2025年黑龍江省部分重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若．則（）A. B.C. D.2．為調(diào)查參加考試的高二級(jí)1200名學(xué)生的成績(jī)情況，從中抽查了100名學(xué)生的成績(jī)，就這個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，下列說(shuō)法正確的是（）A.1200名學(xué)生是總體 B.每個(gè)學(xué)生是個(gè)體C.樣本容量是100 D.抽取的100名學(xué)生是樣本3．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A.i B.-iC.1 D.-14．設(shè)，為雙曲線(xiàn)的上，下兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)l交該雙曲線(xiàn)的下支于A，B兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.5．設(shè)變量，滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.6C.10 D.136．若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則a=（）A.-2 B.0C.0或-2 D.17．為迎接2022年冬奧會(huì)，某校在體育冰球課上加強(qiáng)冰球射門(mén)訓(xùn)練，現(xiàn)從甲、乙兩隊(duì)中各選出5名球員，并分別將他們依次編號(hào)為1，2，3，4，5進(jìn)行射門(mén)訓(xùn)練，他們的進(jìn)球次數(shù)如折線(xiàn)圖所示，則在這次訓(xùn)練中以下說(shuō)法正確的是（）A.甲隊(duì)球員進(jìn)球的中位數(shù)比乙隊(duì)大 B.乙隊(duì)球員進(jìn)球的中位數(shù)比甲隊(duì)大C.乙隊(duì)球員進(jìn)球水平比甲隊(duì)穩(wěn)定 D.甲隊(duì)球員進(jìn)球數(shù)的極差比乙隊(duì)小8．設(shè)，，且，則等于（）A. B.C. D.9．圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.10．函數(shù)的定義域?yàn)?，，?duì)任意，，則的解集為（）A. B.C. D.11．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.250 B.210C.160 D.9012．某校初一有500名學(xué)生，為了培養(yǎng)學(xué)生良好的閱讀習(xí)慣，學(xué)校要求他們從四大名著中選一本閱讀，其中有200人選《三國(guó)演義》，125人選《水滸傳》，125人選《西游記》，50人選《紅樓夢(mèng)》，若采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取40名學(xué)生分享他們的讀后感，則選《西游記》的學(xué)生抽取的人數(shù)為（）A.5 B.10C.12 D.15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記為等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若，，則=_________.14．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)l與C的兩條漸近線(xiàn)分別交于A，B兩點(diǎn)．若，且的內(nèi)切圓的半徑為，則C的離心率為_(kāi)___________15．已知函數(shù)，則______16．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）求適合下列條件的圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在軸上，一個(gè)焦點(diǎn)在直線(xiàn)上的等軸雙曲線(xiàn)；（2）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，且它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)；（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)拋物線(xiàn)18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)的交點(diǎn)為P，，的斜率均存在且乘積為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Р的軌跡為曲線(xiàn)C.（1）求曲線(xiàn)C的方程;（2）若點(diǎn)M在曲線(xiàn)C上，過(guò)點(diǎn)M且垂直于OM的直線(xiàn)交C于另一點(diǎn)N，點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q.直線(xiàn)NQ交x軸于點(diǎn)T，求的最大值.19．（12分）已知（1）若函數(shù)在上有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）已知方程有兩個(gè)不等實(shí)根，證明：（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）20．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；（2）求的值.21．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為8.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓分別交于點(diǎn)、（點(diǎn)不在直線(xiàn)上），求面積的最大值.22．（10分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，S9=81，，求：（1）Sn；（2）若S3、、Sk成等比數(shù)列，求k

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得.故選：C.2、C【解析】根據(jù)總體、個(gè)體、樣本容量、樣本的定義，結(jié)合題意，即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意，總體是名學(xué)生的成績(jī)；個(gè)體是每個(gè)學(xué)生的成績(jī)；樣本容量是，樣本是抽取的100名學(xué)生的成績(jī)；故正確的是C.故選：C.3、C【解析】先通過(guò)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z，進(jìn)而求出虛部.【詳解】由題意，，則z的虛部為1.故選：C.4、A【解析】設(shè)，表示出，由勾股定理列式計(jì)算得，然后在，再由勾股定理列式，計(jì)算離心率.【詳解】由題意得，，且，如圖所示，設(shè)，由雙曲線(xiàn)的定義可得，，因?yàn)?，所以，得，所以，在中，，?故選：A【點(diǎn)睛】雙曲線(xiàn)的離心率是雙曲線(xiàn)最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線(xiàn)的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)5、C【解析】畫(huà)出約束條件表示的平面區(qū)域，將變形為，可得需要截距最小，觀察圖象，可得過(guò)點(diǎn)時(shí)截距最小，求出點(diǎn)A坐標(biāo)，代入目標(biāo)式即可.【詳解】解：畫(huà)出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分：又，即，要取最大值，則在軸上截距要最小，觀察圖象可得過(guò)點(diǎn)時(shí)截距最小，由，得，則.故選：C.6、C【解析】代入兩直線(xiàn)垂直的公式，即可求解.【詳解】因?yàn)閮芍本€(xiàn)垂直，所以，解得：或.故選：C7、C【解析】根據(jù)折線(xiàn)圖，求出甲乙中位數(shù)、平均數(shù)及方差、極差，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題圖，甲隊(duì)數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，乙?duì)數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，所以甲乙兩?duì)的平均數(shù)都為5，甲、乙進(jìn)球中位數(shù)相同都為5，A、B錯(cuò)誤；甲隊(duì)方差為，乙隊(duì)方差為，即，故乙隊(duì)球員進(jìn)球水平比甲隊(duì)穩(wěn)定，C正確.甲隊(duì)極差為6，乙隊(duì)極差為4，故甲隊(duì)極差比乙隊(duì)大，D錯(cuò)誤.故選：C8、A【解析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由已知可得，解得.故選：A.9、D【解析】先根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓的圓心和半徑，求出圓心關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，進(jìn)而寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，且關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，所以所求圓的圓心為、半徑為，即所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.10、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】依題意可設(shè)，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?所以要使，即，只需要，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵就是利用導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)來(lái)解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.11、B【解析】設(shè)為等比數(shù)列，由此利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和為能求出結(jié)果【詳解】設(shè)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，解得故選：B12、B【解析】根據(jù)分層抽樣的方法，列出方程，即可求解.【詳解】根據(jù)分層抽樣的方法，可得選《西游記》的學(xué)生抽取的人數(shù)為故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、18【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以故答案為：1814、##【解析】，作出漸近線(xiàn)圖像，由題可知的內(nèi)切圓圓心在x軸上，過(guò)內(nèi)心作OA和AB的垂線(xiàn)，可得幾何關(guān)系，據(jù)此即可求解.【詳解】雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)OA與OB如圖所示，OA與OB關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)△OAB的內(nèi)切圓圓心為，則M在的平分線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)于，由，則四邊形為正方形，由焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為得，又，∴，且，∴，∴，則.故答案為：.15、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解即可【詳解】由，得，所以，故答案為：16、4【解析】設(shè)，寫(xiě)出、的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有，根據(jù)橢圓的有界性即可求的最大值.【詳解】由題意知：，，若，∴，，∴，而，則，而，∴當(dāng)時(shí)，.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及橢圓的有界性求最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）（3）或【解析】（1）由已知求得，再由等軸雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可求得則，由此可求得雙曲線(xiàn)的方程；（2）由已知求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，得出橢圓的，再根據(jù)橢圓的離心率求得，由此可得出橢圓的方程；（3）設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或，代入點(diǎn)求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：對(duì)于直線(xiàn)，令，得，所以，則，所以，所以中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在軸上，一個(gè)焦點(diǎn)在直線(xiàn)上的等軸雙曲線(xiàn)的方程為；【小問(wèn)2詳解】解：由得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，所以對(duì)于橢圓，，又橢圓的離心率為，所以，解得，所以橢圓的方程；【小問(wèn)3詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，所以滿(mǎn)足條件的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是：或，代入點(diǎn)得或，解得或，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的方程為或18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)兩直線(xiàn)的斜率之積為得到方程，整理即可；（2）設(shè)，，，根據(jù)設(shè)、在橢圓上，則，再由，則，即可表示出直線(xiàn)、的方程，聯(lián)立兩直線(xiàn)方程，即可得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式得到，令，則，最后利用基本不等式計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，定點(diǎn)，，直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積為，，【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，，，則，，所以又，所以，又即，則直線(xiàn)：，直線(xiàn)：，由，解得，即，所以令，則，所以因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為；19、（1）（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值，列不等式組，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）記函數(shù)，把證明，轉(zhuǎn)化為只需證明，用分析法證明即可.【小問(wèn)1詳解】，定義域?yàn)椋?令，解得：；令，解得：所以在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值.要使函數(shù)在上有極值，只需，解得：，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】記函數(shù).則函數(shù)有兩個(gè)不等實(shí)根.因?yàn)椋?，兩式相減得，，兩式相加得，.因?yàn)椋砸C，只需證明，只需證明，只需證明，.證.設(shè)，只需證明.記，則，所以在上2單增，所以，所以，即，所以.即證.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題；(4)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式20、（1），；（2）.【解析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，借助前項(xiàng)和公式列式計(jì)算作答.(2)由(1)的結(jié)論借助裂項(xiàng)相消去求解作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因，，則，解得，于是得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，所以.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)周長(zhǎng)可求，再根據(jù)離心率可求，求出后可求橢圓的方程.（2）當(dāng)直線(xiàn)軸時(shí)，計(jì)算可得的面積的最大值為，直線(xiàn)不垂直軸時(shí)，可設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程可求，設(shè)與平行且與橢圓相切的直線(xiàn)為：，結(jié)合橢圓方程可求的關(guān)系，從而求出該直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離，從而可求的面積的最大值為.【詳解】（1）由橢圓的定義可知，的周長(zhǎng)為，∴，，又離心率為，∴，，所以橢圓方程為.（2）當(dāng)直線(xiàn)軸時(shí)，；當(dāng)直線(xiàn)不垂直軸時(shí)，設(shè)，，，∴.設(shè)與平行且與橢圓相切的直線(xiàn)為：，，∵，∴，∴距的最大距離為，