專題28.4解直角三角形的四大模型（40題）【人教版】【模型一：背靠背型】【模型分析】若三角形中有已知角時(shí)，則通過在三角形內(nèi)作高，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形，求其中公共邊是解題的關(guān)鍵．【模型演變】【模型突破】如圖①，CE＝DA，CD＝EA，CE＋BD＝AB；如圖②，CD＝EF，CE＝DF，AD＋CE＋BF＝AB.1．（23-24九年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，小明與小華利用三角板測(cè)量教學(xué)樓前雕塑AB的高度．小明在二樓找到一點(diǎn)C，利用三角板測(cè)得雕塑頂端A點(diǎn)的仰角為30°，底部B點(diǎn)的俯角為45°；小華在五樓找到一點(diǎn)D，利用三角板測(cè)得A點(diǎn)的俯角為60°．已知CD為10米，則雕塑AB的高度是．（2≈1.414，3≈1.732，結(jié)果精確到【答案】6.8米【分析】利用題目中的仰俯角將其轉(zhuǎn)化為題目直角三角形的內(nèi)角，分別在Rt△ACE中和Rt△BCE中求得AC和BE的長(zhǎng)，兩者相加即為雕塑的高．【詳解】解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于E．∵∠FDA=60°，∠ACE=30°∴∠ADC=90°-60°=30°，∠ACD=90°-30°=60°，∴∠CAD=180°-30°-60°=90°，∵CD=10，∴AC=12CD=5在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，∠ACE=30°，∴AE=12AC=5∵cos∠ACE=CEAC∴CE=AC?cos∠ACE=5×cos30°=53在Rt△BCE中，∵∠BCE=45°，∴∠CBE=90°-∠BCE=45°，∴∠BCE=∠CBE，∴BE=CE=53∴AB=AE+BE=（52+532所以，雕塑AB的高度約為6.8米，故答案為6.8米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決此類題目的關(guān)鍵是正確的將仰俯角轉(zhuǎn)化為直角三角形的內(nèi)角并用解直角三角形的知識(shí)解答問題．2．（2023·上海青浦·一模）如圖，在港口A的南偏東37°方向的海面上，有一巡邏艇B，A、B相距20海里，這時(shí)在巡邏艇的正北方向及港口A的北偏東67°方向上，有一漁船C發(fā)生故障．得知這一情況后，巡邏艇以25海里/小時(shí)的速度前往救援，問巡邏艇能否在1小時(shí)內(nèi)到達(dá)漁船C處？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈12【答案】巡邏艇能在1小時(shí)內(nèi)到達(dá)漁船C處【分析】由已知可得在△ABC中，∠C＝67°，∠B＝37°，且AB＝20海里，要求BC的長(zhǎng)，可以過A作AD⊥BC于D，分別求出CD和BD的長(zhǎng)，就可轉(zhuǎn)化為運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形．【詳解】解答：過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H．由題意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．在Rt△ABH中，∵sinB=AHAB∴AH=ABBH=AB在Rt△ACH中，∵tan∠ACH∴CH=AH∴BC＝BH＋CH≈16＋5＝21，∵21÷25＜1，∴巡邏艇能在1小時(shí)內(nèi)到達(dá)漁船C處．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是將一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．3．（23-24九年級(jí)·廣東深圳·階段練習(xí)）在一次課外活動(dòng)中，甲、乙兩位同學(xué)測(cè)量公園中孔子塑像的高度，他們分別在A，B兩處用高度為1.5m的測(cè)角儀測(cè)得塑像頂部C的仰角分別為30°，45°，兩人間的水平距離AB為20m，求塑像的高度CF．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(103-【分析】在Rt△CDG和Rt△CEG中，求出公共邊【詳解】解：∵AB∴DE在Rt△∵∠CEG∴EG在Rt△∵∠CDG=30°，∴DG則DE=即DE=∴CG由題意知：GF∴答：塑像CF的高為103【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解．4．（2023·四川成都·二模）某次臺(tái)風(fēng)來(lái)襲時(shí)，一棵筆直且垂直于地面的大樹AB被刮傾斜后在C處折斷倒在地上，樹的頂部恰好接觸到地面D處，測(cè)得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，AD＝5米，求這棵大樹AB的高．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，3≈1.73）

【答案】這棵大樹AB原來(lái)的高度約是9.2米．【分析】過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，解Rt△AED，求出DE及AE的長(zhǎng)度，再解Rt△AEC，得出CE及AC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，則∠AEC＝∠AED＝90°．∵在Rt△AED中，∠ADC＝37°，AD=5，∴cos37°＝DEAD＝DE5∴DE≈4，∵sin37°＝AEAD＝AE5∴AE≈3，在Rt△AEC中，∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝AE·tan∠CAE=33AE＝3∴AC＝2CE＝23，∴AB＝AC+CE+ED＝23+3+4＝33+4≈9.2（米）．

答：這棵大樹AB原來(lái)的高度約是9.2米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．5．（23-24九年級(jí)·湖南懷化·期末）為加強(qiáng)我市創(chuàng)建文明衛(wèi)生城市宣傳力度，需要在甲樓A處到E處懸掛一幅宣傳條幅，在乙樓頂部D點(diǎn)測(cè)得條幅頂端A點(diǎn)的仰角∠ADF=45°，條幅底端E點(diǎn)的俯角為∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙兩樓的水平距離BC為21米，求條幅的長(zhǎng)AE約是多少米？（3=1.73，結(jié)果精確到0.1【答案】33.1米【分析】根據(jù)題意及解直角三角形的應(yīng)用直接列式求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)D作DF⊥AB，如圖所示：在Rt△ADF中，DF=BC=21米，∠ADF=45°∴AF=DF=21米在Rt△EDF中，DF=21米，∠EDF=30°∴EF=DF×tan30°=73米∴AE=AF+BF=73+21≈33.1答：條幅的長(zhǎng)AE約是33.1米．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意及利用三角函數(shù)求出線段的長(zhǎng)．6．（2023九年級(jí)·遼寧盤錦·學(xué)業(yè)考試）一滑板運(yùn)動(dòng)場(chǎng)斜坡上的點(diǎn)A處豎直立著一個(gè)旗桿，旗桿在其點(diǎn)B處折斷，旗桿頂部落在斜坡上的點(diǎn)C處，AC=23米，折斷部分與斜坡的夾角為75°，斜坡與水平地面的夾角為（2≈1.4,3≈1.7，精確到【答案】旗桿的高度約為9米．【分析】根據(jù)題意過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)∵∠DCA=30°，AC=23，AD=又∵∠BCA∴∠BCD∴CD=BD=3，BC答：旗桿的高度約為9米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，熟練掌握并根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．7．（2023·甘肅武威·中考真題）如圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建筑．寶塔建造工藝精湛，與崆峒山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧”．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測(cè)量“大明寶塔的高度”的實(shí)踐活動(dòng)，具體過程如下：方案設(shè)計(jì)：如圖2，寶塔CD垂直于地面，在地面上選取A,B兩處分別測(cè)得∠CAD和∠數(shù)據(jù)收集：通過實(shí)地測(cè)量：地面上A,B兩點(diǎn)的距離為問題解決：求寶塔CD的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67,cos42°=0.74,根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過程．【答案】33.4m【分析】設(shè)CD=xm，再利用銳角三角函數(shù)用含x【詳解】解：∵CD⊥AB,在Rt△ACD中，AD在Rt△CBD中，BD∵∴x∴125x解得，x≈33.4．答：寶塔的高度約為33.4m．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握利用直角三角形中的銳角三角函數(shù)建立邊與邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2023·內(nèi)蒙古包頭·三模）如圖，在四邊形ABCE中，BC⊥CE,BC=10,∠ABC=120°，點(diǎn)D在CE上，DE（1）求△ADE（2）求AB的長(zhǎng)度．（本題中計(jì)算過程和結(jié)果均保留根號(hào)）【答案】（1）252；（2）24【分析】（1）過點(diǎn)A作AF⊥CE，交CE于點(diǎn)F，設(shè)AF為x，則DF為x6，列方程解出AF（2）過點(diǎn)B作BG⊥AF，交AF于點(diǎn)G，證得四邊形BCFG為矩形，可得AG的長(zhǎng)度，在△ABG中，求得∠ABG=30°，即可求出【詳解】解：（1）過點(diǎn)A作AF⊥CE，交CE于點(diǎn)由題意得∠E設(shè)AF=∵∠E∴EF=在Rt△ADF中，∵∴DF=∴DE=14∴x+∴x∴AFS△ADE（2）過點(diǎn)B作BG⊥AF，交AF于點(diǎn)∵BC⊥CE，AF⊥CE，BG⊥AF，∴四邊形BCFG為矩形，F(xiàn)G=∵AG∵∠ABC∴∠ABG∴AB=2【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、含30度角直角三角形的特點(diǎn)和矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用各種知識(shí)求出AF的長(zhǎng)度．9．（2023·廣東東莞·一模）如圖，在東西方向的海面線MN上，有A，B兩艘巡邏船，兩船同時(shí)收到漁船C在海面停滯點(diǎn)發(fā)出的求救信號(hào)，測(cè)得漁船分別在巡邏船A，B的北偏西30°和北偏東45°方向，巡邏船A和漁船C相距120海里．（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）（1）求巡邏船B與漁船C間的距離；（2）已知在A，B兩艘巡邏船間有一觀測(cè)點(diǎn)D（A，B，D在直線MN上），測(cè)得漁船C在觀測(cè)點(diǎn)D的北偏東15°方向，觀測(cè)點(diǎn)D的45海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船B沿BC方向去營(yíng)救漁船C，問有沒有觸礁的危險(xiǎn)？并說(shuō)明理由．【答案】（1）巡邏船B與漁船C間的距離為606海里；（2）沒有觸礁的危險(xiǎn)，理由詳見解析．【分析】（1）作CE⊥MN于E，由直角三角形的性質(zhì)得AE=12AC=60，CE（2）作DF⊥BC于F，由∠ABC=45°，得出ΔBDF是等腰直角三角形，則【詳解】解：（1）作CE⊥MN于E，如圖則∠ACE=30°，∠BCE=45°，∴AE=12AC∴BE=CE答：巡邏船B與漁船C間的距離為606（2）沒有觸礁的危險(xiǎn)；理由如下：由題意得：AB=∵∠ACD∴∠ACD∵∠CAD∴ΔCAD∴ADAC=AC解得：AD=120(∴BD作DF⊥BC于F，如圖∵∠ABC∴ΔBDF∴DF∵54>45，∴沒有觸礁的危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、含30°角直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇蘇州·中考真題）問題1：如圖①，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一點(diǎn)，求證：AB+問題2：如圖②，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=45°，P是BC上一點(diǎn)，PA=【答案】問題1：見解析；問題2：2【分析】問題1：先根據(jù)AAS證明△ABP≌△PCD，可得AB問題2：分別過點(diǎn)A、D作BC的垂線，垂足為E、F，由（1）可知AE+DF=EF，利用45°的三角函數(shù)值可得【詳解】問題1：證明：∵∠B∴∠APB∵∠APD∴∠APB∴∠BAP在△ABP和△∠B∴△ABP∴AB=PC，∴AB+問題2：如圖，分別過點(diǎn)A、D作BC的垂線，垂足為E、F．由（1）可知AE+在Rt△ABE和Rt△∴AE=BE，AB=AEsin∴BC=BE+∴AB+【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形，作出正確的輔助線并能利用解直角三角形的相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．【模型二：母子型】【模型分析】若三角形中有已知角，通過在三角形外作高BC，構(gòu)造有公共直角的兩個(gè)三角形求解，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵．【模型突破】BC為公共邊，如圖①，AD＋DC＝AC；如圖②，DC－BC＝DB.【模型演變1】【模型突破】如圖③，DF＝EC，DE＝FC，BF＋DE＝BC，AE＋DF＝AC；如圖④，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE.【模型演變2】【模型突破】如圖⑤，BE＋EC＝BC；如圖⑥，EC－BC＝BE；如圖⑦，AC＝FG，AF＝CG，AD＋DC＝FG，BC＋AF＝BG.【模型演變3】【模型突破】如圖⑧，BC＝FG，BF＝CG，AC＋BF＝AG，EF＋BC＝EG；如圖⑨，BC＝FG，BF＝CG，EF＋BC＝EG，BD＋DF＝BF，AC＋BD＋DF＝AG.11．（2023·新疆烏魯木齊·一模）某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組利用卷尺和自制的測(cè)角儀測(cè)量魁星閣頂端距離地面的高度，如圖所示，他們?cè)诘孛嬉粭l水平步道FB上架設(shè)測(cè)角儀，先在點(diǎn)F處測(cè)得魁星閣頂端A的仰角是26°，朝魁星閣方向走20米到達(dá)G處，在G處測(cè)得魁星閣頂端A的仰角是45°．若測(cè)角儀CF和DG的高度均為1.5米，求魁星閣頂端距離地面的高度（圖中AB的值）．（參考數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，cos24°≈0.90，tan26°≈0.49，2【答案】魁星閣頂端距離地面的高度約為20.7米【分析】解直角三角形求出AG即可解決問題．【詳解】解：由題意知，∠ADE=45°，∠ACE∵AE=x∴ED∴CE在Rt△∵tan∴tan即0.49×(20+x解得x≈19.22∴AB故魁星閣頂端距離地面的高度約為20.7米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．12．（23-24九年級(jí)·山東·期中）如圖，學(xué)校科技小組計(jì)劃測(cè)量一處電信塔的高度，小明在A處用儀器測(cè)得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛離地面1.6m，你能計(jì)算出塔的高度DE嗎？寫出計(jì)算過程．【答案】出塔的高度DE為131.6m．過程見解析．【分析】先根據(jù)等腰三角形的判定可得BD=AB=260【詳解】解：由題意得：AB=260∵∠DAC∴∠ADB∴∠ADB∴BD在Rt△BCD中，∴DE即塔的高度DE為131.6m【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，線段和差等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的判定是解題關(guān)鍵．13．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，山坡上有一棵豎直的樹AB，坡面上點(diǎn)D處放置高度為1.6m的測(cè)傾器CD，測(cè)傾器的頂部C與樹底部B恰好在同一水平線上（即BC//MN），此時(shí)測(cè)得樹頂部A的仰角為50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上點(diǎn)B處的鉛直高度BN與水平寬度MN的比），求樹AB的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【答案】約為5.7m【分析】先求出BC＝4.8m，再由銳角三角函數(shù)定義即可求解．【詳解】解：∵山坡BM的坡度i＝1∶3，∴i＝1∶3＝tanM，∵BC//MN，∴∠CBD＝∠M，∴tan∠CBD＝CDBC＝tanM＝1∶3∴BC＝3CD＝4.8（m），在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ABBC＝tan50°≈1.19∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），即樹AB的高度約為5.7m．【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用意識(shí)．正確掌握解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題、仰角俯角問題是解題的關(guān)鍵．14．（23-24九年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，某大樓的頂部豎有一塊宣傳牌AB，小明在斜坡的坡腳D處測(cè)得宣傳牌底部B的仰角為45°，沿斜坡DE向上走到E處測(cè)得宣傳牌頂部A的仰角為31°，已知斜坡DE的坡度3:4，DE=10米，DC=22米，求宣傳牌AB的高度．（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，【答案】宣傳牌AB的高度為2米．【分析】過E分別作CD、AC的垂線，設(shè)垂足為F、C，則CF=EG，CG=EF，然后在RtΔEFD、【詳解】解：過E分別作CD、AC的垂線，設(shè)垂足為F、G，則CF=EG，在RtΔ∵斜坡DE的坡度3:4，DE=10∴設(shè)EF=3x米，∴DE∴x∴EF=6米，在RtΔBCD中，∴BC∴BG在RtΔAEG中，∴AB答：宣傳牌AB的高度為2米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角、俯角問題，正確作出輔助線、構(gòu)建直角三角形，將實(shí)際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．15．（2023·河南·二模）如圖，一艘漁船沿南偏東42°方向航行，在A處測(cè)得一個(gè)小島P在其南偏東64°方向．又繼續(xù)航行(40-163)海里到達(dá)B處，測(cè)得小島P位于漁船的南偏東72°方向，已知以小島P為圓心，半徑162海里的圓形海域內(nèi)有暗礁．如果漁船不改變航向有沒有觸礁的危險(xiǎn)，請(qǐng)通過計(jì)算加以說(shuō)明．如果有危險(xiǎn)，漁船自B處開始，沿南偏東多少度的方向航行，能夠安全通過這一海域？（參考數(shù)據(jù)：sin22°

【答案】有危險(xiǎn)；漁船自B處開始，沿南偏東小于45度的方向航行，能夠安全通過這一海域．【分析】過點(diǎn)P作PC垂直于AB所在直線，垂足為C，分別在Rt△PBC和Rt△PAC中利用三角函數(shù)用PC表示BC和AC的長(zhǎng)度，得到AB=【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PC垂直于AB所在直線，垂足為C，

根據(jù)題意可得∠PAC=64°-42°=22°，在Rt△PBC中，在Rt△PAC中，∴AB=解得PC=16∵16<162∴如果漁船不改變航向有觸礁的危險(xiǎn)，∵PB=∴若改變航向，剛好到暗礁區(qū)域邊界時(shí)的sinα此時(shí)α=45°即如果有危險(xiǎn)，漁船自B處開始，沿南偏東小于45度的方向航行，能夠安全通過這一海域．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖，某樓房AB頂部有一根天線BE，為了測(cè)量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點(diǎn)C，D，A，在點(diǎn)C處測(cè)得天線頂端E的仰角為60°，從點(diǎn)C走到點(diǎn)D，測(cè)得CD=5米，從點(diǎn)D測(cè)得天線底端B的仰角為45°，已知A，B，E（1）求A與C之間的距離；（2）求天線BE的高度．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73【答案】（1）A,C之間的距離為30米；（2）天線BE的高度約為【分析】（1）根據(jù)題意，∠BAD=90°，∠BDA=45°，故AD=AB，已知CD=5，不難算出A與C之間的距離．（2）根據(jù)題意，在Rt△ACE中，∠ACE=60°，利用三角函數(shù)可算出AE的長(zhǎng)，又已知【詳解】（1）依題意可得，在Rt△ABD中，∠∴AD=∵CD=5米，∴即A,C之間的距離為（2）在Rt△ACE中，∠ACE∴AE∵AB=25米，由3≈1．73即天線BE的高度約為27米．【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（2）本題主要考查三角函數(shù)的靈活運(yùn)用，正確運(yùn)用三角函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．17．（2023·浙江寧波·一模）如圖1是某商場(chǎng)從一樓到二樓的自動(dòng)扶梯，圖2是側(cè)面示意圖，MN是二樓樓頂，MN∥PQ，點(diǎn)C在MN上，且位于自動(dòng)扶梯頂端B點(diǎn)的正上方，BC⊥MN．測(cè)得AB＝10米，在自動(dòng)扶梯底端A處測(cè)得點(diǎn)C的仰角為50°，點(diǎn)B的仰角為30°，求二樓的層高BC（結(jié)果保留根號(hào)）（參考數(shù)據(jù)：sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.20）【答案】(63【分析】延長(zhǎng)CB交PQ于點(diǎn)D，在Rt△ADB中，求出BD，AD的長(zhǎng)，然后在直角△CDA中利用三角函數(shù)即可求得CD的長(zhǎng)，則BC即可得到．【詳解】解：延長(zhǎng)CB交PQ于點(diǎn)D．∵M(jìn)N∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．在Rt△ABD中，∵AB＝10米，∠BAD＝30°，∴BD=12在Rt△CDA中，∠CDA＝90°，∠CAD＝50°，∴CD=∴BC=6【點(diǎn)睛】本題考查仰角和坡度的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．18．（2023·廣東廣州·一模）如圖，某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批貨物從A處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60°的方向上.該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此時(shí)再測(cè)得該島在北偏東30°的方向上，（1）求∠ACB（2）已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁.若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？試說(shuō)明理由.（參考：2≈1.414、3【答案】（1）30°；（2）貨船繼續(xù)向正東方向行駛無(wú)觸礁危險(xiǎn).【分析】（1）在△ABP中，求出∠CAB、∠CBA的度數(shù)即可解決問題；（2）作CD⊥AB于D．求出CD的值即可判定.【詳解】（1）∵∠CAB=30∴∠ACB（2）過點(diǎn)C作CD⊥AB于由題意∠CAB=30°，∴∠ACB∴BC=∴BC=AB在Rt△BCD中，∴CD=∵10.392>9.所以貨船繼續(xù)向正東方向行駛無(wú)觸礁危險(xiǎn).【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確根據(jù)題意畫出圖形、準(zhǔn)確標(biāo)注方向角、熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．19．（2023·安徽·一模）如圖，身高1.6米的小明為了測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度，在平地上C處測(cè)得旗桿高度頂端A的仰角為30°，沿CB方向前進(jìn)3米到達(dá)D處，在D處測(cè)得旗桿頂端A的仰角為45°，求旗桿AB的高度（3=1.7,【答案】旗桿AB的高度為5.65米【詳解】試題分析：在Rt△FGA中，設(shè)AG=FG=x米，根據(jù)xx+3=tan30°，求出AG的長(zhǎng)，加上試題解析：如圖，在Rt△FGA中，設(shè)AG=FG=x米，在Rt△AEG中，xx+3解得，x=33+3∴AB=1.6+4.05=5.65米．答：旗桿AB的高度為5.65米．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．20．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，一只貓頭鷹蹲在一棵樹AC的B（點(diǎn)B在AC上）處，發(fā)現(xiàn)一只老鼠躲進(jìn)短墻DF的另一側(cè)，貓頭鷹的視線被短墻遮住，為了尋找這只老鼠，它又飛至樹頂C處，已知短墻高DF=4米，短墻底部D與樹的底部A的距離為2.7米，貓頭鷹從C點(diǎn)觀測(cè)F點(diǎn)的俯角為53°，老鼠躲藏處G（點(diǎn)G在DE上）距D點(diǎn)3米．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）貓頭鷹飛至C處后，能否看到這只老鼠？為什么？（2）要捕捉到這只老鼠，貓頭鷹至少要飛多少米（精確到0.1米）？【答案】(1)能看到；(2)要捕捉到這只老鼠，貓頭鷹至少要飛9.5米.【分析】(1)根據(jù)貓頭鷹從C點(diǎn)觀測(cè)F點(diǎn)的俯角為53°，可知∠DFG=90°﹣53°=37°，在△DFG中，已知DF的長(zhǎng)度，求出DG的長(zhǎng)度，若DG>3，則看不見老鼠，若DG≤3，則可以看見老鼠；(2)根據(jù)(1)求出的DG長(zhǎng)度，求出AG的長(zhǎng)度，然后在Rt△CAG中，根據(jù)AGCG=sin∠ACG=sin37°，即可求出CG的長(zhǎng)度【詳解】(1)能看到；由題意得，∠DFG=90°-53°=37°，則DGDF=tan∠DFG∵DF=4米，∴DG=4×tan37°≈4×0.75=3(米)，故能看到這只老鼠；(2)由(1)得，AG=AD+DG=2.7+3=5.7(米)，又AGCG=sin∠ACG=sin37°則CG=AGsin37°≈5.7答：要捕捉到這只老鼠，貓頭鷹至少要飛約9.5米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形并解直角三角形，利用三角函數(shù)求解相關(guān)線段.【模型三：擁抱型】【模型分析】分別解兩個(gè)直角三角形，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵．【模型突破】BC為公共邊．【模型演變】【模型突破】如圖①，BF＋FC＋CE＝BE；如圖②，BC＋CE＝BE；如圖③，AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG，DG＋AB＝DE.21．（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬(wàn)平口區(qū)域內(nèi)的標(biāo)志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數(shù)學(xué)興趣小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量潮汐塔AB的高度，測(cè)量方案如圖所示：無(wú)人機(jī)在距水平地面119m的點(diǎn)M處測(cè)得潮汐塔頂端A的俯角為22°，再將無(wú)人機(jī)沿水平方向飛行74m到達(dá)點(diǎn)N，測(cè)得潮汐塔底端B的俯角為45°（點(diǎn)M,N,（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sinA．41m B．42m C．48m【答案】B【分析】本題考査了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)BA交MN于點(diǎn)C，根據(jù)題意得BC⊥MN,BC=119m,MN=74m，然后在【詳解】如圖，延長(zhǎng)BA交MN于點(diǎn)C．由題意得BC⊥在Rt△CNB中，∴CN∴MC在Rt△AMC中，∴AC∴AB故選B．22．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，甲船從A處向正北方向的C島航行，同時(shí)，乙船在C島正東方向80海里的D處向正東方向航行，此時(shí)甲船觀察到乙船在北偏東45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B處觀察到乙船在北偏東70°方向的E處，則乙船向正東方向航行了海里．（精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，【答案】58【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一方向角問題，根據(jù)題意可得：AB=30海里，AC⊥CE,然后在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長(zhǎng)，從而求出BC的長(zhǎng)，再在【詳解】解：由題意得：AB=30（海里），在Rt△ACD中，∴AC=∴BC在Rt△BCE中，∠∴CE=∴DE即乙船向正東方向航行了58海里，故答案為：5823．（23-24九年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，某幢大樓頂部有廣告牌CD，小宇目高M(jìn)A為1.89米，他站立在離大樓45米的A處測(cè)得大樓頂端點(diǎn)D的仰角為30°；接著他向大樓前進(jìn)15米、站在點(diǎn)B處，測(cè)得廣告牌頂端點(diǎn)C的仰角為45°（取3≈1.732(1)求這幢大樓的高DH；(2)求這塊廣告牌CD的高度．【答案】(1)樓高DH為27.9米；(2)廣告牌CD的高度為4.0米．【分析】（1）首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形Rt△DME，利用三角函數(shù)求得（2）根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形Rt△CNE，利用三角函數(shù)求得【詳解】（1）解：在Rt△DME中，由tan30°=DE得DE=45×又因?yàn)镋H=因而大樓DH=答：樓高為27.9米；（2）解：∵在Rt△CNE中，tan45°=CE∴CE=因而廣告牌CD=答：廣告牌CD的高度為4.0米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．24．（2023·河南焦作·一模）某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)過銳角三角函數(shù)后，到市龍?jiān)春珗@測(cè)量塑像“夸父追日”的高度，如圖所示，在A處測(cè)得塑像頂部D的仰角為45°，塑像底部E的仰角為30.1°，再沿AC方向前進(jìn)10m到達(dá)B處，測(cè)得塑像頂部D的仰角為59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）

【答案】塑像“夸父追日”DE的高度約為10.5米【分析】設(shè)AC=CD=x，則BC=x-10，解Rt△BCD，求出x【詳解】解：在Rt△ACD中，∠CAD=45°，則設(shè)AC=CD在Rt△BCD中，tan59.1°=∴CD∴x=1.67解得：x≈24.93.在Rt△ACE中，tan30.1°=CE∴DE答：塑像“夸父追日”DE的高度約為10.5米.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，難度不大，但容易在計(jì)算上面出錯(cuò)．25．（2023·四川眉山·中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組去測(cè)量一座小山的高度，在小山頂上有一高度為20米的發(fā)射塔AB，如圖所示，在山腳平地上的D處測(cè)得塔底B的仰角為30°，向小山前進(jìn)80米到達(dá)點(diǎn)E處，測(cè)得塔頂A的仰角為60°，求小山BC的高度．【答案】小山BC的高度為10+403【分析】設(shè)塔高BC為x米，根據(jù)正切的定義列出關(guān)于x的關(guān)系式，求出x,進(jìn)而得出小山的高．【詳解】解：設(shè)BC為x米，則AC=20+x米，∵∠BDC=30°在RtΔDBC中，tan60°=則DC=3x在RtΔACE中，tan60°=解得x=10+40答：小山BC的高度為10+403【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握銳角三角函數(shù)的概念、正確理解仰角和俯角的概念是解題的關(guān)鍵．26．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）慈氏塔（如圖①）作為湖南現(xiàn)存最早的磚塔之一，以其巍然?立，雄視洞庭湖，成為“巴陵勝狀”之一．某興趣小組決定利用所學(xué)知識(shí)開展以“測(cè)量慈氏塔的高度”為主題的活動(dòng)，并寫出如下項(xiàng)目報(bào)告：課題測(cè)量慈氏塔的高度測(cè)量工具測(cè)角儀、無(wú)人機(jī)等測(cè)量示意圖測(cè)量過程如圖②，測(cè)量小組使無(wú)人機(jī)在點(diǎn)A處以10m/s的速度豎直上升8s后，飛行至點(diǎn)B處，在點(diǎn)B處測(cè)得塔頂D的俯角為20°，然后沿水平方向向左飛行至點(diǎn)C處，在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂D說(shuō)明點(diǎn)A,B,C,D,E(1)求無(wú)人機(jī)從點(diǎn)B到點(diǎn)C處的飛行距離；(2)求慈氏塔DE的高度．【答案】(1)80(2)慈氏塔DE的高度為35【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，矩形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于常考題型．（1）先根據(jù)題意可求出AB=80m，∠BAE=90°，再根據(jù)（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，設(shè)CH=DH=xm，則BH=BC【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：AB=8×10=80m，在Rt△ABC中，∴BC=（2）解：過點(diǎn)D作DH⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)∵∠DCH=45°,∠∴∠CDH∴CH設(shè)CH=DH=在Rt△ADH∵DHBH∴x解得：x=45∴CH=∵∠BHD∴四邊形ABHE是矩形，∴EH∴DE=答：慈氏塔DE的高度為35m27．（23-24九年級(jí)·重慶·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是某公園的游覽步道（步道可以騎行），把四個(gè)景點(diǎn)連接起來(lái)，為了方便，在景點(diǎn)C的正東方設(shè)置了休息區(qū)K，其中休息區(qū)K在景點(diǎn)A的南偏西30°方向8002米處，景點(diǎn)A在景點(diǎn)B的北偏東75°方向，景點(diǎn)B和休息區(qū)K兩地相距4005米∠ABK<90°，景點(diǎn)D分別在休息區(qū)K、景點(diǎn)(1)求步道AB的長(zhǎng)度；(2)周末小明和小宏相約一起去公園游玩，他們?cè)诰包c(diǎn)C一起向正東出發(fā)，不久到達(dá)休息區(qū)K，他們發(fā)現(xiàn)有兩條路線到達(dá)景點(diǎn)A，于是小宏想比賽看誰(shuí)先到達(dá)景點(diǎn)A．他們分別租了一輛共享單車，兩人同時(shí)在K點(diǎn)出發(fā)，小明選擇①K-B-A路線，速度為每分鐘320米；小宏選擇②K-【答案】(1)1200米(2)小宏先到達(dá)景點(diǎn)A【分析】（1）由題意得，∠DAK=30°，∠BAD=75°，∠D=90°，AK=8002米，BK=4005米，即得∠BAK=∠BAD（2）解直角△ADK可得DK=12AK=4002米，AD本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由題意得，∠DAK=30°，∠BAD=75°，∠D∴∠BAK過點(diǎn)K作KH⊥AB于H，則∴△AHK∴AH=∴BH=∴AB=（2）解：∵AK=8002，∠DAK∴DK=12∴路線②K-D-∴小宏到達(dá)景點(diǎn)A的時(shí)間為1544÷240≈6.43分鐘，∵路線①K-B-∴小明到達(dá)景點(diǎn)A的時(shí)間為2096÷320≈6.55分鐘，∵6.43<6.55，∴小宏先到達(dá)景點(diǎn)A．28．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）赤水河畔的“美酒河”三個(gè)大字，是世界上最大的摩崖石刻漢字．小茜想測(cè)量絕壁上“美”字AG的高度，根據(jù)平面鏡反射原理可推出入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角（如圖中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具體操作如下：將平面鏡水平放置于E處，小茜站在C處觀測(cè)，俯角∠MDE=45°時(shí)，恰好通過平面鏡看到“美”字頂端A處（CD為小茜眼睛到地面的高度），再將平面鏡水平放置于F處觀測(cè)，俯角∠MDF=36.9°時(shí)，恰好通過平面鏡看到“美”字底端G處．測(cè)得BE=163.3m，CE=1.5m，點(diǎn)C，E，F(xiàn)，(1)CD的高度為__________m，CF的長(zhǎng)為__________m；(2)求“美”字AG的高度．【答案】(1)1.5，2(2)41.2【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）證明△DCE是等腰直角三角形，即可求得DC=CE（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=BE=163.3m，進(jìn)一步求得BF=162.8【詳解】（1）解：∵∠MDE∴∠DEC∵DC∴△DCE∴DC在Rt△DCF中，∠DFC∴DF∴CF故答案為：1.5，2；（2）∵∠DEC∴∠AEB∴∠BAE∴AB由題意可知∠MDF∴∠∵EF∴BF在Rt△BG=∴AG即“美”字的高度AG約為41.2m29．（23-24九年級(jí)·福建泉州·階段練習(xí)）風(fēng)能是一種清潔無(wú)公害的可再生能源，利用風(fēng)力發(fā)電非常環(huán)保．如圖1所示，是一種風(fēng)力發(fā)電裝置；如圖2為簡(jiǎn)化圖，塔座OD建在山坡DF上（坡比i=3:4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三點(diǎn)共線），坡面DF長(zhǎng)10m，三個(gè)相同長(zhǎng)度的風(fēng)輪葉片OA，OB，OC可繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，每?jī)蓚€(gè)葉片之間的夾角為120°；當(dāng)葉片靜止，OA與OD重合時(shí)，在坡底F處向前走25米至點(diǎn)M處，測(cè)得點(diǎn)O處的仰角為53°，又向前走23.5米至點(diǎn)N處，測(cè)得點(diǎn)A處的仰角為30°（點(diǎn)E，F(xiàn)，M，(1)求葉片OA的長(zhǎng)；(2)在圖2狀態(tài)下，當(dāng)葉片繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°時(shí)（如圖3），求葉片OC頂端C離水平地面EF的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cos53°≈3【答案】(1)12(2)葉片OC頂端C離水平地面EF的距離為34【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定及性質(zhì)，勾股定理，熟練利用三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）利用坡比i=3:4可求出DE、EF的長(zhǎng)，在Rt△OME或Rt△ANE中，利用∠OME和（2）過點(diǎn)C作CH⊥OE于點(diǎn)M，CG⊥NE于G，可得四邊形HEGC是矩形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠COH【詳解】（1）解：∵DE垂直于水平地面EF，∴∠E∵坡比i=3:4∴DEEF設(shè)DE=3xm∵坡面DF長(zhǎng)10m∴(3x解得：x=2∴DE=6m，∵M(jìn)F=25∴ME=由題意得：∠OME∴OE=∵M(jìn)N=23.5∴NE=由題意得：∠N∴AE=∴OA=（2）如圖，過點(diǎn)C作CH⊥OE于點(diǎn)M，CG⊥∴∠CHE∴四邊形HEGC是矩形，∴EH=∵葉片繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°，∴∠AOE∵∠AOC∴∠COH由題意得：OC=∴OH=∴CG=∴葉片OC頂端C離水平地面EF的距離為34m30．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）圖1是地下停車場(chǎng)的入口，圖2是安裝雨棚左側(cè)支架的示意圖，支架的立柱BC與水平線FC垂直，支點(diǎn)A在線段FC上，斜桿AB與AC的夾角∠BAC=37°，拉桿DE⊥AB于點(diǎn)D，拉桿BE與(1)求拉桿BE的長(zhǎng)；(2)若要求停車場(chǎng)入口水平地面到頂部雨棚的高度EF不超過3.6米，問安裝的雨棚高度是否符合要求？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈【答案】(1)4(2)符合要求，過程見詳解【分析】（1）先在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB，從而求出BD的長(zhǎng)，再在Rt△（2）過點(diǎn)B作BO⊥EF，垂足為O，先在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC，從而求出OF的長(zhǎng)，再根據(jù)已知可求出∠EBO=23°，然后在本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∠BAC∴AB∵AD∴BD∵DE∴∠EDB在Rt△EDB中，∴BE∴該支架的邊BE的長(zhǎng)為4m（2）解：符合要求，過程如下：過點(diǎn)B作BO⊥EF，垂足為∵BO⊥EF∴四邊形OFCB是矩形則OF=BC，在Rt△ABC中，∠BACBC=∴OF∵OB∴∠OBA∵∠EBD∴∠EBO在Rt△EOB中，∴EF∴安裝雨棚的高度是合格的．【模型四：?jiǎn)我恍汀俊灸Ｐ头治觥繄D形中只有一個(gè)直角三角形，直接利用三角函數(shù)的定義，就能求出除已知條件外的邊、角．31．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖1是一間安裝有壁掛式空調(diào)的臥室的一部分，如圖2是該空調(diào)掛機(jī)的側(cè)面示意圖．已知空調(diào)掛機(jī)底部BC垂直于墻面CD，且當(dāng)導(dǎo)風(fēng)板所在的直線AE與豎直直線AB的夾角α為42°時(shí)，空調(diào)風(fēng)剛好吹到床的外邊沿E處，CD⊥ED于點(diǎn)D，AB⊥ED于點(diǎn)F．若AB=0.05m，BC=0.2m，床鋪ED=2.4m，求空調(diào)機(jī)的底部位置距離床的高度【答案】約為2.4【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)已知得出tan42°=EFAF是解題的關(guān)鍵．由題意根據(jù)已知得出EF【詳解】解：由題知，

四邊形BCDF是矩形，BC=0.2m，∴EF=ED在Rt△AEF中，∴AF∴CD=BF答：空調(diào)機(jī)的底部位置距離床的高度CD約為2.4m32．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，明代科學(xué)家徐光啟所著的《農(nóng)政全書》中記載了中國(guó)古代的一種采桑工具—桑梯，其簡(jiǎn)單示意圖如圖2，已知AB=AC=1.8m，AD=1.6m，AC與AB的夾角∠BAC為α．為保證安全，農(nóng)夫?qū)⑸Ｌ莘胖迷谒降孛嫔?，將夾角α調(diào)整為42°，并用鐵鏈鎖定B、C兩點(diǎn)、此時(shí)農(nóng)夫站在離頂端D處0.6m的E

【答案】農(nóng)夫所在的E處到地面的高度為2.6米．【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，先利用三角形內(nèi)角和等邊對(duì)等角求出∠B=∠C【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作EH⊥BC于

∵AB=AC=1.8米，∠BAC=∴∠B=∠C=1∴∠CEH在Rt△CEH中，答：農(nóng)夫所在的E處到地面的高度為2.6米．33．（23-24九年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）圖1是一輛登高云梯消防車的實(shí)物圖，圖2是其工作示意圖，起重臂AC是可伸縮的10m≤AC≤20m，且起重臂AC可繞點(diǎn)A在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，張角為∠CAE90°≤∠CAE≤155°，轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)A距離地面BD的高度AE【答案】該消防車能實(shí)施有效救援【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，當(dāng)AC=20m，∠CAE=150°時(shí)，過點(diǎn)C作CF⊥BD于F，過點(diǎn)A作AM⊥CF于點(diǎn)M，則四邊形AMFE是矩形，可得AE=MF=4【詳解】解：當(dāng)AC=20m，∠CAE=150°時(shí)，過點(diǎn)C作CF⊥BD于F，過點(diǎn)A作∴AE=MF=4∵∠CAE∴∠CAM在Rt△AMC中，∴CM=20?∴CF=∵21.32m∴該消防車能實(shí)施有效救援．34．（2024·湖北荊門·模擬預(yù)測(cè)）為了保護(hù)小吉的視力，媽媽為他購(gòu)買了可升降夾書閱讀架（如圖1)，將其放置在水平桌面上的側(cè)面示意圖（如圖2)，測(cè)得底座高AB為2cm，∠ABC=150°，支架BC為18cm，面板長(zhǎng)DE為24cm(1)求支點(diǎn)C離桌面l的高度：（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào))(2)小吉通過查閱資料，當(dāng)面板DE繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，面板與桌面的夾角α滿足30°≤α≤70°時(shí)，能保護(hù)視力．當(dāng)α從30°變化到70°的過程中，問面板上端E離桌面l的高度是增加了還是減少了？增加或減少了多少？（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，【答案】(1)支點(diǎn)C離桌面l的高度為93(2)當(dāng)α從30°變化到70°的過程中，面板上端E離桌面l的高度是增加了，增加了約7.9cm【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．把所求線段和所給角放在合適的直角三角形中是解決本題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)C作CF⊥l于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BM⊥CF于點(diǎn)M，易得四邊形ABMF為矩形，那么可得MF=AB=2cm，∠ABM=90°，所以∠MBC（2）過點(diǎn)C作CN∥l，過點(diǎn)E作EH⊥CN于點(diǎn)H，分別得到CE與CN所成的角為30°和70°時(shí)EH的值，相減即可得到面板上端【詳解】（1）解：過點(diǎn)C作CF⊥l于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BM⊥∴∠CFA=∠由題意得：∠BAF∴四邊形ABMF為矩形，∴MF=AB∵∠ABC∴∠MBC∵BC∴CM∴CF答：支點(diǎn)C離桌面l的高度為93（2）解：過點(diǎn)C作CN∥l，過點(diǎn)E作EH⊥∴∠EHC=90°∵DE=24cm∴CE當(dāng)∠ECH=30°時(shí)，當(dāng)∠ECH=70°時(shí)，∴16.92-9=7.92≈7.9∴當(dāng)α從30°變化到70°的過程中，面板上端E離桌面l的高度是增加了，增加了約7.9cm35．（23-24九年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖1是可調(diào)節(jié)高度和桌面角度的電腦桌，它的左視圖可以抽象成如圖2所示的圖形，底座AB長(zhǎng)為60cm，支架CD垂直平分AB，桌面EF的中點(diǎn)D固定在支架CD處，EF寬為60cm．身高為160cm的使用者M(jìn)N站立處點(diǎn)M與點(diǎn)A，B在同一條直線上，MA=20cm(1)如圖2，當(dāng)EF∥AB，CD=100(2)如圖3，使用者坐下時(shí)，高度MN下降50cm，當(dāng)桌面EF與CD的夾角∠CDE為35°時(shí)，恰有視線NF∥AB，問需要將支架CD調(diào)整到多少cm？（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57【答案】(1)視線距離NF的長(zhǎng)為100cm(2)需要將支架CD調(diào)整到85.4cm【分析】（1）連接NF，延長(zhǎng)FE交MN于點(diǎn)H，根據(jù)題意可得四邊形DHMC是矩形，MB=（2）連接NF，延長(zhǎng)CD交NF于點(diǎn)Q，由題意可得：CQ=MN=110cm，DF=本題考查了平行線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用及正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，連接NF，延長(zhǎng)FE交MN于點(diǎn)H，根據(jù)題意可得四邊形DHMC是矩形，∴MC=∵ED=FD=∴MB=HF=∴HM=CD=100∴NH=在Rt△NHF中，由勾股定理得：∴視線距離NF的長(zhǎng)為100cm（2）解：如圖，連接NF，延長(zhǎng)CD交NF于點(diǎn)Q，由題意可得：CQ=MN=160-50=110cm，DF=在Rt△QDF中，cos35°=∴DQ=24.6∴CD=∴需要將支架CD調(diào)整到85.4cm36．（2024·貴州安順·二模）森林防火不僅是政府和相關(guān)部門的責(zé)任，每個(gè)公民應(yīng)當(dāng)參與到森林防火工作中，了解相關(guān)防火知識(shí)并在日常生活中做出相應(yīng)的貢獻(xiàn)．如圖所示，AC在一條筆直公路上，公路兩旁是林地，位于森林防火卡點(diǎn)A的北偏東55°方向的B處發(fā)生火災(zāi)，防火員從卡點(diǎn)A去火災(zāi)處救援有兩種方案，方案1：防火員立即騎車沿正東方向行駛800米到達(dá)離B點(diǎn)最近的C處再跑步到B點(diǎn)救援；方案2：防火員從卡點(diǎn)A直接跑步前往B處救援．若防火員