ARIMA模型概述目錄TOC\o"1-3"\h\u2832ARIMA模型概述 14701.1ARIMA模型的結(jié)構(gòu) 1211501.2ARIMA模型的構(gòu)建 1ARIMA模型，也稱為差分移動(dòng)平均自回歸模型，作為被廣泛應(yīng)用到時(shí)間序列分析中的一種研究模型，其優(yōu)良性是在于更能夠?qū)⒉黄椒€(wěn)的時(shí)間序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)的時(shí)間序列，這一過程是通過差分運(yùn)算法來實(shí)現(xiàn)的，其中，d為差分運(yùn)算次數(shù)。1.1ARIMA模型的結(jié)構(gòu)ARIMA（p,d,q）模型具有以下結(jié)構(gòu)：ΦB?式（2-1）中，?d=1?Bd；ΦB=1?φ1B???φpBp、ΘB=1?θ1B???θqBq分別為平穩(wěn)可逆ARIMA(p，q)模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式和移動(dòng)平滑系數(shù)多項(xiàng)式。AR(p)（自回歸）模型、MA(q)（移動(dòng)平均）模型、ARMA(p,q)（自回歸移動(dòng)平均）模型都是ARIMA(p,d,q)模型的一個(gè)特例。當(dāng)d=q=0且p≠0時(shí)，ARIMA(p,0,0)為自回歸AR(1.2ARIMA模型的構(gòu)建（1）平穩(wěn)性定義ARIMA模型是平穩(wěn)序列的過去誤差和過去值的線性組合，在構(gòu)建ARIMA模型之前，由于需要確保實(shí)驗(yàn)的對(duì)象是平穩(wěn)的時(shí)間序列，首先需要驗(yàn)證該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)。且根據(jù)數(shù)據(jù)在統(tǒng)計(jì)性質(zhì)上的不同表現(xiàn)可以將平穩(wěn)的時(shí)間序列分為嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)兩種情況。嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列：其具體定義為：設(shè)Xt,t∈T為一時(shí)間序列，對(duì)任意的正整數(shù)n和任意整數(shù)τ,任取t1,t2,?Fx1,則可判定為嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列。寬平穩(wěn)時(shí)間序列：其具體定義為：設(shè)時(shí)間序列Xt=1\*GB3①任取t∈T，有EXt2<∞=2\*GB3②任取t∈T，有EXt=μ，μ為常數(shù)；=3\*GB3③任取t,s,k∈T，且k+s?t∈T，有γt,s=γk,k+s?t。則可判定為寬平穩(wěn)時(shí)間序列。這兩種類別的時(shí)間序列的定義是不同的，前者是由隨機(jī)變量的分布函數(shù)決定的，后者是由隨機(jī)變量的低階矩統(tǒng)計(jì)量決定的。在現(xiàn)實(shí)的研究過程中，由于隨機(jī)變量的分布函數(shù)是不容易得到的，因此，嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列的應(yīng)用具有一定的局限性，往往只是在理論層面才有所進(jìn)展，而寬平穩(wěn)時(shí)間序列則被廣泛的運(yùn)用到實(shí)際的研究過程中。本文的ARIMA模型就是典型的研究寬平穩(wěn)時(shí)間序列的方法模型，其中的平穩(wěn)性檢驗(yàn)就是在檢驗(yàn)時(shí)間序列是否為寬平穩(wěn)時(shí)間序列。（2）檢驗(yàn)方法時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)方法包括圖檢法和假設(shè)檢驗(yàn)法兩種。前者通過觀察序列的自相關(guān)圖和時(shí)間序列圖中呈現(xiàn)出來的統(tǒng)計(jì)特征來判斷該序列是否具有平穩(wěn)性，其優(yōu)點(diǎn)為簡(jiǎn)單直觀，但容易被研究者的主觀判斷所影響。后者則需要根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來判斷該序列是否具有平穩(wěn)性，通常作為圖檢法的一個(gè)補(bǔ)充。如果時(shí)間序列具有寬平穩(wěn)性質(zhì)，該序列一定有著一個(gè)常數(shù)方差和一個(gè)常數(shù)均值。基于這一原理，在運(yùn)用圖檢法判斷序列是否具有平穩(wěn)性時(shí)，觀察得到的時(shí)間序列圖是否在一定的波動(dòng)范圍內(nèi)，圍繞著某一個(gè)固定的數(shù)值上下波動(dòng)。當(dāng)符合這種情況時(shí)，可以人為主觀的判斷該時(shí)間序列具有平穩(wěn)性。在假設(shè)檢驗(yàn)法中，有單位根檢驗(yàn)法、ADF檢驗(yàn)法以及PP檢驗(yàn)法。其中，單位根檢驗(yàn)法通過判斷時(shí)間序列的特征根是否都在單位圓內(nèi)來區(qū)分平穩(wěn)的時(shí)間序列和非平穩(wěn)的時(shí)間序列。實(shí)際研究中的數(shù)據(jù)都是非平穩(wěn)的時(shí)間序列，通過差分運(yùn)算后可以得到平穩(wěn)的時(shí)間序列。然后在差分后的具有寬平穩(wěn)性的時(shí)間序列上進(jìn)行ARMA建模，最終得到ARIMA模型。（3）模型定階為具有平穩(wěn)性質(zhì)的時(shí)間序列選取合適的p值和q值，然后通過ACF函數(shù)和PACF函數(shù)得到參數(shù)擬合序列，最后求解出時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)值ρk，0<k<n和偏自相關(guān)函數(shù)值φACF函數(shù)，即自相關(guān)函數(shù)，用來度量樣本特征之間的相關(guān)性。樣本自相關(guān)函數(shù)的公式見式（2-3）。ρkPACF函數(shù)，即偏自相關(guān)函數(shù)，用來度量在移除序列Xt和Xt?k之間的所有值φkk其中，D=1具體判別規(guī)則見表2-1：（4）參數(shù)估計(jì)方法有矩估計(jì)、最大似然估計(jì)和最小二乘估計(jì)。=1\*GB3①矩估計(jì)通過p+q個(gè)樣本來估計(jì)總體，具體形式為：ρp+q解方程組得到參數(shù)值φ1,?,φ=2\*GB3②最小二乘估計(jì)在ARIMA(p,q)模型中，記β=Ft殘差項(xiàng)為：εt則殘差平方和為：?β=(2-8）使得式（2-8）最小的φ1,?,φ=3\*GB3③極大似然估計(jì)求解適當(dāng)?shù)摩?,?,（5）模型選擇在對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)之前，需要先設(shè)定一個(gè)置信度，當(dāng)模型通過了所有的檢驗(yàn)之后，就可以說明模型的擬合效果比較好。通常情況下，符合條件的模型不止一個(gè)，因此，需要通過AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則在符合條件的多個(gè)模型中選擇一個(gè)最優(yōu)模型。最小化信息量準(zhǔn)則（AkaikeInformationCriterion）遵循的一個(gè)基本思想為：一個(gè)性能良好的模型的擬合精度以及參數(shù)數(shù)量是能夠配置合理的?？梢詮囊韵聝蓚€(gè)方面來判斷模型的擬合效果：其一、考慮模型中的未知參數(shù)的個(gè)數(shù)，未知參數(shù)個(gè)數(shù)越多，模型的參數(shù)估計(jì)越難，未知風(fēng)險(xiǎn)也就越大；其二、考慮模型中的似然函數(shù)，模型的似然函數(shù)值與模型的擬合精度是成正比的。但是，這兩個(gè)方面在一定程度上是矛盾的，未知參數(shù)越多，擬合效果會(huì)越好，如果通過不停的增加未知參數(shù)來提高擬合精度，就會(huì)導(dǎo)致一些問題的出現(xiàn)。為了解決這一難題，提出了AIC準(zhǔn)則，其實(shí)質(zhì)上是一個(gè)關(guān)于模型的未知參數(shù)個(gè)數(shù)和模型的擬合精度的對(duì)數(shù)加權(quán)函數(shù)，公式如下：AIC=2*N-2ln(y)(2-11)式中N——模型參數(shù)的數(shù)量；y——模型的極大似然函數(shù)。中心化和非中心化的ARMA(p,q)模型的AIC函數(shù)分別見式（2-12）和式（2-13）。AIC=nlnσεAIC=nlnσε雖然通過AIC準(zhǔn)則能夠有效的進(jìn)行模型選擇，但同時(shí)也存在一個(gè)問題，即當(dāng)樣本數(shù)量n很大時(shí)，被選擇的模型會(huì)出現(xiàn)難以收斂的情況，使得模型中未知參數(shù)的數(shù)量比真實(shí)模型中未知參數(shù)的數(shù)量要多。這是因?yàn)樵贏IC準(zhǔn)則當(dāng)中，參數(shù)數(shù)量N的系數(shù)是固定的，而樣本數(shù)量n會(huì)使得誤差中包含的信息被放大。BIC準(zhǔn)則的提出有