機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模分析概述目錄TOC\o"1-3"\h\u2012機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模分析概述 1197051.1動(dòng)力學(xué)建模 1202431.2平面二自由度剛性機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型 4動(dòng)力學(xué)建模本章將根據(jù)機(jī)器人機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)，使用Euler-Lagrange方法建立N關(guān)節(jié)剛性機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型[3]，并以二自由度剛性機(jī)器人為例給出具體動(dòng)力學(xué)模型，即推導(dǎo)出剛性平面雙關(guān)節(jié)型機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程是機(jī)器人機(jī)構(gòu)的力和運(yùn)動(dòng)之間關(guān)系的描述。用一個(gè)函數(shù)表示就是：μ=f機(jī)器人機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程一般有Newton-Euler和Euler-Lagrange兩種方法來(lái)求解，由于Newton-Euler采用的構(gòu)造方法異常繁瑣，并且它依賴于空間坐標(biāo)系，我們難以得到其通用解析解。在實(shí)際中，Newton-Euler方法得到的動(dòng)力學(xué)方程迭代公式在某些需要數(shù)值計(jì)算的時(shí)候得以應(yīng)用。而采用Euler-Lagrange方法由于采用廣義坐標(biāo)的形式不依賴與空間坐標(biāo)系，此外這種方法也不涉及系統(tǒng)內(nèi)部的約束力分析。因此針對(duì)復(fù)雜的N關(guān)節(jié)機(jī)器人機(jī)械臂系統(tǒng)，我們可以看到使用Euler-Lagrange方法是更為方便的，得到的動(dòng)力學(xué)方程也更加簡(jiǎn)潔優(yōu)美，這也是后續(xù)提出的機(jī)器人機(jī)械臂控制方法的基礎(chǔ)。歷史上，Euler-Lagrange方程的推導(dǎo)過(guò)程是這樣的。從牛頓力學(xué)和虛功原理出發(fā)推導(dǎo)出D’Alembert’s原理，Lagrange又從這一原理經(jīng)過(guò)一些數(shù)學(xué)推導(dǎo)才得到了我們熟悉的Euler-Lagrange運(yùn)動(dòng)方程。要采用Euler-Lagrange方法，其中涉及到的一些數(shù)學(xué)原理、物理定義是無(wú)法避免的，為了后續(xù)的推導(dǎo)，我們必須先對(duì)這些數(shù)學(xué)原理、物理定義進(jìn)行闡述。廣義坐標(biāo)是用來(lái)描述系統(tǒng)位形所需要的獨(dú)立參數(shù)，或者最少參數(shù)。它是能夠唯一確定質(zhì)點(diǎn)系可能位置的獨(dú)立參數(shù)。當(dāng)一個(gè)廣義坐標(biāo)發(fā)生變化時(shí)，外力將對(duì)系統(tǒng)做功。某一系統(tǒng)發(fā)生與其約束相適應(yīng)的任意假想位移時(shí)，這個(gè)位移叫虛位移，外力使系統(tǒng)中物體產(chǎn)生虛位移所做的功稱為虛功。廣義力定義為有勢(shì)力為勢(shì)能對(duì)廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)的相反數(shù)（負(fù)梯度），大小等于虛功對(duì)廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)。廣義力的量綱由與其對(duì)應(yīng)的虛位移的乘積為功所確定。有了以上的基礎(chǔ)，現(xiàn)在我們考慮一個(gè)N關(guān)節(jié)剛性機(jī)器人的Lagrange方程d其中，L=K?P是Lagrange算子，定義為系統(tǒng)動(dòng)能與勢(shì)能之差；關(guān)節(jié)角度qi當(dāng)做系統(tǒng)廣義坐標(biāo)算子；系統(tǒng)廣義力為μ可以看到如果我們要求解這一方程，我們可以按照這樣的步驟來(lái)進(jìn)行。即先求解機(jī)械臂系統(tǒng)的K，再求解機(jī)械臂系統(tǒng)的勢(shì)能P，然后求解Lagrange算子對(duì)廣義速度的偏導(dǎo)數(shù)及對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)ddt?L?我們知道剛體的動(dòng)能表示為平動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和。K=I是剛體的慣性張量，v表示連桿的線速度，ω表示連桿的角速度。我們利用雅克比矩陣和關(guān)節(jié)速度來(lái)表示連桿的線速度與角速度，有v如果假設(shè)連桿i的質(zhì)量為mi，其慣性矩陣為IK=其中求和部分可以定義為機(jī)械臂的質(zhì)量矩陣MM=那么我們就得到了機(jī)器人機(jī)械臂的總動(dòng)能K=現(xiàn)在我們考慮機(jī)器人機(jī)械臂的勢(shì)能項(xiàng)，我們知道剛體的勢(shì)能僅僅受到重力的影響。假設(shè)機(jī)械臂每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在質(zhì)心處，那么第i個(gè)連桿的勢(shì)能可以被表示為P其中g(shù)是慣性坐標(biāo)系的重力向量，rci是連桿i因此機(jī)器人機(jī)械臂的總勢(shì)能可以被表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)，并且僅僅與之有關(guān)。P求解Lagrange算子L=K?P=從質(zhì)量矩陣的定義我們知道M是對(duì)稱正定矩陣，并且動(dòng)能是廣義速度的二次型函數(shù)，那么動(dòng)能可以被表示成如下形式K=其中，dij是質(zhì)量矩陣中的元素，q∈把得到的Lagrange算子L=代入Lagrange方程d計(jì)算Lagrange算子對(duì)第k個(gè)關(guān)節(jié)速度的偏導(dǎo)數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)我們得到d同樣地，求解計(jì)算Lagrange算子對(duì)第k個(gè)關(guān)節(jié)位置的偏導(dǎo)數(shù)?因此對(duì)于每一個(gè)關(guān)節(jié)k=1,2,…,n，Lagrange方程可以被表示成j我們利用對(duì)稱性質(zhì)并改變求和順序從而有i,j定義Christoffel符號(hào)為c最后，如果把?P?qi一般的，可以把它表示成下列形式M這就是N關(guān)節(jié)剛性機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。其中，M(q)是機(jī)器人的慣性矩陣，C(q,q)表示哥氏力和離心力，并且，該系統(tǒng)還具有如下的動(dòng)力學(xué)特性[15]：特性1：Mq特性2：慣性矩陣Mq是對(duì)稱正定矩陣，存在正常數(shù)n1,特性3：對(duì)任意q,x,y∈Rn，存在一個(gè)正常數(shù)α，使得平面二自由度剛性機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型下面我們以平面二自由度剛性機(jī)器人為例給出具體動(dòng)力學(xué)模型，也即對(duì)平面剛性雙關(guān)節(jié)型機(jī)械臂進(jìn)行建模。圖3-1二自由度剛性關(guān)節(jié)型機(jī)械臂示意圖圖3-1中的各參數(shù)定義如下，q1,q2表示各關(guān)節(jié)在工作空間中的角位置，l1,l2表示連桿1和連桿2的長(zhǎng)度，m1,m那么第i個(gè)連桿的動(dòng)能Ki、,KPKP式中，PC1和PC2分別表示連桿1和連桿2在平面直角坐標(biāo)系下的位置矢量，系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)可表示為L(zhǎng)=則系統(tǒng)的拉格朗日方程為d其中，μ1和