第講人造衛(wèi)星宇宙速度[教材閱讀指導(dǎo)](對應(yīng)人教版必修第二冊相關(guān)內(nèi)容及問題)第七章第4節(jié)閱讀“宇宙速度”這一部分內(nèi)容，發(fā)射地球衛(wèi)星的最小速度是多少？有哪兩種計算方法？提示：7.9km/s。方法一：eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)，v＝eq\r(\f(GM,R))＝7.9km/s；方法二：mg＝eq\f(mv2,R)，v＝eq\r(gR)＝7.9km/s。第七章第4節(jié)[科學(xué)漫步]，黑洞的特點是什么？提示：黑洞是引力非常大的天體，光以3×108m/s的速度都不能從其表面逃逸。第七章[復(fù)習(xí)與提高]B組T4；T6。提示：T4：4h。地球自轉(zhuǎn)周期變小，衛(wèi)星要與地球保持同步，則衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期也應(yīng)隨之變小，由eq\f(Gm地m,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得T＝eq\r(\f(4π2r3,Gm地))，故衛(wèi)星與地球間的距離變小。要想僅用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn)地球赤道上任意兩點之間保持無線電通信的目的，最小的軌道半徑對應(yīng)的幾何關(guān)系為衛(wèi)星連線正好和地球相切，如圖所示。由幾何關(guān)系可推出最小半徑，從而得到最小周期。T6：t≈1.1年。海王星的軌道半徑最大，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短。行星沖日現(xiàn)象可類比田徑場跑道上的運動員的追及相遇問題。軌道半徑越大的行星公轉(zhuǎn)周期越長，軌道半徑越小的行星公轉(zhuǎn)周期越短，公轉(zhuǎn)周期短的不斷超越公轉(zhuǎn)周期長的。地外行星的公轉(zhuǎn)周期都比地球的公轉(zhuǎn)周期長，地球的公轉(zhuǎn)周期最短，每超越一次就發(fā)生一次沖日。行星與地球的公轉(zhuǎn)周期相差越大，沖日的周期就越短。必備知識梳理與回顧一、人造衛(wèi)星的運動規(guī)律1．環(huán)繞天體(衛(wèi)星)運行問題分析將環(huán)繞天體或衛(wèi)星的運動看成eq\x(\s\up1(01))勻速圓周運動，其所需向心力由中心天體對其的eq\x(\s\up1(02))萬有引力提供。2．物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律Geq\f(Mm,r2)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ma→a＝\x(\s\up1(03))\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\x(\s\up1(04))\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\x(\s\up1(05))\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\x(\s\up1(06))\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))即r越大，v、ω、aeq\x(\s\up1(07))越小，Teq\x(\s\up1(08))越大。(越高越慢)3．人造衛(wèi)星衛(wèi)星運行的軌道平面一定通過地心，一般分為赤道軌道、極地軌道和其他軌道，地球同步衛(wèi)星的軌道是赤道軌道。(1)極地衛(wèi)星運行時每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋。(2)地球同步衛(wèi)星①其中的靜止衛(wèi)星，軌道平面與eq\x(\s\up1(09))赤道共面，且與地球自轉(zhuǎn)的方向相同。②周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝eq\x(\s\up1(10))24h＝86400s。③角速度大小一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度大小相同。④高度一定：據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))＝4.23×104km，衛(wèi)星離地面高度h＝r－R≈6R(為恒量)。(3)近地衛(wèi)星近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其運行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9km/s。二、第一宇宙速度1．第一宇宙速度數(shù)值為eq\x(\s\up1(01))7.9km/s。2．第一宇宙速度是物體在eq\x(\s\up1(02))地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動時具有的速度。3．第一宇宙速度是在地面附近發(fā)射飛行器，使飛行器成為繞地球運動的人造地球衛(wèi)星的最小eq\x(\s\up1(03))發(fā)射速度，也是飛行器環(huán)繞地球運動的最大eq\x(\s\up1(04))環(huán)繞速度。4．第一宇宙速度的計算方法(1)由Geq\f(mm地,R2)＝meq\f(v2,R)，解得：v＝eq\x(\s\up1(05))eq\r(\f(Gm地,R))；(2)由mg＝meq\f(v2,R)，解得：v＝eq\x(\s\up1(06))eq\r(gR)。三、第二宇宙速度和第三宇宙速度1．第二宇宙速度在地面附近發(fā)射飛行器，使飛行器掙脫eq\x(\s\up1(01))地球引力束縛，永遠離開地球的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為eq\x(\s\up1(02))11.2km/s。2．第三宇宙速度在地面附近發(fā)射飛行器，使飛行器掙脫eq\x(\s\up1(03))太陽引力束縛，飛到太陽系外的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為eq\x(\s\up1(04))16.7km/s。四、相對論時空觀與牛頓力學(xué)的局限性1．相對論時空觀(1)愛因斯坦的兩個假設(shè)：在不同的慣性參考系中，物理規(guī)律的形式都是eq\x(\s\up1(01))相同的；真空中的光速在不同的慣性參考系中大小都是eq\x(\s\up1(02))相同的。(2)同時的相對性：根據(jù)愛因斯坦的假設(shè)，如果兩個事件在一個參考系中是同時的，在另一個參考系中eq\x(\s\up1(03))不一定是同時的。(3)愛因斯坦假設(shè)的結(jié)果①時間延緩效應(yīng)如果相對于地面以v運動的慣性參考系上的人觀察到與其一起運動的物體完成某個動作的時間間隔為Δτ，地面上的人觀察到該物體完成這個動作的時間間隔為Δt，那么兩者之間的關(guān)系是Δt＝eq\x(\s\up1(04))eq\f(Δτ,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))\s\up12(2)))。②長度收縮效應(yīng)如果與桿相對靜止的人測得桿長是l0，沿著桿的方向，以v相對桿運動的人測得桿長是l，那么兩者之間的關(guān)系是l＝eq\x(\s\up1(05))l0eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))\s\up12(2))。2．牛頓力學(xué)的成就與局限性(1)牛頓力學(xué)的成就牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)是eq\x(\s\up1(06))牛頓運動定律。牛頓力學(xué)在eq\x(\s\up1(07))宏觀、eq\x(\s\up1(08))低速的廣闊領(lǐng)域里與實際相符，顯示了牛頓運動定律的正確性和牛頓力學(xué)的魅力。(2)牛頓力學(xué)的局限性①物體在以接近eq\x(\s\up1(09))光速運動時所遵從的規(guī)律，有些是與牛頓力學(xué)的結(jié)論并不相同的。②電子、質(zhì)子、中子等微觀粒子不僅具有粒子性，同時還具有eq\x(\s\up1(10))波動性，它們的運動規(guī)律在很多情況下不能用牛頓力學(xué)來說明，而eq\x(\s\up1(11))量子力學(xué)能夠很好地描述微觀粒子運動的規(guī)律。③基于實驗檢驗的牛頓力學(xué)不會被新的科學(xué)成就所否定，而是作為某些條件下的eq\x(\s\up1(12))特殊情形，被包括在新的科學(xué)成就之中。當(dāng)物體的運動速度eq\x(\s\up1(13))遠小于光速c時，eq\x(\s\up1(14))相對論物理學(xué)與牛頓力學(xué)的結(jié)論沒有區(qū)別；當(dāng)另一個重要常數(shù)即普朗克常量h可以忽略不計時，eq\x(\s\up1(15))量子力學(xué)和牛頓力學(xué)的結(jié)論沒有區(qū)別。相對論與量子力學(xué)都沒有否定過去的科學(xué)，而只認(rèn)為過去的科學(xué)是自己在eq\x(\s\up1(16))一定條件下的特殊情形。一、堵點疏通1．人造地球衛(wèi)星繞地球運動，其軌道平面一定過地心。()2．地球同步衛(wèi)星一定在赤道的正上方。()3．地球同步衛(wèi)星的運行速度一定小于地球第一宇宙速度。()4．發(fā)射火星探測器的速度必須大于11.2km/s。()答案1.√2.×3.√4.√二、對點激活1．(教科版必修第二冊·第三章[本章復(fù)習(xí)題]T3改編)經(jīng)國際小行星命名委員會命名的“神舟星”和“楊利偉星”的軌道均處在火星和木星軌道之間，已知“神舟星”平均每天繞太陽運行174萬公里，“楊利偉星”平均每天繞太陽運行145萬公里，假設(shè)兩行星均繞太陽做勻速圓周運動，則兩星相比較()A．“神舟星”的軌道半徑大B．“神舟星”的公轉(zhuǎn)周期大C．“神舟星”的加速度大D．“神舟星”受到的向心力大答案C解析由題意可知，相同時間t內(nèi)，“神舟星”繞太陽運行的弧長較“楊利偉星”的弧長長，根據(jù)v＝eq\f(l,t)知，兩星相比較，“神舟星”的線速度v大，設(shè)太陽質(zhì)量為M，行星質(zhì)量為m，行星軌道半徑為r，根據(jù)萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得r＝eq\f(GM,v2)，則“神舟星”的軌道半徑小，A錯誤；根據(jù)T＝eq\f(2πr,v)知，“神舟星”的軌道半徑小，線速度大，則“神舟星”的公轉(zhuǎn)周期小，B錯誤；根據(jù)a＝eq\f(v2,r)知，“神舟星”的加速度大，C正確；兩行星質(zhì)量大小關(guān)系未知，故無法比較兩星受到的向心力的大小，D錯誤。2．(人教版必修第二冊·第七章第4節(jié)[練習(xí)與應(yīng)用]T4改編)火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的eq\f(1,10)和eq\f(1,2)，地球的第一宇宙速度為v，則火星的第一宇宙速度約為()A.eq\f(\r(5),5)v B.eq\r(5)vC.eq\r(2)v D.eq\f(\r(2),2)v答案A解析由eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)求得第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，故eq\f(v火,v)＝eq\r(\f(M火,M)·\f(R,R火))＝eq\r(\f(1,5))，所以v火＝eq\f(\r(5),5)v，故A正確。關(guān)鍵能力發(fā)展與提升考點一衛(wèi)星運行參量的分析深化理解1．分析人造衛(wèi)星的運動規(guī)律的兩條思路(1)萬有引力提供向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝man。(2)天體對其表面的物體的萬有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg或gR2＝GM(R、g分別是天體的半徑、表面重力加速度)，公式gR2＝GM應(yīng)用廣泛，被稱為“黃金代換”。2．地球衛(wèi)星的運行參數(shù)(將衛(wèi)星軌道視為圓)物理量推導(dǎo)依據(jù)表達式最大值或最小值線速度Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)v＝eq\r(\f(GM,r))當(dāng)r＝R時有最大值，v＝7.9km/s角速度Geq\f(Mm,r2)＝mω2rω＝eq\r(\f(GM,r3))當(dāng)r＝R時有最大值周期Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)rT＝2πeq\r(\f(r3,GM))當(dāng)r＝R時有最小值，約85min向心加速度Geq\f(Mm,r2)＝manan＝eq\f(GM,r2)當(dāng)r＝R時有最大值，最大值為g軌道平面圓周運動的圓心與中心天體中心重合考向1衛(wèi)星運行參量比較例1(2023·天津高考)運行周期為24h的北斗衛(wèi)星比運行周期為12h的中圓軌道衛(wèi)星()A．加速度大 B．角速度大C．周期小 D．線速度小[答案]D[解析]根據(jù)題意，由開普勒第三定律可知，北斗衛(wèi)星比中圓軌道衛(wèi)星的周期大，則軌道半徑大；根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝ma，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，a＝eq\f(GM,r2)，與中圓軌道衛(wèi)星相比，北斗衛(wèi)星的軌道半徑大，則線速度小，角速度小，加速度小。故D正確，A、B、C錯誤。例2(2023·江蘇高考)設(shè)想將來發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，能在月球繞地球運動的軌道上穩(wěn)定運行，該軌道可視為圓軌道。該衛(wèi)星與月球相比，一定相等的是()A．質(zhì)量B．向心力大小C．向心加速度大小D．受到地球的萬有引力大小[答案]C[解析]設(shè)地球質(zhì)量為M，質(zhì)量為m的物體以半徑r繞地球做勻速圓周運動時，根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)。因該衛(wèi)星與月球的軌道半徑相同，可知向心加速度大小一定相等；由地球?qū)υ虑蚣靶l(wèi)星的萬有引力分別提供月球及衛(wèi)星繞地球勻速圓周運動的向心力，并結(jié)合題設(shè)條件、萬有引力定律可知，C正確，A、B、D錯誤?？枷?同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星和赤道上物體的比較例3有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星：a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球表面一起轉(zhuǎn)動；b在地球的近地圓軌道上正常運行；c是地球同步衛(wèi)星；d是高空探測衛(wèi)星。各衛(wèi)星排列位置如圖，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)的向心加速度大于b的向心加速度B．四顆衛(wèi)星的速度大小關(guān)系是：va＞vb＞vc＞vdC．在相同時間內(nèi)d轉(zhuǎn)過的弧長最長D．d的運動周期可能是30h[答案]D[解析]由題意可知，衛(wèi)星a、c的角速度相同，根據(jù)an＝ω2r，可知a的向心加速度小于c；b、c是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力有：Geq\f(Mm,r2)＝man，得：an＝eq\f(GM,r2)，可知b的向心加速度大于c；綜上分析可知，a的向心加速度小于b的向心加速度，故A錯誤。因為a、c的角速度相同，根據(jù)v＝ωr，可知a的速度大小小于c，即va＜vc；b、c、d是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力有：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得：v＝eq\r(\f(GM,r))，因rb＜rc＜rd，則vb＞vc＞vd，故B錯誤。因b的線速度最大，則在相同時間內(nèi)b轉(zhuǎn)過的弧長最長，故C錯誤。c、d是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力得：T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，因d的軌道半徑大于c的軌道半徑，則d的周期大于c，而c的周期是24h，則d的運動周期可能是30h，故D正確?！靖M訓(xùn)練】1.(2023·新課標(biāo)卷)2023年5月，世界現(xiàn)役運輸能力最大的貨運飛船天舟六號，攜帶約5800kg的物資進入距離地面約400km(小于地球同步衛(wèi)星與地面的距離)的軌道，順利對接中國空間站后近似做勻速圓周運動。對接后，這批物資()A．質(zhì)量比靜止在地面上時小B．所受合力比靜止在地面上時小C．所受地球引力比靜止在地面上時大D．做圓周運動的角速度大小比地球自轉(zhuǎn)角速度大答案D解析根據(jù)相對論可知，物體的質(zhì)量會隨著它運動速度的增大而增大，但物體在低速(速度遠小于光速)條件下質(zhì)量可視為保持不變，即對接后，這批物資的質(zhì)量和靜止在地面上時相同，A錯誤；對接后，這批物資近似做勻速圓周運動，所受合力提供向心力，而靜止在地面上時所受合力為零，所以對接后，這批物資所受合力比靜止在地面上時大，B錯誤；由萬有引力定律可知，對接后，這批物資與地心的距離比靜止在地面上時大，則所受地球引力比靜止在地面上時小，C錯誤；物體繞地球做勻速圓周運動時，萬有引力提供向心力，有eq\f(GMm,r2)＝mω2r，解得角速度ω＝eq\r(\f(GM,r3))，對接后，這批物資的軌道半徑比地球同步衛(wèi)星小，因此這批物資做圓周運動的角速度大小比地球同步衛(wèi)星大，又地球同步衛(wèi)星做圓周運動的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，故這批物資做圓周運動的角速度大小比地球自轉(zhuǎn)角速度大，D正確?？枷?衛(wèi)星運行參量分析例4(2023·山東高考)牛頓認(rèn)為物體落地是由于地球?qū)ξ矬w的吸引，這種吸引力可能與天體間(如地球與月球)的引力具有相同的性質(zhì)，且都滿足F∝eq\f(Mm,r2)。已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，根據(jù)牛頓的猜想，月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為()A．30πeq\r(\f(r,g)) B．30πeq\r(\f(g,r))C．120πeq\r(\f(r,g)) D．120πeq\r(\f(g,r))[答案]C[解析]設(shè)比例式F∝eq\f(Mm,r2)中的比例系數(shù)為G，地球半徑為R，由題知，地球表面的重力加速度為g，則對地球表面質(zhì)量為m物的物體有m物g＝Geq\f(M地m物,R2)，月球繞地球公轉(zhuǎn)有Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T2)r，r＝60R，聯(lián)立解得月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期T＝120πeq\r(\f(r,g))，故選C。例5(2023·廣東高考)如圖a所示，太陽系外的一顆行星P繞恒星Q做勻速圓周運動。由于P的遮擋，探測器探測到Q的亮度隨時間做如圖b所示的周期性變化，該周期與P的公轉(zhuǎn)周期相同。已知Q的質(zhì)量為M，引力常量為G，關(guān)于P的公轉(zhuǎn)，下列說法正確的是()A．周期為2t1－t0B．半徑為eq\r(3,\f(GM（t1－t0）2,4π2))C．角速度的大小為eq\f(π,t1－t0)D．加速度的大小為eq\r(3,\f(2πGM,t1－t0))[答案]B[解析]由圖b可知，探測器探測到Q的亮度的變化周期為T＝t1－t0，則P的公轉(zhuǎn)周期也為T＝t1－t0，A錯誤；根據(jù)萬有引力提供P繞Q做勻速圓周運動的向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得P公轉(zhuǎn)的半徑為r＝eq\r(3,\f(GM（t1－t0）2,4π2))，故B正確；P公轉(zhuǎn)的角速度大小為ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,t1－t0)，故C錯誤；P公轉(zhuǎn)的加速度大小為a＝ω2r＝eq\f(2π,t1－t0)eq\r(3,\f(2πGM,t1－t0))，故D錯誤。衛(wèi)星運行參量分析問題的解題技巧(1)靈活運用衛(wèi)星運動的動力學(xué)方程的不同表述形式：Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r＝m(2πf)2r。(2)比較衛(wèi)星與地球表面的物體的運動參量時，可以間接通過比較衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的參量來確定。【跟進訓(xùn)練】2.(2021·遼寧高考)(多選)2021年2月，我國首個火星探測器“天問一號”實現(xiàn)了對火星的環(huán)繞。若已知該探測器在近火星圓軌道與在近地球圓軌道運行的速率比和周期比，則可求出火星與地球的()A．半徑比 B．質(zhì)量比C．自轉(zhuǎn)角速度比 D．公轉(zhuǎn)軌道半徑比答案AB解析設(shè)該探測器在近火星圓軌道與在近地球圓軌道運行的速率比eq\f(v火,v地)＝a，周期比eq\f(T火,T地)＝b。探測器在近星球軌道做圓周運動時，其軌道半徑等于星球的半徑，所以根據(jù)2πR＝vT可得火星與地球的半徑比eq\f(R火,R地)＝eq\f(v火,v地)·eq\f(T火,T地)＝ab，故A正確；根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得M＝eq\f(v2R,G)，所以火星與地球的質(zhì)量比eq\f(M火,M地)＝eq\f(veq\o\al(2,火),veq\o\al(2,地))·eq\f(R火,R地)＝a2·ab＝a3b，故B正確；由于不知道火星與地球的同步衛(wèi)星軌道半徑比或自轉(zhuǎn)周期比，所以無法求解火星與地球的自轉(zhuǎn)角速度比，故C錯誤；由于不知道火星與地球圍繞太陽公轉(zhuǎn)的速度比或周期比，所以無法求解火星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑比，故D錯誤?？键c二宇宙速度深化理解1．三種宇宙速度的理解宇宙速度數(shù)值km/s)意義第一宇宙速度7.9這是在地面附近發(fā)射飛行器，使飛行器成為繞地球運動的人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，若7.9km/s≤v<11.2km/s，飛行器繞地球運行第二宇宙速度11.2這是在地面附近發(fā)射飛行器，使飛行器掙脫地球引力束縛，永遠離開地球的最小發(fā)射速度，若11.2km/s≤v<16.7km/s，飛行器將永遠離開地球，但還無法脫離太陽對它的引力第三宇宙速度16.7這是在地面附近發(fā)射飛行器，使飛行器掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，若v≥16.7km/s，飛行器將飛到太陽系外2.第一宇宙速度的推導(dǎo)及拓展(1)第一宇宙速度的推導(dǎo)有兩種方法：①由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,R))；②由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)。(2)第一宇宙速度的公式不僅適用于地球，也適用于其他星球，只是M、R、g必須與相應(yīng)星球?qū)?yīng)，不能套用地球的參數(shù)。例6(2020·北京高考)我國首次火星探測任務(wù)被命名為“天問一號”。已知火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的10%，半徑約為地球半徑的50%，下列說法正確的是()A．火星探測器的發(fā)射速度應(yīng)大于地球的第二宇宙速度B．火星探測器的發(fā)射速度應(yīng)介于地球的第一和第二宇宙速度之間C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度[答案]A[解析]當(dāng)發(fā)射速度大于地球的第二宇宙速度時，火星探測器才能克服地球引力的束縛進入太陽系空間，從而被火星引力俘獲，故A正確，B錯誤；對于在星球表面附近做勻速圓周運動的物體，所受萬有引力提供向心力，則有eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mveq\o\al(2,1),R)，解得該星球的第一宇宙速度為v1＝eq\r(\f(GM,R))，所以火星的第一宇宙速度為v火＝eq\r(\f(GM火,R火))＝eq\r(\f(\a\vs4\al(10%GM地),50%R地))＝eq\f(\r(5),5)v地，即火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C錯誤；對于在星球表面的物體，忽略星球的自轉(zhuǎn)，則所受萬有引力近似等于物體在該星球所受的重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg星，解得該星球表面的重力加速度g星＝eq\f(GM,R2)，所以火星表面的重力加速度為g火＝eq\f(GM火,Req\o\al(2,火))＝eq\f(10%GM地,（50%）2Req\o\al(2,地))＝eq\f(2,5)g地，即火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D錯誤。例7(2022·海南高考)(多選)火星與地球的質(zhì)量比為a，半徑比為b，則它們的第一宇宙速度之比和表面的重力加速度之比分別是()A.eq\f(g火,g地)＝eq\f(a,b) B.eq\f(v火,v地)＝eq\r(\f(a,b))C.eq\f(g火,g地)＝eq\f(a,b2) D.eq\f(v火,v地)＝eq\r(\f(b,a))[答案]BC[解析]由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得星球的第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，則火星與地球的第一宇宙速度之比是eq\f(v火,v地)＝eq\r(\f(M火R地,M地R火))＝eq\r(\f(a,b))，故B正確，D錯誤；由Geq\f(Mm,R2)＝mg，可得星球表面的重力加速度g＝eq\f(GM,R2)，則火星表面與地球表面的重力加速度之比是eq\f(g火,g地)＝eq\f(M火Req\o\al(2,地),M地Req\o\al(2,火))＝eq\f(a,b2)，故A錯誤，C正確。例8(2023·湖南高考)根據(jù)宇宙大爆炸理論，密度較大區(qū)域的物質(zhì)在萬有引力作用下，不斷聚集可能形成恒星。恒星最終的歸宿與其質(zhì)量有關(guān)，如果質(zhì)量為太陽質(zhì)量的1～8倍將坍縮成白矮星，質(zhì)量為太陽質(zhì)量的10～20倍將坍縮成中子星，質(zhì)量更大的恒星將坍縮成黑洞。設(shè)恒星坍縮前后可看成質(zhì)量均勻分布的球體，質(zhì)量不變，體積縮小，自轉(zhuǎn)變快。不考慮恒星與其它物體的相互作用。已知逃逸速度為第一宇宙速度的eq\r(2)倍，中子星密度大于白矮星。根據(jù)萬有引力理論，下列說法正確的是()A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同B．恒星坍縮后表面兩極處的重力加速度比坍縮前的大C．恒星坍縮前后的第一宇宙速度不變D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度[答案]B[解析]恒星可看成質(zhì)量均勻分布的球體，某物體在同一恒星表面任意位置受到大小相等的萬有引力，萬有引力提供重力加速度和隨恒星自轉(zhuǎn)做圓周運動的向心加速度，各位置轉(zhuǎn)動的角速度相同，軌道半徑可能不同，由a向＝rω2可知，不同位置向心加速度大小可能不同，故不同位置重力加速度的大小可能不同，A錯誤；恒星兩極處自轉(zhuǎn)的向心加速度為零，恒星對兩極處表面物體的萬有引力等于物體的重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得g＝eq\f(GM,R2)，恒星坍縮前后質(zhì)量不變，體積縮小，則半徑縮小，可知恒星坍縮后表面兩極處的重力加速度比坍縮前的大，B正確；由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，恒星坍縮前后質(zhì)量不變，半徑縮小，故第一宇宙速度變大，C錯誤；由質(zhì)量分布均勻球體的質(zhì)量表達式M＝eq\f(4π,3)R3ρ得R＝eq\r(3,\f(3M,4πρ))，逃逸速度為v′＝eq\r(2)v＝eq\r(\f(2GM,R))，聯(lián)立整理得v′2＝4Geq\r(3,\f(\a\vs4\al(πρM2),6))，由題意可知中子星的質(zhì)量和密度均大于白矮星，則中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D錯誤?？键c三體的“追及相遇”問題拓展延伸1．天體“追及相遇”問題的理解天體“追及相遇”，指兩天體在各自軌道繞中心天體公轉(zhuǎn)時，周期性地追趕至相距最近。以地球和太陽系內(nèi)其他某地外行星為例，某時刻行星與地球最近(“行星沖日”)，此時行星、地球與太陽三者共線且行星和地球的運轉(zhuǎn)方向相同，如圖甲所示，根據(jù)eq\f(GMm,r2)＝mω2r可知，地球公轉(zhuǎn)的角速度ω1較大，行星公轉(zhuǎn)的角速度ω2較小，地球與行星的距離再次最小時，地球比行星多轉(zhuǎn)一圈。2．解決天體“追及相遇”問題的兩種方法(1)根據(jù)角度關(guān)系列式設(shè)從圖甲位置至又相距最近所用時間為t，則ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3…)可解得t＝eq\f(2nπ,ω1－ω2)(n＝1，2，3…)。(2)根據(jù)圈數(shù)關(guān)系列式設(shè)從圖甲位置至又相距最近所用時間為t，則eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝n(n＝1，2，3…)可解得t＝eq\f(nT1T2,T2－T1)(n＝1，2，3…)。設(shè)從圖甲相距最近位置到相距最遠位置(圖乙)所用時間為t′，同理有關(guān)系式：ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)或eq\f(t′,T1)－eq\f(t′,T2)＝eq\f(2n－1,2)(n＝1，2，3…)。例9(2023·浙江1月選考)太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動。當(dāng)?shù)厍蚯『眠\行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象，稱為“行星沖日”。已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表：行星名稱地球火星木星土星天王星海王星軌道半徑R/AU1.01.55.29.51930則相鄰兩次“沖日”時間間隔約為()A．火星365天 B．火星800天C．天王星365天 D．天王星800天[答案]B[解析]根據(jù)開普勒第三定律有eq\f(Req\o\al(3,星),Teq\o\al(2,星))＝eq\f(Req\o\al(3,地),Teq\o\al(2,地))，設(shè)相鄰兩次“沖日”時間間隔為t，則2π＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T地)－\f(2π,T星)))t，聯(lián)立解得t＝eq\f(T星T地,T星－T地)＝eq\f(T地,1－\r(\f(Req\o\al(3,地),Req\o\al(3,星))))。由表格中的數(shù)據(jù)可得t火＝eq\f(T地,1－\r(\f(Req\o\al(3,地),Req\o\al(3,火))))≈800天，t天＝eq\f(T地,1－\r(\f(Req\o\al(3,地),Req\o\al(3,天))))≈369天，故B正確，A、C、D錯誤。例10(2021·湖北高考)2021年5月，天問一號探測器軟著陸火星取得成功，邁出了我國星際探測征程的重要一步。火星與地球公轉(zhuǎn)軌道近似為圓，兩軌道平面近似重合，且火星與地球公轉(zhuǎn)方向相同?；鹦桥c地球每隔約26個月相距最近，地球公轉(zhuǎn)周期為12個月。由以上條件可以近似得出()A．地球與火星的動能之比B．地球與火星的自轉(zhuǎn)周期之比C．地球表面與火星表面重力加速度大小之比D．地球與火星繞太陽運動的向心加速度大小之比[答案]D[解析]設(shè)地球和火星的公轉(zhuǎn)周期分別為T1、T2，由題意知火星和地球每隔約t＝26個月相距最近一次，又火星的軌道半徑大于地球的軌道半徑，則eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝1，可解得T2＝eq\f(156,7)月，則地球與火星繞太陽的公轉(zhuǎn)周期之比T1∶T2＝12∶eq\f(156,7)＝7∶13，但不能求得地球與火星的自轉(zhuǎn)周期之比，B錯誤；由開普勒第三定律eq\f(req\o\al(3,1),req\o\al(3,2))＝eq\f(Teq\o\al(2,1),Teq\o\al(2,2))可求得地球與火星的軌道半徑之比，又由Geq\f(M太M星,r2)＝M星eq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM太,r))，則地球與火星的線速度之比可以求得，但由于地球與火星的質(zhì)量關(guān)系未知，因此不能求得地球與火星的動能之比，A錯誤；由Geq\f(M星m,R2)＝mg得g＝eq\f(GM星,R2)，由于地球和火星的質(zhì)量關(guān)系以及半徑關(guān)系均未知，則不能求得地球表面與火星表面重力加速度大小之比，C錯誤；由Geq\f(M太M星,r2)＝M星a得a＝eq\f(GM太,r2)，由于兩星球的軌道半徑之比可以求得，則地球與火星繞太陽運動的向心加速度大小之比可以求得，D正確?！靖M訓(xùn)練】3.(2023·浙江省嘉興市高三下二模)在天文觀測中，科學(xué)家向某行星發(fā)射了兩顆衛(wèi)星。若衛(wèi)星甲和乙在同一平面內(nèi)以相反方向繞行星做勻速圓周運動，如圖所示，甲衛(wèi)星總是每隔eq\f(1,9)周期和乙衛(wèi)星相遇，則甲、乙兩衛(wèi)星的軌道半徑之比為()A．1∶4 B．1∶2C．2∶1 D．4∶1答案D解析設(shè)甲衛(wèi)星繞行星做圓周運動的角速度為ω甲，周期為T甲，軌道半徑為r甲，乙衛(wèi)星繞行星做圓周運動的角速度為ω乙，軌道半徑為r乙，由題意可知，(ω甲＋ω乙)×eq\f(1,9)T甲＝2π，且T甲＝eq\f(2π,ω甲)，解得ω甲∶ω乙＝1∶8，設(shè)該行星質(zhì)量為M，對于繞該行星做勻速圓周運動的、質(zhì)量為m的衛(wèi)星，有eq\f(GMm,r2)＝mω2r，解得衛(wèi)星的軌道半徑為r＝eq\r(3,\f(GM,ω2))，則甲、乙兩衛(wèi)星的軌道半徑之比eq\f(r甲,r乙)＝eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ω乙,ω甲)))\s\up12(2))＝eq\f(4,1)，故選D?？键c四衛(wèi)星變軌問題拓展延伸當(dāng)衛(wèi)星開啟發(fā)動機，或者受空氣阻力作用時，萬有引力不再等于衛(wèi)星所需向心力，衛(wèi)星的軌道將發(fā)生變化。1．衛(wèi)星軌道的漸變(1)當(dāng)衛(wèi)星的速度增加時，Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運動，脫離原來的圓軌道，如果速度增加很緩慢，衛(wèi)星每轉(zhuǎn)一周均可看成做勻速圓周運動，經(jīng)過一段時間，軌道半徑變大，當(dāng)衛(wèi)星進入新的軌道運行時，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其運行速度比在原軌道時小。例如，由于地球的自轉(zhuǎn)和潮汐力，月球繞地球運動的軌道半徑緩慢增大，每年月球遠離地球3.8厘米。(2)當(dāng)衛(wèi)星的速度減小時，Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運動，脫離原來的圓軌道，如果速度減小很緩慢，衛(wèi)星每轉(zhuǎn)一周均可看成做勻速圓周運動，經(jīng)過一段時間，軌道半徑變小，當(dāng)衛(wèi)星進入新的軌道運行時，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其運行速度比在原軌道時大。例如，人造衛(wèi)星受到高空稀薄大氣的摩擦力，軌道高度不斷降低。2．衛(wèi)星軌道的突變：由于技術(shù)上的需要，有時要在適當(dāng)?shù)奈恢枚虝r間內(nèi)啟動飛行器上的發(fā)動機，使飛行器軌道發(fā)生突變，使其進入預(yù)定的軌道。如圖所示，發(fā)射地球同步衛(wèi)星時，可以分多過程完成：(1)先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道Ⅰ，使其繞地球做勻速圓周運動，速率為v1。(2)變軌時在P點點火加速，短時間內(nèi)將速率由v1增加到v2，這時eq\f(GMm,r2)<meq\f(v2,r)，衛(wèi)星脫離原軌道做離心運動，進入橢圓形的轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ。(3)衛(wèi)星運行到遠地點Q時的速率為v3，此時進行第二次點火加速，在短時間內(nèi)將速率由v3增加到v4，使衛(wèi)星進入同步軌道Ⅲ，繞地球做勻速圓周運動。飛船和空間站的對接過程與此類似。衛(wèi)星的回收過程和飛船的返回則是相反的過程，通過突然減速，eq\f(GMm,r2)>meq\f(v2,r)，變軌到低軌道，最后在橢圓軌道的近地點處返回地面。3．衛(wèi)星變軌時一些物理量的定性分析(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ、Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v4，在軌道Ⅱ上過P、Q點時的速率分別為v2、v3，在P點加速，則v2>v1；在Q點加速，則v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。(2)加速度：因為在P點不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過，P點到地心的距離都相同，衛(wèi)星的加速度都相同，設(shè)為aP。同理，在Q點加速度也相同，設(shè)為aQ。又因Q點到地心的距離大于P點到地心的距離，所以aQ<aP。(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑或半長軸分別為r1、r2、r3，由eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3?？枷?衛(wèi)星軌道的漸變例11(2024·江蘇省南通市高三上期初質(zhì)量監(jiān)測)空間站在地球外層的稀薄大氣中繞行時，因受大氣阻力的影響，軌道高度會發(fā)生變化，空間站安裝有發(fā)動機，可對軌道進行修正。如圖所示為某空間站在某年2月初到8月初期間離地高度隨時間變化的曲線，則以下說法正確的是()A．2月份空間站的機械能逐漸增大B．2月份空間站受地球的引力逐漸減小C．對軌道進行修正的前后，空間站的加速度大小不變D．對軌道進行修正時，空間站可能受到與原速度方向相同的作用力[答案]D[解析]由題圖可知，2月初到3月末，空間站軌道高度逐漸減小，大氣阻力對空間站做負(fù)功，空間站的機械能逐漸減小，由于空間站離地球球心越來越近，則根據(jù)萬有引力定律知空間站受地球的引力逐漸增大，故A、B錯誤；對軌道進行修正的前后，空間站離地球球心的距離發(fā)生變化，受到的引力發(fā)生變化，則空間站的加速度大小發(fā)生變化，故C錯誤；由題圖可知，在無軌道修正時，空間站的軌道半徑變化十分緩慢，可以認(rèn)為其繞地球做勻速圓周運動，對軌道進行修正時，空間站可能受到與原速度方向相同的作用力，使得空間站速度變大，以致萬有引力不足以提供其所需向心力，空間站做離心運動，經(jīng)過其他操作后可到達更高的軌道，故D正確?？枷?衛(wèi)星軌道的突變例12(2023·海南高考)(多選)如圖所示，1、2軌道分別是天宮二號飛船在變軌前后的軌道，下列說法正確的是()A．飛船從1軌道變到2軌道要點火加速B．飛船在1軌道周期大于2軌道周期C．飛船在1軌道速度大于2軌道速度D．飛船在1軌道加速度大于2軌道加速度[答案]ACD[解析]飛船從較低的1軌道進入較高的2軌道，要先點火加速做離心運動，進入近地點在1軌道上、遠地點在2軌道上的橢圓軌道，再在遠地點點火加速進入2軌道，A正確；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r＝meq\f(v2,r)＝ma，可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，v＝eq\r(\f(GM,r))，a＝eq\f(GM,r2)，又1軌道的半徑小于2軌道的半徑，可知飛船在1軌道的周期小于在2軌道的周期，在1軌道的速度大于在2軌道的速度，在1軌道的加速度大于在2軌道的加速度，故B錯誤，C、D正確。例13(2021·天津高考)2021年5月15日，天問一號探測器著陸火星取得成功，邁出了我國星際探測征程的重要一步，在火星上首次留下國人的印跡。天問一號探測器成功發(fā)射后，順利被火星捕獲，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。經(jīng)過軌道調(diào)整，探測器先沿橢圓軌道Ⅰ運行，之后進入稱為火星停泊軌道的橢圓軌道Ⅱ運行，如圖所示，兩軌道相切于近火點P，則天問一號探測器()A．在軌道Ⅱ上處于受力平衡狀態(tài)B．在軌道Ⅰ運行周期比在Ⅱ時短C．從軌道Ⅰ進入Ⅱ在P處要加速D．沿軌道Ⅰ向P飛近時速度增大[答案]D[解析]天問一號探測器在軌道Ⅱ上做變速運動，受力不平衡，故A錯誤；軌道Ⅰ的半長軸大于軌道Ⅱ的半長軸，根據(jù)開普勒第三定律可知，在軌道Ⅰ運行周期