=180°,∴∠BED=180°-∠EDB-∠EBD=140°.63.如圖,在VABC中,P是線段BC上的一個動點,且不與B,C重合,PD⊥AB,PE⊥AC.(1)已知∠BAC=80°,∠B=∠C.①∠DPE=;②若∠APB=3∠PAC,則∠APD=;(2)如圖②,已知AB=AC,作BF⊥AC,試探究BF,PE,PD之間的關系.【答案】(1)①100°:②35°(2)BF=PD+PE,理由見解析【分析】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應用，等面積法的應用；(1)①先求解∠B=∠C=1218②設∠PAC=x,則∠APB=3∠PAC=3x,可得∠BAP=80°-x,再結合三角形的內(nèi)角和定理可得答案;(2)由等面積法可得12AC?BF=1【詳解】(1)解:①∵∠BAC=80°,∠B=∠C,∴∠B=∠C=12∵PD⊥AB,PE⊥AC,∴∠BPD=90°-50°=40°=∠CPE,∴∠DPE=180°-2×40°=100°;②∵∠APB=3∠PAC,設∠PAC=x,則∠APB=3∠PAC=3x,∵∠BAC=80°,∴∠BAP=80°-x,∵∠B=∠C=50°,∴80-x+50+3x=180,解得:x=25.∴∠PAC=25°,∠APB=75°,∵∠BPD=40°,∴∠APD=75°-40°=35°;(2)解:BF=PD+PE,理由見解析;∵PD⊥AB,PE⊥AC,BF⊥AC,∴S△ABC∵AB=AC,∴12∴BF=PD+PE.B綜合攻堅·能力躍升1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，若中線BD將該三角形的周長分為5和3兩個部分，則該等腰三角形的底邊長為()A.43 B.4 C.43或4 【答案】A【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，三角形中線的定義，三角形的三邊關系，掌握三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題關鍵.設腰長AB=AC=x，底邊長BC=y，結合三角形中線的定義，列二元一次方程組，求出x、y的值，再根據(jù)三角形的三邊關系檢驗即可.【詳解】解:設腰長AB=AC=x,底邊長BC=y,QBD是中線,∴AD=CD=12答案∵中線BD將該三角形的周長分為5和3兩個部分，∴{AB+AD=5BC+CD=3{∴{x+12解得：{x=103y=4當?shù)妊切蜛BC腰長為43103,43103,103+時，底邊長為可以組成三角形：當?shù)妊切蜛BC腰長為2，底邊長為4時，2+2=4，不可以組成三角形；∴該等腰三角形的底邊長為43,故選:A.2.如圖,分別延長VABC的邊AB,BC,CA,使得BD=AB,CE=2BC,AF=2AC.若VABC的面積為1，則△DEF的面積為()A.14 B.12 C.11 D.10【答案】A【分析】本題考查三角形面積及等積變換的知識，注意高相等時三角形的面積與底成正比的關系，并在實際問題中的靈活應用，有一定難度.連接AE和CD，要求△DEF的面積，可以分成△FCD,△FCE,△DCE三部分來分別計算，VABC是一個重要的條件，抓住圖形中與它同高的三角形進行分析計算，即可解得△DEF的面積.【詳解】解:連接AE和CD,∵BD=AB,∴S△ABC∵AF=2AC,∴FC=3AC,∴S△FCD∵CE=2BC∴S△ACE則S△FCE=3S△DCE=2∴S△DE