福建省廈門(mén)市第六中學(xué)2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓的圓心到直線(xiàn)的距離為，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.內(nèi)切C.外切 D.外離2．方程表示的曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)的一點(diǎn)是（）A. B.C. D.3．方程表示的圖形是A.兩個(gè)半圓 B.兩個(gè)圓C.圓 D.半圓4．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)與向量的模長(zhǎng)分別是（）A.；5 B.；C.； D.；5．已知等差數(shù)列為其前項(xiàng)和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.136．過(guò)兩點(diǎn)和的直線(xiàn)的斜率為（）A. B.C. D.7．已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則的面積等于（）A.6 B.C. D.8．設(shè)、分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)l與橢圓E相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為（）A. B.1C. D.9．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，，則（）A. B.C. D.10．在三棱錐中，，，則異面直線(xiàn)PC與AB所成角的余弦值是（）A. B.C. D.11．在直三棱柱中，，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．在遞增等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和．已知，，且，則數(shù)列的公比為（）A.3 B.4C.5 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．不大于100的正整數(shù)中，被3除余1的所有數(shù)的和是___________14．若“，”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍________.15．已知離心率為的橢圓：和離心率為的雙曲線(xiàn)：有公共的焦點(diǎn)，其中為左焦點(diǎn)，P是與在第一象限的公共點(diǎn).線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)____________.16．如圖直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)和分別相交于，兩點(diǎn).（1）求過(guò)與交點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程；（2）若線(xiàn)段恰被點(diǎn)平分，求直線(xiàn)的方程.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）2020年8月，總書(shū)記對(duì)制止餐飲浪費(fèi)行為作出重要指示，要求進(jìn)一步加強(qiáng)宣傳教育，切實(shí)培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣，在全社會(huì)營(yíng)造浪費(fèi)可恥、節(jié)約光榮的氛圍．為貫徹總書(shū)記指示，大慶市某學(xué)校食堂從學(xué)生中招募志愿者，協(xié)助食堂宣傳節(jié)約糧食的相關(guān)活動(dòng)．現(xiàn)已有高一63人、高二42人，高三21人報(bào)名參加志愿活動(dòng)．根據(jù)活動(dòng)安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報(bào)名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一期志愿活動(dòng)（1）第一期志愿活動(dòng)需從高一、高二、高三報(bào)名的學(xué)生中各抽取多少人？（2）現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、高三學(xué)生中抽取2人粘貼宣傳標(biāo)語(yǔ)，求抽出兩人都是高二學(xué)生的概率是多少？（3）食堂每天約有400人就餐，其中一組志愿者的任務(wù)是記錄學(xué)生每天倒掉的剩菜剩飯的重量（單位：公斤），以10天為單位來(lái)衡量宣傳節(jié)約糧食的效果．在一個(gè)周期內(nèi)，這組志愿者記錄的數(shù)據(jù)如下：前10天剩菜剩飯的重量為：后天剩菜剩飯的重量為：借助統(tǒng)計(jì)中的圖、表、數(shù)字特征等知識(shí)，分析宣傳節(jié)約糧食活動(dòng)的效果（選擇一種方法進(jìn)行說(shuō)明即可）18．（12分）已知數(shù)列與滿(mǎn)足（1）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的第k項(xiàng)是數(shù)列的最小項(xiàng)，即恒成立．求證：的第k項(xiàng)是數(shù)列的最小項(xiàng)；（3）設(shè)．若存在最大值M與最小值m，且，試求實(shí)數(shù)的取值范圍19．（12分）已知橢圓，離心率為，橢圓上任一點(diǎn)滿(mǎn)足（1）求橢圓的方程；（2）若動(dòng)直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)總在以為直徑的圓外時(shí)，求的取值范圍.20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別a，b，c．已知2bcosB=ccosA+acosC（1）求B；（2）若a=2，，設(shè)D為CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求線(xiàn)段BD的長(zhǎng)21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.22．（10分）曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，C上的點(diǎn)M滿(mǎn)足，且直線(xiàn)的斜率之積等于（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交C于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若，其中，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出兩圓的圓心與半徑，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系的判定即可求解.【詳解】已知圓的圓心到直線(xiàn)的距離，即，解得或,因?yàn)?所以,圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心的坐標(biāo)為，半徑，圓心距，兩圓內(nèi)切，故選：B2、C【解析】當(dāng)時(shí)可得，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)可得所以方程表示的曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)的一點(diǎn)是，且其它點(diǎn)都不滿(mǎn)足方程，故選：C3、D【解析】其中，再兩邊同時(shí)平方，由此確定圖形【詳解】根據(jù)題意，，再兩邊同時(shí)平方，由此確定圖形為半圓.故選：D【點(diǎn)睛】幾何圖像中要注意與方程式是一一對(duì)應(yīng)，故方程的中未知數(shù)的的取值范圍對(duì)應(yīng)到圖形中的坐標(biāo)的取值范圍4、B【解析】根據(jù)給定條件利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因點(diǎn)，，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，.故選：B5、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，，進(jìn)而根據(jù)條件求出，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數(shù)列，所以，又，又，聯(lián)立方程組解得：.于是，.故選：B.6、D【解析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線(xiàn)斜率即可.【詳解】由已知坐標(biāo)，直線(xiàn)的斜率為.故選：D7、B【解析】根據(jù)橢圓定義和余弦定理解得，結(jié)合三解形面積公式即可求解【詳解】由與是橢圓上一點(diǎn)，∴，兩邊平方可得，即，由于，，∴根據(jù)余弦定理可得，綜上可解得，∴的面積等于，故選：B8、C【解析】由橢圓的定義得：，，結(jié)合條件可得，即可得答案.【詳解】由橢圓的定義得：，，又，，所以，由橢圓知，所以.故選：C9、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差，再結(jié)合即可得的值.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為，所以，即，所以，所以，故選：D.10、A【解析】分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、、，由題意結(jié)合平面幾何的知識(shí)可得、、或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)PC與AB所成角，再由余弦定理即可得解.【詳解】分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、、，如圖：由可得，所以，在，，可得由中位線(xiàn)的性質(zhì)可得且，且，所以或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)PC與AB所成角，在中，，所以異面直線(xiàn)AB與PC所成角的余弦值為.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線(xiàn)段法是求異面直線(xiàn)所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線(xiàn)，把異面直線(xiàn)的問(wèn)題化歸為共面直線(xiàn)問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線(xiàn)中的一條或兩條，作出異面直線(xiàn)所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線(xiàn)所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線(xiàn)所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線(xiàn)所成的角11、D【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，，因此異面直線(xiàn)與所成角的余弦值等于.故選：D.12、B【解析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出、，然后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】解：由題意得：是遞增等比數(shù)列又，，故故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1717【解析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求所有數(shù)的和.【詳解】100以?xún)?nèi)的正整數(shù)中，被3除余1由小到大構(gòu)成等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為3，共有項(xiàng)，它們的和為，故答案為：.14、【解析】由于“，”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值集合就是函數(shù)的函數(shù)值的集合，據(jù)此即可求出結(jié)果.【詳解】由于“，”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值集合就是函數(shù)的函數(shù)值的集合，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了存在量詞命題的概念的理解，以及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換思想，屬于基礎(chǔ)題.15、##4.5【解析】設(shè)為右焦點(diǎn)，半焦距為，，由題意，，則，所以，從而有，最后利用均值不等式即可求解.【詳解】解：設(shè)為右焦點(diǎn)，半焦距為，，由題意，，則，所以，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，故答案為：.16、（1）；（2）.【解析】本題考查直線(xiàn)方程的基本求法：垂直直線(xiàn)的求法、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、點(diǎn)在直線(xiàn)上的待定系數(shù)法【詳解】（1）由題可得交點(diǎn)，所以所求直線(xiàn)方程為，即；（2）設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，因?yàn)榫€(xiàn)段恰被點(diǎn)平分，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)，的坐標(biāo)分別代入，的方程，得方程組解得由點(diǎn)和點(diǎn)及兩點(diǎn)式，得直線(xiàn)的方程為，即【點(diǎn)睛】直線(xiàn)的考法主要以點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)和直線(xiàn)的平行與垂直為主．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)，是重點(diǎn)考察內(nèi)容三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）6，4，2；（2）；（3）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）先求出抽樣比，然后每次按比例抽取即可求出；（2）先求出抽出兩人的基本事件，再求出兩人都是高二學(xué)生包含的基本事件，即可求出概率；（3）可求出平均值進(jìn)行判斷；也可畫(huà)出莖葉圖觀(guān)察判斷.【詳解】解：（1）報(bào)名的學(xué)生共有126人，抽取的比例為，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.（2）記高二四個(gè)學(xué)生為1，2，3，4，高三兩個(gè)學(xué)生為5，6，抽出兩人表示為（x，y），則抽出兩人的基本事件為（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15個(gè)基本事件，其中高二學(xué)生都在同一組包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6個(gè)基本事件.記抽出兩人都是高二學(xué)生為事件，則，所以高二學(xué)生都在同一組的概率是.（3）法一：（數(shù)字特征）前10天的平均值為23.5，后10天的平均值為20.5，因?yàn)?0.5<23.5，所以宣傳節(jié)約糧食活動(dòng)的效果很好.法二：（莖葉圖）畫(huà)出莖葉圖因?yàn)榍?0天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，所以節(jié)約宣傳后剩飯剩菜明顯減少，宣傳效果很好.18、（1）（2）證明見(jiàn)解析．（3）【解析】（1）由已知關(guān)系得出是等差數(shù)列及公差，然后可得通項(xiàng)公式；（2）由已知關(guān)系式，利用累加法證明對(duì)任意的，恒成立，即可得（3）由累加法求得通項(xiàng)公式，然后確定的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的單調(diào)性，得出數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，再利用已知范圍解得的范圍【小問(wèn)1詳解】由已知，是等差數(shù)列，公差為6，所以；【小問(wèn)2詳解】對(duì)任意的，恒成立，而恒成立，若，則，恒成立，同理若，也有恒成立，所以對(duì)任意的，恒成立，即是最小項(xiàng)；【小問(wèn)3詳解】時(shí)，，所以，也適合此式所以，若，則，，，即，，若，由于，且是正負(fù)相間，因此無(wú)最大項(xiàng)也無(wú)最小項(xiàng)因此有，所以的奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列是遞增數(shù)列，且，，的偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列是遞減數(shù)列，且，，所以的最大值是，最小項(xiàng)是，，由，又，所以19、（1）（2）或【解析】（1）由已知計(jì)算可得即可得出方程.（2）由已知可得聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】依題得解得：橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】由已知?jiǎng)又本€(xiàn)與橢圓相交于、，設(shè)聯(lián)立得：解得：，即：或（*）坐標(biāo)原點(diǎn)總在以為直徑的圓外則：,即將（*）代入此式，解得：，即或或20、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得，由此求得.（2）利用正弦定理求得，由列方程來(lái)求得.【小問(wèn)1詳解】，由正弦定理得，因?yàn)?，所以?【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，由正弦定理：得，，或（舍去），，，所以由得，，21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】(1)由可得,再結(jié)合和線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面,則,再由可得平面.(2)以為原點(diǎn)，，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,利用空間向量求解即可【詳解】（1）證明：∵為矩形，且，∴.又∵，.∴，.又∵，，∴平面.∵平面，∴又∵，，∴平面.（2）解：以為原點(diǎn)，，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，，∴，，設(shè)平面法向量則，即∴，∴∴直線(xiàn)與所成角的正弦值為.22、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由橢圓定義可得到，再利用斜率公式及直線(xiàn)的斜率之積等于，列出方程，化簡(jiǎn)對(duì)比系數(shù)可得；（2）分直線(xiàn)l的斜率為0和不為0兩種情況討論，利用可得到T在定直線(xiàn)上，且該直