2026屆上海市上戲附中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，其中不在軸上的點(diǎn)有（）A.36個(gè) B.30個(gè)C.25個(gè) D.20個(gè)2．某公司要建造一個(gè)長(zhǎng)方體狀的無蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每1m2的造價(jià)為15元，箱壁每1m2造價(jià)為12元，則箱子的最低總造價(jià)為（）A.72元 B.300元C.512元 D.816元3．已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則4．若圓的半徑為，則實(shí)數(shù)（）A. B.-1C.1 D.5．等差數(shù)列的公差，且，，則的通項(xiàng)公式是（）A. B.C. D.6．已知雙曲線C1的一條漸近線方程為y=kx，離心率為e1，雙曲線C2的一條漸近線方程為y=x，離心率為e2，且雙曲線C1、C2在第一象限交于點(diǎn)(1，1)，則=（）A.|k| B.C.1 D.27．在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（）A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心8．已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()A. B.C. D.9．某超市收銀臺(tái)排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率如下：排隊(duì)人數(shù)01234概率0.10.16030.30.10.04則至少有兩人排隊(duì)的概率為（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.7410．已知實(shí)數(shù)，滿足則的最大值為（）A.-1 B.0C.1 D.211．甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為（）A.0.26 B.0.28C.0.72 D.0.9812．一個(gè)袋中裝有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球，3個(gè)綠色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，下列結(jié)論正確的是（）A.第一次摸到綠球的概率是 B.第二次摸到綠球的概率是C.兩次都摸到綠球的概率是 D.兩次都摸到紅球的概率是二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)，，，滿足，，，則的最大值是______14．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則______15．已知直線過點(diǎn)，，且是直線的一個(gè)方向向量，則__________.16．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長(zhǎng)為正三角形，分別是的中點(diǎn)，，則球的體積為_________________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C：上有一動(dòng)點(diǎn)，，過點(diǎn)P作拋物線C的切線交y軸于點(diǎn)Q（1）判斷線段PQ的垂直平分線是否過定點(diǎn)？若過，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過，請(qǐng)說明理由；（2）過點(diǎn)P作垂線交拋物線C于另一點(diǎn)M，若切線的斜率為k，設(shè)的面積為S，求的最小值18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，數(shù)列滿足（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和19．（12分）直線經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn)（1）若直線與直線平行，求直線的方程；（2）若點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程20．（12分）如圖，在四棱錐中，面ABCD，，且，，，，，N為PD的中點(diǎn).（1）求證：平面PBC；（2）在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，說明理由.21．（12分）已知與定點(diǎn)，的距離比為的點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn).（1）求曲線C的軌跡方程；（2）若，求.22．（10分）已知橢圓焦距為，點(diǎn)在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)R是直線上任意一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，求的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)點(diǎn)不在y軸上，分2類根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)不在軸上，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)不能為0，分兩類考慮，第一類含0且為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，共有個(gè)點(diǎn)，第二類坐標(biāo)不含0的點(diǎn)，共有個(gè)點(diǎn)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有個(gè)點(diǎn).故選：C2、D【解析】設(shè)這個(gè)箱子的箱底的長(zhǎng)為xm，則寬為m，設(shè)箱子總造價(jià)為f（x）元，則f(x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低總造價(jià)【詳解】設(shè)這個(gè)箱子的箱底的長(zhǎng)為xm，則寬為m，設(shè)箱子總造價(jià)為f(x)元，∴f(x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x＝4時(shí)，f（x）取最小值816元故選：D3、D【解析】根據(jù)空間里面直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的相關(guān)定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】A，若，則或異面，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B，若，則或相交，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C，若，則α，β不一定垂直，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D，若，則利用面面垂直的性質(zhì)可得，故該選項(xiàng)正確.故選：D.4、B【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出半徑的表達(dá)式，從而可求出的值.【詳解】由題意，圓的方程可化為，所以半徑為，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】由于數(shù)列為等差數(shù)列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的兩個(gè)根，由可知，所以，從而可求出，可得到通項(xiàng)公式.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，因?yàn)椋钥梢钥闯梢辉畏匠痰膬蓚€(gè)根，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以故選：C【點(diǎn)睛】此題考查的是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】根據(jù)漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，再由過點(diǎn)，可知雙曲線方程，從而可求離心率.【詳解】由題，設(shè)雙曲線的方程為，又因?yàn)槠溥^，且可知，不妨設(shè)，代入，得，所以雙曲線的方程為，所以，同理可得雙曲線的方程為，所以可得，所以，當(dāng)時(shí)，結(jié)論依然成立.故選：C7、B【解析】利用三角形面積公式，推出點(diǎn)O到三邊距離相等?！驹斀狻坑淈c(diǎn)O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心.故選：B8、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程得a和b的關(guān)系，根據(jù)焦點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上得c的值，結(jié)合a、b、c關(guān)系即可求解.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程是，∴，∵準(zhǔn)線方程是，∴，∵，∴，，∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：A.9、D【解析】利用互斥事件概率計(jì)算公式直接求解【詳解】由某超市收銀臺(tái)排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率表，得：至少有兩人排隊(duì)的概率為：故選：D【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法、互斥事件概率計(jì)算公式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題10、D【解析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，即可得到結(jié)果【詳解】由約束條件畫出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，取得最大值2.故選：D11、A【解析】依據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率即可求得甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率.【詳解】記甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中兩種情況，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為故選：A12、C【解析】對(duì)選項(xiàng)A，直接求出第一次摸球且摸到綠球的概率；對(duì)選項(xiàng)B，第二次摸到綠球分兩種情況，第一次摸到綠球且第二也摸到綠球和第一次摸到紅球且第二次摸到綠球；對(duì)選項(xiàng)C，直接求出第一次摸到綠球且第二也摸到綠球的概率；對(duì)選項(xiàng)D，直接求出第一次摸到紅球且第二也摸到紅球的概率【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，第一次摸到綠球的概率為：，故錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，第二次摸到綠球的概率為：，故錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，兩次都摸到綠球的概率為：，故正確；對(duì)選項(xiàng)D，兩次都摸到紅球的概率為：，故錯(cuò)誤故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10【解析】采用數(shù)形結(jié)合法，將所求問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到直線的距離和的倍，結(jié)合梯形中位線性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系可求得答案.【詳解】由，，，可知，點(diǎn)在圓上，由，即為等腰直角三角形，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可理解為圓心到直線的距離，變形得，即所求問題可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到直線的距離和的倍，作于于，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，由梯形中位線性質(zhì)可得，，作于，于，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)與重合，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，由點(diǎn)到直線距離公式可得，由幾何性質(zhì)可得，，此時(shí)，故的最大值為.故答案為：10.14、##25【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可求得結(jié)果.【詳解】，，又，，.故答案為：.15、【解析】由題得，解方程組即得解.【詳解】解：由題得，因?yàn)槭侵本€的一個(gè)方向向量，所以，所以，所以.故答案為：16、【解析】由已知設(shè)出，，，分別在中和在中運(yùn)用余弦定理表示，得到關(guān)于x與y的關(guān)系式，再在中運(yùn)用勾股定理得到關(guān)于x與y的又一關(guān)系式，聯(lián)立可解得x，y，從而分析出正三棱錐是，，兩兩垂直的正三棱錐，所以三棱錐的外接球就是以為棱的正方體的外接球，再通過正方體的外接球的直徑等于正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)求出球的半徑，再求出球的體積.【詳解】在中，設(shè)，，，,，因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，所以，，在中，，在中，，整理得，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，所以，又因?yàn)?，所以，由，解得，所以又因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，所以，所以，所以，，兩兩垂直，則球?yàn)橐詾槔獾恼襟w的外接球，則外接球直徑為，所以球的體積為,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體的外接球的體積，破解關(guān)鍵在于熟悉正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用解三角形的正弦定理和余弦定理得出三棱錐的棱的關(guān)系，繼而分析出正三棱錐的外接球是以正三棱錐中互相垂直的三條棱為棱的正方體的外接球，利用正方體的外接球的直徑等于正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)求解更方便快捷，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）線段的垂直平分線過定點(diǎn)（2）【解析】（1）設(shè)切線的方程為，并與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得線段的垂直平分線的方程，進(jìn)而求得定點(diǎn)坐標(biāo).（2）結(jié)合弦長(zhǎng)公式求得的面積，利用基本不等式求得的最小值.【小問1詳解】依題意可知切線的斜率存在，且斜率大于.設(shè)直線PQ的方程為，.由消去并化簡(jiǎn)得，由得，，則，解得，所以，在中，令得，所以，PQ中點(diǎn)為，所以線段PQ的中垂線方程為，即，所以線段的垂直平分線過定點(diǎn).【小問2詳解】由（1）可知，直線PM的方程為，即.由消去并化簡(jiǎn)得：，所以，而，所以得，，，.所以的面積，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.18、（1），；（2）.【解析】（1）由求得的遞推關(guān)系，結(jié)合可得其為等比數(shù)列，從而得通項(xiàng)公式，代入計(jì)算得；（2）求出，由錯(cuò)位相減法求和【詳解】（1）由可得，，即，易知，故..（2）由（1）可知，①，②，①－②得，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及錯(cuò)位相減法求和．?dāng)?shù)列求和的常用方法：公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組（并項(xiàng)）求和法，倒序相加法19、（1）（2）或【解析】（1）由題意兩立方程組，求兩直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩直線平行的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出的方程（2）分類討論直線的斜率，利用點(diǎn)到直線的距離公式，用點(diǎn)斜式求直線的方程【小問1詳解】解：由，解得，所以兩直線和的交點(diǎn)為當(dāng)直線與直線平行，設(shè)的方程為，把點(diǎn)代入求得，可得的方程為【小問2詳解】解：斜率不存在時(shí)，直線方程為，滿足點(diǎn)到直線的距離為5當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直限的方程為，即，則點(diǎn)到直線的距離為，求得，故的方程為，即綜上，直線的方程為或20、（1）證明見解析（2）存在，且【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.（2）設(shè)，利用直線與平面所成角的正弦值列方程，化簡(jiǎn)求得.【小問1詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，所以四邊形是矩形，所以，由于平面，所以，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，且平面，所以平面.【小問2詳解】，設(shè)，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）.所以存在，使直線與平面所成角的正弦值是，且.21、（1）（2）或【解析】（1）設(shè)曲線上的任意一點(diǎn)，由題意可得，化簡(jiǎn)即可得出（2）分直線的斜率不存在與存在兩種情況討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)，即可求出、的坐標(biāo)，從而求出，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立直線與圓的方程，消元列出韋達(dá)定理，則，即可求出，從而求出直線方程，由圓心在直線上，即可求出弦長(zhǎng)；【小問1詳解】解：（1）設(shè)曲線上的任意一點(diǎn)，由題意可得：，即，整理得【小問2詳解】解：依題意當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，則，則或，即、，所以、，所以滿足條件，此時(shí)，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，則，消去整理得，由，解得或，所以、，因?yàn)?/p>