第28章銳角三角函數(shù)單元提升卷【人教版】參考答案與試題解析選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（23-24九年級·北京·期末）在△ABC中，∠A和∠C都是銳角，且sinA=32A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．不能確定【答案】C【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)，等邊三角形判定，利用特殊角的三角函數(shù)值得出∠A及∠C的度數(shù)，繼而可判斷【詳解】解：由題意得，sinA=3∴∠A=60°，即△ABC故選：C．2．（3分）（23-24九年級·山東聊城·期末）如圖源于我國漢代數(shù)學家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為α，則cosα的值為（

A．34 B．43 C．85【答案】D【分析】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是準確識圖，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，難點是設(shè)置適當?shù)奈粗獢?shù)，利用勾股定理構(gòu)造方程求出三角形的邊．【詳解】解：∵小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，∴小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為5，設(shè)直角三角形中較短的直角邊為a，則較長的直角邊是a+1，其中a由勾股定理得：a2整理得：a解得：a1=3，∴a∴cosα故選：D．3．（3分）（23-24九年級·四川宜賓·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分線ED交AC于點D，連接BD，若BC=2A．65 B．57 C．67【答案】B【分析】本題考查了線段的垂直平分線，勾股定理，余弦函數(shù)的計算，設(shè)BD=AD=x，則【詳解】∵∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分線ED交AC∴設(shè)BD=則CD=∴12-x解得x=7∴CD=12-∴cos∠故選：B．4．（3分）（23-24九年級·四川宜賓·期末）如圖，點C是線段AB的中點，∠A=30°，∠DCB=45°，若A．210 B．35 C．43【答案】D【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理，過點D作DM⊥AB，交AB的延長線于點【詳解】解：過點D作DM⊥AB，交AB的延長線于點∵點C是線段AB的中點，AB∴AC=設(shè)DM=∵∠DCB∴CM=DM=∵∠A∴tanA解得x=∴BM=∴BD=故選D．5．（3分）（23-24九年級·湖北隨州·期末）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要應用．我們已經(jīng)知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值，現(xiàn)在來求tan22.5°的值：如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延長CB使BD=AB，連接AD，得∠D=22.5°．設(shè)A．3-2 B．2-3 C．3【答案】B【分析】本題考查了正切值的求解勾股定理，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB使BD=AB，連接【詳解】解：如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長設(shè)AC=1，則BA∴CD在Rt△tan15°=故選：B．6．（3分）（2024·廣東佛山·三模）如圖，網(wǎng)格中的點A、B、C、D都在小正方形頂點上，連接AB、CD交于點P，則∠BPC的正切值是（

A．2 B．32 C．52 D【答案】A【分析】本題考查了正切函數(shù)，勾股定理，正方形的性質(zhì)等，連接BE、AE，∠BDC=∠DBE=∠BED=∠AED=45°，由平行線的性質(zhì)得∠BPC=∠【詳解】解：如圖，連接BE、AE，由正方形的性質(zhì)得：∠BDC=∠DBE∴BE∥CD∴∠BPC∴AE=2BE=12∴tan∠ABE=∴tan故選：A．7．（3分）（23-24九年級·四川達州·期末）如圖，點C在線段AB上，等腰△ADC的頂角∠ADC=120°，點M是矩形CDEF的對角線DF的中點，連接MB，若AB=63，ACA．9-23 B．9-22 C．8-23【答案】A【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)等知識．連接EC，過點M作MJ⊥CD于J，交AB于T，根據(jù)矩形的性質(zhì)得DM=【詳解】解：如圖，連接EC，過點M作MJ⊥CD于J，交AB于∵四邊形EFCD是矩形，點M是DF的中點，∴點M是DF，EC的交點，∴MD∵MJ∴DJ∴點M在CD的垂直平分線上運動，當BM⊥MJ時，∵DA=DC，∠∴∠A∴CD∴CJ∴CT∵AB=63∴BT∵∠CJT=90°，∴∠BTM∴BM∴MB的最小值為9-2故選：A．8．（3分）（23-24九年級·重慶九龍坡·期末）如圖，矩形ABCD中，E為BC延長線上一點，連接AE、DE，若AE平分∠BED，AB=4，tan∠AEB=

A．12 B．17 C．20 D．21【答案】B【分析】由矩形的性質(zhì)可得出AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，結(jié)合已知條件可得出∠DAE=∠AED，由等角對等邊可得出AD=DE，【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC∴∠DAE∵AE平分∠BED∴∠∴∠DAE∴AD=∵tan∠AEB=∴BE=16設(shè)AD=∴CE=16-∵C∴4+16-∴x∴△ADE的面積：1故選∶B【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定以及性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計算，勾股定理的應用，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（3分）（23-24九年級·重慶北碚·階段練習）學校某數(shù)學興趣小組想測學校旗桿高度如圖，明明在稻香園一樓A點測得旗桿頂點F仰角為45°，在稻香園二樓B點測得點F的仰角為37°．明明從A點朝旗桿方向步行4米到C點，沿坡度i=1:3的臺階走到點D，再向前走5米到旗桿底部E，已知稻香園AB高度為4.5米，則旗桿EF的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.6，cos37°=0.8A．13.5米 B．15米 C．16.5米 D．18米【答案】B【分析】本題考查的是解直角三角形的應用?仰角與俯角問題以及坡度問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．延長FE、AC交于點G，作DH⊥AG于H，BM⊥FE于M，則△AFG是等腰直角三角形，得FG=AG=BM，由CD的坡度得CH=3DH，設(shè)EG=DH【詳解】解：如圖，延長FE、AC交于點G，作DH⊥AG于H，BM⊥則BM=AG，GM=AB=4.5米，GH=DE=5∴△AFG∴FG=∵CD的坡度i=1:3∴DHCH∴CH=3設(shè)EG=DH=∴BM=∴FM=在Rt△BFM中，∴4.5+3x解得：x=3∴FG=18米，EG∴EF=故選：B．10．（3分）（2024·浙江臺州·一模）如圖1是由四個全等的直角三角形組成的“風車”圖案，其中∠AOB=90°，延長直角三角形的斜邊恰好交于另一直角三角形的斜邊中點，得到如圖2，若IJ=2，則該“風車A．2+1 B．22 C．4-2【答案】B【分析】連接AC,由題意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，進而說明△OAC為等腰直角三角形，再說明分CD、GI垂直平分AB，進而說明∠OBH=∠OHB=45°，然后再運用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面積，最后求風車面積即可．【詳解】解：如圖：連接AC由題意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH∴OA=OC,∠OAB=∠OCD∵∠AOC=∠AOB=90°∴△OAC為等腰直角三角形又∵∠OAB=∠OCD：∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD又∵CJ=DJ∴AJ垂直平分CD同理：GI垂直平分AB∴AC=AD,AJ是等腰三角形頂角∠CAD的角平分線即∠DAJ=12∠CAD=1易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH又∵IB=IA∴IJ=IB+BJ=IH+IA=2在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°∴∠OBH=OHB=45°設(shè)OB=OH=a，即AH=BH=2OB=2a∴tan∠A=BOAO∴IH設(shè)IH=（2-1）x，AI∴IH+IA=2x=2，即x∴S△又∵S∴S△∴S∴S風車故選B．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活應用相關(guān)知識以及數(shù)形結(jié)合思想成為解答本題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（23-24九年級·山東威?！て谀┤鐖D，Rt△ABC中，∠C=90°，點D在AC上，∠DBC=∠A，若AC=4，【答案】15【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，由銳角三角函數(shù)求出BC，再由銳角三角函數(shù)求出CD，利用勾股定理即可求出BD的長度，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵∠C=90°，∴BCAC∵AC=4BC4∴BC=3∵∠DBC∴tan∠∴CDBC即CD3∴CD=∴BD=故答案為：15412．（3分）（23-24九年級·上海普陀·階段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC邊的中點，過點D作DE⊥AB，垂足為E【答案】5【分析】本題主要考查了解直角三角形，先由線段中點的定義得到AC=4，則由勾股定理可得BC=25，則cosB=【詳解】解：∵D是AC邊的中點，AD=2∴AC=2∵∠C∴由勾股定理得BC=∴cosB∵DE⊥∴∠A又∵∠A∴∠ADE∴cos∠故答案為：5313．（3分）（23-24九年級·江蘇常州·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足為D．給出下列四個結(jié)論：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正確的結(jié)論有.【答案】①②③④【分析】根據(jù)∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用銳角三角函數(shù)的定義可列式進行逐項判斷．【詳解】∵∠A=90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B，∠β=∠C，∴sinα=sinB，故①正確；sinβ=sinC，故②正確；∵在Rt△ABC中sinB=ACBC，cosC=AC∴sinB=cosC，故③正確；∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，∴sinα=cos∠β，故④正確；故答案為①②③④．【點睛】本題主要考查銳角的三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握互余兩角的三角函數(shù)間的關(guān)系．14．（3分）（2024·甘肅武威·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上一點，∠AED=90°,∠EAD=30°,F是AD邊的中點，EF【答案】6【分析】先利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解AD,再利用銳角三角函數(shù)依次求解AE【詳解】解：∵∠AED=90°,F是AD邊的中點，∴AD∵∠DAE∴AE∵矩形ABCD，∴AD∴∠AEB∴BE故答案為：6.【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，銳角三角函數(shù)的應用，掌握銳角三角函數(shù)的應用是解題的關(guān)鍵．15．（3分）（23-24九年級·江蘇宿遷·期末）如圖，光源A-3,2發(fā)出的一束光（y軸）上的點B的反射光線BC交x軸于點C-1,0，再被平面鏡（x軸），則直線CD【答案】y【分析】根據(jù)反射定律，∠ABD=∠CBE，設(shè)點B0,b，由tan∠ABD=tan∠CBE，得到2-本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、正切定義，解題的關(guān)鍵是：設(shè)出點B坐標．【詳解】解：設(shè)點B的坐標為0,b，過點B作y軸的垂線，過點A作垂直于該直線的垂線相交于點D，作CE⊥BD根據(jù)反射定律，∠ABD∴tan∠∴2-b3=∴B0,設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m，將點A-3,2，∴直線AB的解析式為：y=-∵AB∥∴直線AB和CD解析式中的k值相等，設(shè)直線CD的解析式為y=-12x+n，將點∴直線CD的解析式為：y=-故答案為：y=-16．（3分）（23-24九年級·湖北·期末）如圖，矩形ABCD中，AB:BC=3:5，將矩形ABCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形CEGF，若點E在AD上，連接BF，DF，則BF【答案】130【分析】過F作FP⊥CD于點P，交AB于點Q，由旋轉(zhuǎn)和矩形的性質(zhì)可得：AB=CD=CF，BC=CE，∠ECF=∠BCD=90°，設(shè)AB=CD=CF=3a，則CE=BC=5a，根據(jù)勾股定理求出CD=4【詳解】解：如圖，過F作FP⊥CD于點P，交AB于點由旋轉(zhuǎn)和矩形的性質(zhì)可得：AB=CD=CF，∵AB:∴設(shè)AB=CD=在Rt△CDE中，∴cos∠∵∠DEC+∠DCE∴∠DEC∴cos∠∴PC=∴PF=CF∴DF=∵∠ABC∴四邊形BCPQ是矩形，∴BQ=PC=∴QF=∴BF=∴BFDF故答案為：1303【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運用相關(guān)知識．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（23-24九年級·福建南平·期末）計算：(1)3sin(2)tan60°+2【答案】(1)5(2)3【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)值、實數(shù)的混合運算；熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．（1）代入特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)實數(shù)的運算，可得答案；（2）代入特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)實數(shù)的運算，可得答案．【詳解】（1）3=3×==5（2）解：tan==318．（6分）（23-24九年級·江西·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是邊AB的中點，BE⊥CD，垂足為(1)求CD的長．(2)求∠DBE【答案】(1)5(2)7【分析】本題考查了正弦與余弦、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握正弦與余弦的概念是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)余弦的定義可得AB=10（2）先求出cos∠BCE=cos∠ABC=【詳解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴cos∠∴AB=8×∵D是邊AB的中點，∴CD=所以CD的長為5．（2）解：∵D是斜邊AB的中點，∴CD=∴∠BCE∴cos∠∵BE⊥∴cos∠BCE=解得CE=∴DE=∴sin∠所以∠DBE的正弦值為719．（8分）（23-24九年級·江蘇常州·期末）小強在學習“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，這樣就可以求出67.5°角的正切值．你能說明小強這樣做的道理嗎？寫出你的說理過程！【答案】理由見解析．【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，正切的定義，設(shè)AB=x，由第一次折疊可得AB=BE=x，∠AEB=∠EAB【詳解】解：設(shè)AB=∵將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，∴AB=BE=∴AE=∵還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，∴AE=EF=∴∠FAB∴tan20．（8分）（23-24九年級·安徽·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C'(1)連接AA'，求證：(2)若BC=1，求點A到直線A【答案】(1)證明見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)，得到AC=3BC，證明△（2）過點A作AD⊥A'C于點D．求出【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，∴AC=∵將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△∴CA=C'A'∴△CBB'∴AA'=∴AA（2）解：如圖，過點A作AD⊥A'

∵BC=1∴AC=∴CD=∵△CA∴∠CA∴∠CAD∵tan∠∴AD=∴點A到直線A'C的距離為【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應用，作出適當?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．21．（8分）（23-24九年級·重慶榮昌·期末）今年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬，如圖，媽媽位于游客中心A的正北方向的B處，其中AB=2km，明明位于游客中心A的西北方向的C處．烈日當空，媽媽準備把包里的太陽帽給明明送去，于是，媽媽向正西方向勻速步行，同時明明騎馬向南偏東60°方向緩慢前進．15分鐘后，他們再游客中心A的北偏西37°方向的點

(1)求媽媽步行的速度；(2)求明明從C處到D處的距離．【答案】(1)媽媽步行的速度為6(2)明明從C處到D處的距離約為1+【分析】本題考查解直角三角形的應用-方向角問題，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形，掌握方向角定義．（1）根據(jù)正切函數(shù)求出BD的長，即路程，則速度=路程÷時間，代入計算即可；（2）過點C作CE⊥AB交AB延長線于點E，設(shè)AE=CE=akm，過點D作DF⊥CE于點F【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知：AB=2∴BD=∴1.5÷15答：媽媽步行的速度為6km/h（2）解：如圖，過點C作CE⊥AB交AB延長線于點

∵∠CAE∴△AEC∴AE=設(shè)AE=過點D作DF⊥CE于點F，得矩形∴EF=DB=1.5∴CF=在Rt△CDF中，∴tan30°=∴33∴a=∴DF=∴CD=2答：明明從C處到D處的距離約為1+322．（8分）（23-24九年級·河北石家莊·期末）【網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)】求一個銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出一個直角三角形，在網(wǎng)格中更有利于我們發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造一些直角三角形．(1)如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點叫格點．△ABC的頂點都在格點上，則cos∠ABC(2)如圖，在邊長為l的正方形網(wǎng)格中，連接格點D,N和E,C，DN和EC相交于點P，結(jié)合下面的分析，直接寫出【分析】觀察發(fā)現(xiàn)問題中∠CPN不在直角三角形中，我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)移，從而解決此類問題，比如連接格點M,N，可得MN∥EC，則∠DNM=∠(3)如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點P，則sin∠CPN的值為【答案】(1)4(2)2(3)2【分析】（1）過點A作AD⊥BC，交BC延長線于點D，由圖可知點D在格點上，由勾股定理可得AB=5，然后在Rt（2）由平行線的性質(zhì)可得∠CPN=∠DNM，即有tan∠CPN（3）取格點D，連接CD,DM，由平行線的性質(zhì)可得∠CPN=∠DCM，由圖易知△【詳解】（1）解：如下圖，過點A作AD⊥BC，交BC延長線于點由圖可知點D在格點上，AD=3,∴AB=∴cos∠故答案為：45（2）∵MN∥∴∠CPN∴tan∠∵∠DMN∴tan∠故答案為：2；（3）如下圖，取格點D，連接CD,∵CD∥∴∠CPN∵△DCM∴∠DCM∴sin∠故答案為：22【點睛】本題主要考查了格點三角形、平行線的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題關(guān)鍵是運用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．23．（8分）（2024·北京·二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊的中線，DE⊥BC于E，連接CD，點P在射線(1)如果∠①如圖1，DE與BE之間的數(shù)量關(guān)系是______②如圖2，點P在線段CB上，連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，