3.1勾股定理的探究（2）——勾股定理的證明在我國(guó)，人們稱(chēng)它為勾股定理或商高定理；在歐洲，人們稱(chēng)它為畢達(dá)哥拉斯定理.今天，我們一起來(lái)學(xué)習(xí)、探究其中的一些證明方法.勾股定理:

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.兩千多年來(lái)，勾股定理的證明一直令人著迷.公元3世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家趙爽通過(guò)“弦圖”證明了勾股定理.根據(jù)“弦圖”的思路，用4張如圖1所示的直角三角形紙片構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為c的大正方形(圖2).你能用這個(gè)圖形證明勾股定理嗎?圖1圖2

外弦圖——趙爽證法圖中涂色部分是直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c的4個(gè)直角三角形.試?yán)眠@個(gè)圖形中的面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.活動(dòng)一活動(dòng)準(zhǔn)備：用硬紙板各剪4個(gè)完全相同的直角三角形(不妨設(shè)兩直角邊分別為a、b

，且a≤b

，斜邊為c)，再剪4個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、

c和(b－a)的正方形．活動(dòng)要求：選用這些中的部分圖形拼成一個(gè)大正方形.abcaabbccb-ab-abac

，，．內(nèi)弦圖你能用這個(gè)圖形證明勾股定理嗎?

a2+b2=c2a2b2a2c2畢達(dá)哥拉斯證法

分割一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的大正方形，可以有以下兩種方法：一種是分割成2個(gè)正方形和4個(gè)直角三角形，另一種是分割成1個(gè)正方形和4個(gè)直角三角形.你能用這2個(gè)圖形證明勾股定理嗎?如圖，把火柴盒放倒，在這個(gè)過(guò)程中，也能驗(yàn)證勾股定理，你能利用這個(gè)圖驗(yàn)證勾股定理嗎？把你的想法與大家交流一下．變形弦圖a印度婆什迦羅的證明c

c2=b2+a2baabbcc1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法.1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)后，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱(chēng)為“總統(tǒng)”證法.a2+2ab+b2 = c2+2ab

a2+b2=c2a2b2活動(dòng)二：請(qǐng)同學(xué)們按照演示程序剪紙．a(chǎn)bcc2

a2＋b2＝c2下圖中的三個(gè)正方形的面積分別可以怎樣表示，它們之間又有怎樣的關(guān)系？若將圖形①②③④⑤剪下，用它們可以拼一個(gè)與正方形ABDE大小一樣的正方形嗎?如圖，四邊形ABFE、四邊形AJKC、四邊形BCIH分別是以Rt△ABC的三邊為一邊的正方形.過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，交AB于點(diǎn)D，交FE于點(diǎn)G，連接HA，CF.S正方形BCIH=BH·HI=2S△ABH，S長(zhǎng)方形BFGD=BF·FG=2S△FBC在△ABH和△FBC中，

BH=BC,∠HBA=∠CBF,BA=BF,∴△ABH≌△FBC（SAS）∴S△ABH=S△FBC∴2S△ABH=2S△FBC，即S正方形BCIH=S長(zhǎng)方形BFGD

同理，S正方形AJKC=S長(zhǎng)方形DGEA

∴S正方形ABFE=S長(zhǎng)方形BFGD+S長(zhǎng)方DGEA=S正方形BCIH+S正方形AJKC，即c2=a2+b2歐幾里得《幾何原本》勾股定理的證明思路活動(dòng)三：想一想2.并分別以△ABC和△DEF的各邊為邊向外作正方形，其中2個(gè)小正方形的面積的和等于大正方形的面積嗎？1.觀察下圖的△ABC

和△DEF，是直角三角形嗎？