第四章三角形第三節(jié)全等三角形節(jié)前復(fù)習(xí)導(dǎo)圖全等三角形全等三角形的概念及性質(zhì)概念性質(zhì)全等三角形的判定SSSSASASAAASHL教材知識逐點過考點1全等三角形的概念及性質(zhì)(6年6考)★重點概念能完全重合的兩個三角形叫做全等三角形性質(zhì)1.全等三角形的對應(yīng)邊

，對應(yīng)角

?；2.全等三角形的周長

，面積

?；3.全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都

?相等相等相等相等相等考點2全等三角形的判定(6年9考)★重點判定方法文字?jǐn)⑹鰣D形SSS(邊邊邊)有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(基本事

實)

SAS(邊角邊)有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形

全等(基本事實)

判定方法文字?jǐn)⑹鰣D形ASA(角邊角)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形

全等(基本事實)

AAS(角角邊)有兩角及其中一個角所對的邊對應(yīng)相等的兩

個三角形全等

HL斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角

形全等

【易錯警示】1.“SSA”不能判定兩個三角形全等；2.

“HL”是判定兩個直角三角形全等的特有方法，對于一般三角形不適用.基礎(chǔ)題對點練1.

[人教八上習(xí)題改編]如圖，若△OAD≌△OBC，AD，CB交于點E，

∠D＝20°，DO＝6，OA＝2.(1)∠C的度數(shù)為

?；(2)AC的長度為

?.20°

4

2.

[冀教八上習(xí)題改編]如圖，已知∠F＝∠M，∠E＝∠N，點E，

H，G，N在同一條直線上，要使△EFG≌△NMH，只需要添加一個條

件

.(只需添加一個

你認(rèn)為合適的條件)EF＝NM(或EH＝GN或EG＝NH或FG＝MH)

教材變式過重點全等三角形的判定例1北師七下習(xí)題改編

如圖，已知點E，C在線段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F.

求證：△ABC≌△DEF.

答題規(guī)范得分要點按照順序依次羅列出對應(yīng)關(guān)系并寫出判定定理，得到相應(yīng)三角形全等由平行線性質(zhì)得一組對應(yīng)角相等

模型分析一、平移型解題思路：(1)找等邊：加(或減)共線部分，得到對應(yīng)邊相等；(2)找等角：利用平行線性質(zhì)找對應(yīng)角相等.例2

冀教八上習(xí)題改編如圖，已知AB＝AC，AD＝AE，BE與CD

相交于點P，連接BC，求證：PC＝PB.

題后反思由該題，你是否想到了一種作角平分線的方法呢？解：在∠BAC的兩邊上分別截取AC＝AB，AE＝AD，連接CD，BE交

于點P，作射線AP即為∠BAC的平分線.模型分析二、對稱型1.

有公共邊2.

有公共頂點解題思路：(1)找等邊：找公共邊、中點、等底角、相等邊、線段的和差等條件得到

對應(yīng)邊相等；(2)找等角：找公共角、對頂角、垂直找直角、等腰等條件得到等角.例3

人教八上習(xí)題改編如圖，△ABC的邊BC和△DEF的邊EF共

線，BF＝EC，AC∥DF，AC＝DF，求證：△ABC≌△DEF.

模型分析三、旋轉(zhuǎn)型共頂點不共頂點

解題思路：(1)找等邊：加(或減)共線部分，得到對應(yīng)邊相等；(2)找等角：對頂角相等或利用平行線性質(zhì)找對應(yīng)角相等.

例4

【一題多解】北師七下習(xí)題改編已知：如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分線.求證：AB＋BD＝AC.

E證明：證法二(補(bǔ)短法)：如圖，延長AB至點E，使AE＝AC，連接DE，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠DAC.

∵AE＝AC，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC(SAS)，∴∠E＝∠C，∵∠ABD＝∠E＋∠BDE，∠ABD＝2∠C，∴∠E＝∠BDE，∴BD＝BE，∴AB＋BD＝AB＋BE＝AE＝AC.

例4

【一題多解】北師七下習(xí)題改編已知：如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分線.求證：AB＋BD＝AC.

E模型分析四、截長補(bǔ)短條件：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC.

輔助線作法一：在AC上截取AE＝AB，連接DE.

【結(jié)論】△ABD≌△AED.

輔助線作法二：延長AB至點F，使AF＝AC，連接DF.

【結(jié)論】△AFD≌△ACD.

例5

【一題多解】人教八上習(xí)題改編如圖，AD是△ABC的中線，在AD上取一點F，連接BF并延長，交AC于點E，使AE＝EF，求證：BF＝AC.

證明：證法一(倍長中線)：如圖，延長AD至點H，使DH＝DA，連接BH，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD.

H

H證明：證法二(倍長類中線)：如圖，延長FD至點H，使DH＝DF，連接CH，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD.

例5

【一題多解】人教八上習(xí)題改編如圖，AD是△ABC的中線，在AD上取一點F，連接BF并延長，交AC于點E，使AE＝EF，求證：BF＝AC.

H

H模型分析五、倍長中線、倍長類中線特點：三角形中出現(xiàn)中線或與中線有關(guān)的線段.(1)倍長中線如圖，在△ABC中，AD是中線.【結(jié)論】若連接BE，則△BDE≌△CDA；若連接CE，則△ABD≌△ECD.

(2)倍長類中線如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E是AB上一點.【結(jié)論】連接CF，則△BDE≌△CDF.

河北中考真題精選全等三角形的性質(zhì)與判定(6年10考)命題點1.

(2024河北13題)在△ABC和△A'B'C'中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝

A'B'＝6，AC＝A'C'＝4，已知∠C＝n°，則∠C'＝(

C

)A.

30°B.

n°C.

n°或180°－n°D.

30°或150°C【解析】如解圖，當(dāng)BC＝B'C'時，

△ABC≌△A'B'C'(SSS)，∴∠C'＝∠C＝

n°；當(dāng)BC≠B'C'時，∵A'C'＝A'C″，∴∠A'C″C'＝∠C'＝n°，∴∠A'C″B'＝180°－n°，∴∠C'＝n°或180°－n°.解圖2.我們知道“兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全

等”，即“SSA”不一定全等.已知△ABC，下面是甲、乙兩位同學(xué)構(gòu)造

的反例.甲：以C為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB的延長線于點D，連接CD，

得△ADC，如圖①，則△ADC與△ABC不全等.乙：以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交CA的延長線于點D，以D為圓

心，BC長為半徑畫弧，交BA的延長線于點M，E(點E在點M的左

側(cè))，連接DE，得△ADE，如圖②，則△ADE與△ABC不全等.對于甲、乙兩人的作法判斷正確的是(

A

)A.甲和乙都對B.甲和乙都不對

C.甲對乙不對D.甲不對乙A【解析】甲、乙兩人所作的圖形均滿足兩邊相等且一組相等邊所對的角

也相等的兩個三角形不全等.3.

(2025邯鄲模擬)如圖，Rt△ABC≌Rt△BAD，BC，AD交于點E，M

為斜邊AB的中點，若∠CMD＝α，∠AEB＝β.對于α和β之間的數(shù)量關(guān)

系，三位同學(xué)給出了不同的猜測：甲：2β－α＝180°，乙：β－α＝60°，丙：β＝α.其中正確的是(

A

)A.甲B.乙C.丙D.甲和丙都有可能A

4.

(2024河北19題)如圖，△ABC的面積為2，AD為BC邊上的中線，點A，C1，C2，C3是線段CC4的五等分點，點A，D1，D2是線段DD3的四等分點，點A是線段BB1的中點.(1)△AC1D1的面積為

?；

1

(2)△B1C4D3的面積為

?.7

4.

(2024河北19題)如圖，△ABC的面積為2，AD為BC邊上的中線，點A，C1，C2，C3是線段CC4的五等分點，點A，D1，D2是線段DD3的四等分點，點A是線段BB1的中點.

解圖

解圖5.

(2025河北19題)如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，

AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，點F在ED上，∠BAF＝∠EAD.

(1)求