高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期10月階段性多校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求）1.已知直線過(guò)點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線過(guò)點(diǎn)，則直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，所以，所以直線的傾斜角為.故選：B.2.已知直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€與平行，所以，得.故選：D.3.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，，，則邊上中線的長(zhǎng)為（）A B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以，所以．故選：A.4.若圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則r的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圓，圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離為，因?yàn)閳A上的點(diǎn)到直線的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，所以，則，解得，即r的取值范圍是.故選：B.5.方程的化簡(jiǎn)結(jié)果是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】方程的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離和為10，并且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以兩個(gè)定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定值為的橢圓，所以，，根據(jù)，所以橢圓方程為.故選：C.6.若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榉匠?，可變形為，由題知，得到，故選：C.7.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（）A. B.4 C. D.7【答案】C【解析】法一：令，則，代入原式化簡(jiǎn)得，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，則，即，化簡(jiǎn)得，解得，故的最大值是.法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時(shí)，取得最大值.法三：由可得，設(shè)，則圓心到直線的距離，解得.故選：C.8.已知直線和直線，點(diǎn)M，N分別是直線和上的點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是（）A.4 B.6 C.9 D.12【答案】B【解析】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，即,設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，即,所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)．故選：B．二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的或不選不得分）9.已知直線，直線，則下列命題正確的有（）A.直線恒過(guò)點(diǎn) B.存在m使得直線的傾斜角為90°C.若，則或 D.存在實(shí)數(shù)m使得【答案】ABD【解析】A：將點(diǎn)代入直線中，等號(hào)成立，所以直線恒過(guò)點(diǎn)，故A正確；B：當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，即傾斜角為90°，故B正確；C：當(dāng)時(shí)，解得，故C錯(cuò)誤；D：當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故D正確．故選：ABD．10.（多選）已知圓和圓相交于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.兩圓相交 B.直線的方程為C.兩圓有兩條公切線 D.線段的長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】對(duì)于AC，圓的圓心是，半徑為2；圓的圓心是，半徑為1，圓心距為，所以兩圓相交，公切線有兩條．故AC正確；對(duì)于B，將兩圓方程相減，整理得．故B不正確；對(duì)于D，點(diǎn)到直線的距離為，所以．故D正確.故選：ACD.11.已知直線：，若，，能圍成正三角形，則該正三角形的面積的值可能為（）A. B.1 C. D.3【答案】AD【解析】根據(jù)題意原點(diǎn)到直線的距離，∴直線為圓的切線，如圖，設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為，如圖時(shí)，由，解得，即；如圖時(shí)，，.故選：AD.三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.兩條平行直線＝與＝的距離是________.【答案】【解析】可將直線＝化為，所以兩條平行直線間的距離為.故答案為：.13.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則______.【答案】【解析】由已知知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且半焦距，則，解得.故答案為：.14.已知直線和圓.若是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為______.【答案】【解析】由圓，得，故圓心，半徑，又已知直線，點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)，則，由圓的切線性質(zhì)可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為：.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明和證明過(guò)程）15.已知，分別是橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn).（1）若，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，的面積為4，求b的值.解：（1）已知，因?yàn)?，所?點(diǎn)在橢圓上，將其代入橢圓方程，可得，即，解得.又因?yàn)椋?，，所?所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)?，所以的面積，則.根據(jù)橢圓定義，.由勾股定理可得.又，即.在橢圓中有，將變形為，即，解得.16.已知直線.（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程；（2）求經(jīng)過(guò)直線與的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程.解：（1）由直線可得斜率為，所以根據(jù)垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為，則依題意有，解得，所以所求直線方程為，整理得；（2）聯(lián)立，解得，即直線與的交點(diǎn)為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，設(shè)直線方程為，代入得，此時(shí)；當(dāng)直線的截距都不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，依題意，解得，此時(shí)直線方程為，綜上所述：所求直線方程為或.17.已知圓C過(guò)，，且圓心C在x軸上.（1）求圓C的周長(zhǎng)；（2）若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓C截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.解：（1）由圓心C在x軸上，設(shè)圓的方程為，又圓C過(guò)，得，解得，，所以圓的方程為，其周長(zhǎng).（2）因?yàn)橹本€與圓C截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心C到直線的距離為，①若直線的斜率不存在時(shí)，直線與圓C交點(diǎn)為，直線與圓C截得的弦長(zhǎng)為，故直線符合題意；②若直線斜率存在時(shí)，設(shè)，整理得，所以圓心C到直線的距離為，解得，則直線，即直線，綜上所述，直線的方程為或.18.VEX亞洲機(jī)器人比賽是全球兩大機(jī)器人賽事之一.如圖所示，在某次比賽中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形坐標(biāo)場(chǎng)地（包含邊界和內(nèi)部，為坐標(biāo)原點(diǎn)），長(zhǎng)12米，長(zhǎng)5米.在處有一只電子狗，在邊上距離點(diǎn)米的點(diǎn)處放置機(jī)器人，電子狗的運(yùn)動(dòng)速度是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度的兩倍.若電子狗和機(jī)器人從起始位置同時(shí)出發(fā)，在場(chǎng)地內(nèi)沿直線方向同時(shí)達(dá)到某點(diǎn)，那么電子狗被機(jī)器人捕獲，稱點(diǎn)為成功點(diǎn).（1）求成功點(diǎn)的軌跡方程；（2）為了記錄比賽情況，攝影機(jī)從邊上某點(diǎn)處沿直線方向往點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，要求直線與點(diǎn)的軌跡沒(méi)有公共點(diǎn)，求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.解：（1）設(shè)，，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度為，由題意可得，化簡(jiǎn)得.由于點(diǎn)在矩形場(chǎng)地內(nèi)，則.所以成功點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由題意可知直線的斜率存在，不妨設(shè)直線：，直線與點(diǎn)的軌跡沒(méi)有公共點(diǎn)，由直線與圓的位置關(guān)系可得，解得.則點(diǎn)縱坐標(biāo)，又因?yàn)?，所?19.定義：M是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，N是圓C外一點(diǎn)，記的最大值為m，的最小值為n，若，則稱N為圓C的“黃金點(diǎn)”；若G同時(shí)是圓E和圓F的“黃金點(diǎn)”，則稱G為圓“”的“鉆石點(diǎn)”.已知圓A：，P為圓A的“黃金點(diǎn)”（1）求點(diǎn)P所在曲線的方程；（2）已知圓B：，P，Q均為圓“”的“鉆石點(diǎn)”.（i）求直線方程；（ii）若圓H是以線段為直徑的圓，直線l：與圓H交于I，J兩點(diǎn)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)k，在y軸上是否存在一點(diǎn)W，使得y軸平分？若存在，求出點(diǎn)W的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P為圓A的“黃金點(diǎn)”，所以，即，所以點(diǎn)P的軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，故點(diǎn)P所在曲線的方程為（2）（i）因?yàn)镻為圓B的“黃金點(diǎn)”，則,所以，即點(diǎn)P在圓上.則P是圓和的交點(diǎn).因?yàn)镻，Q均為圓“”“鉆石點(diǎn)”，所以直線即為圓和的公共弦所在直線，兩圓方程相減可得，故直線的方程為.(ii)設(shè)的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為.直線的方程為，得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)S到直線的距離為，則，所以圓H的方程為.假設(shè)軸上存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，.若軸平分，則，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以，代入①并整理得，此式對(duì)任意的都成立，所以.故軸上存在點(diǎn)，使得軸平分.江蘇省2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期10月階段性多校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求）1.已知直線過(guò)點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線過(guò)點(diǎn)，則直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，所以，所以直線的傾斜角為.故選：B.2.已知直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€與平行，所以，得.故選：D.3.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，，，則邊上中線的長(zhǎng)為（）A B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以，所以．故選：A.4.若圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則r的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圓，圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離為，因?yàn)閳A上的點(diǎn)到直線的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，所以，則，解得，即r的取值范圍是.故選：B.5.方程的化簡(jiǎn)結(jié)果是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】方程的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離和為10，并且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以兩個(gè)定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定值為的橢圓，所以，，根據(jù)，所以橢圓方程為.故選：C.6.若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榉匠?，可變形為，由題知，得到，故選：C.7.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（）A. B.4 C. D.7【答案】C【解析】法一：令，則，代入原式化簡(jiǎn)得，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，則，即，化簡(jiǎn)得，解得，故的最大值是.法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時(shí)，取得最大值.法三：由可得，設(shè)，則圓心到直線的距離，解得.故選：C.8.已知直線和直線，點(diǎn)M，N分別是直線和上的點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是（）A.4 B.6 C.9 D.12【答案】B【解析】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，即,設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，即,所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)．故選：B．二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的或不選不得分）9.已知直線，直線，則下列命題正確的有（）A.直線恒過(guò)點(diǎn) B.存在m使得直線的傾斜角為90°C.若，則或 D.存在實(shí)數(shù)m使得【答案】ABD【解析】A：將點(diǎn)代入直線中，等號(hào)成立，所以直線恒過(guò)點(diǎn)，故A正確；B：當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，即傾斜角為90°，故B正確；C：當(dāng)時(shí)，解得，故C錯(cuò)誤；D：當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故D正確．故選：ABD．10.（多選）已知圓和圓相交于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.兩圓相交 B.直線的方程為C.兩圓有兩條公切線 D.線段的長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】對(duì)于AC，圓的圓心是，半徑為2；圓的圓心是，半徑為1，圓心距為，所以兩圓相交，公切線有兩條．故AC正確；對(duì)于B，將兩圓方程相減，整理得．故B不正確；對(duì)于D，點(diǎn)到直線的距離為，所以．故D正確.故選：ACD.11.已知直線：，若，，能圍成正三角形，則該正三角形的面積的值可能為（）A. B.1 C. D.3【答案】AD【解析】根據(jù)題意原點(diǎn)到直線的距離，∴直線為圓的切線，如圖，設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為，如圖時(shí)，由，解得，即；如圖時(shí)，，.故選：AD.三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.兩條平行直線＝與＝的距離是________.【答案】【解析】可將直線＝化為，所以兩條平行直線間的距離為.故答案為：.13.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則______.【答案】【解析】由已知知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且半焦距，則，解得.故答案為：.14.已知直線和圓.若是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為______.【答案】【解析】由圓，得，故圓心，半徑，又已知直線，點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)，則，由圓的切線性質(zhì)可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為：.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明和證明過(guò)程）15.已知，分別是橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn).（1）若，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，的面積為4，求b的值.解：（1）已知，因?yàn)椋?點(diǎn)在橢圓上，將其代入橢圓方程，可得，即，解得.又因?yàn)?，，，所?所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)椋缘拿娣e，則.根據(jù)橢圓定義，.由勾股定理可得.又，即.在橢圓中有，將變形為，即，解得.16.已知直線.（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程；（2）求經(jīng)過(guò)直線與的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程.解：（1）由直線可得斜率為，所以根據(jù)垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為，則依題意有，解得，所以所求直線方程為，整理得；（2）聯(lián)立，解得，即直線與的交點(diǎn)為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，設(shè)直線方程為，代入得，此時(shí)；當(dāng)直線的截距都不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，依題意，解得，此時(shí)直線方程為，綜上所述：所求直線方程為或.17.已知圓C過(guò)，，且圓心C在x軸上.（1）求圓C的周長(zhǎng)；（2）若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓C截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.解：（1）由圓心C在x軸上，設(shè)圓的方程為，又圓C過(guò)，得，解得，，所以圓的方程為，其周長(zhǎng).（2）因?yàn)橹本€與圓C截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心C到直線的距離為，①若直線的斜率不存在時(shí)，直線與圓C交點(diǎn)為，直線與圓C截得的弦長(zhǎng)為，故直線符合題意；②若直線斜率存在時(shí)，設(shè)，整理得，所以圓心C到直線的距離為，解得，則直線，即直線，綜上所述，直線的方程為或.18.VEX亞洲機(jī)器人比賽是全球兩大機(jī)器人賽事之一.如圖所示，在某次比賽中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形坐標(biāo)場(chǎng)地（包含邊界和內(nèi)部，為坐標(biāo)原點(diǎn)），長(zhǎng)12米，長(zhǎng)5米.在處有一只電子狗，在邊上距離點(diǎn)米的點(diǎn)處放置機(jī)器人，電子狗的運(yùn)動(dòng)速度是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度的兩倍.若電子狗和機(jī)器人從起始位置同時(shí)出發(fā)，在場(chǎng)地內(nèi)沿直線方向同時(shí)達(dá)到某點(diǎn)，那么電子狗被機(jī)器人捕獲，稱點(diǎn)為成功點(diǎn).（1）求成功點(diǎn)的軌跡方程；（2）為了記錄比賽情況，攝影機(jī)從邊上某點(diǎn)處沿直線方向往點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，要求直線與點(diǎn)的軌跡沒(méi)