專題2.5冪函數(shù)與指、對數(shù)函數(shù)【九大題型】【新高考專用】1、冪函數(shù)與指、對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是高中三類常見的重要函數(shù)，在歷年的高考中都占據(jù)著重要的地位，是高考?？嫉臒狳c內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的考查，主要以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合指、對數(shù)的運算性質(zhì)，運用冪函數(shù)與指、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決具體的問題，包括比較指對冪的大小、解不等式等題型.在復習過程中要掌握相關(guān)知識，能對常見的指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)進行靈活處理.【知識點1冪函數(shù)及其解題策略】1．冪函數(shù)的解析式冪函數(shù)的形式是(∈R)，其中只有一個參數(shù)，因此只需一個條件即可確定其解析式.2．冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”),在區(qū)間(1,+)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸.3．比較冪值的大小在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較，準確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【知識點2指數(shù)、對數(shù)運算的解題策略】1．指數(shù)冪運算的一般原則(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，還應注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.②運算的先后順序.(2)當?shù)讛?shù)是負數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).(3)運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).2．對數(shù)運算的常用技巧(1)在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后用對數(shù)運算法則化簡合并.(2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算.(3)指對互化：(a>0,且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中應注意互化.【知識點3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的常見問題及解題思路】1．指數(shù)函數(shù)的常見問題及解題思路(1)比較指數(shù)式的大小比較指數(shù)式的大小的方法是：①能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；②不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.(2)指數(shù)方程(不等式)的求解思路指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化.(3)指數(shù)型函數(shù)的解題策略涉及指數(shù)型函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.2．對數(shù)函數(shù)的常見問題及解題思路(1)對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應用①在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.②一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.(2)對數(shù)（型）函數(shù)的值域和單調(diào)性問題的解題策略利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的.另外，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用.【題型1指數(shù)冪與對數(shù)式的化簡、求值】【例1】（2024·青?！つM預測）若a=log35，5b=6，則ab?log32=（

）A．1 B．－1 C．2 D．－2【解題思路】本題考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算法則、換底公式的應用.【解答過程】由5b=6?所以ab?log32=log35?log5故選：A.【變式1-1】（2024·河南·三模）若a≥0,b∈R，則化簡2log23A．3+a+b B．3+a+C．2+a+b D．2+a+【解題思路】根據(jù)指數(shù)運算法則和對數(shù)運算法則化簡求值即可.【解答過程】由2log23=3，2log故選：B.【變式1-2】（2024·陜西西安·模擬預測）設a，b，c都是正數(shù)，且4a=6A．1a+1b=1c B．【解題思路】將指數(shù)式化為對數(shù)式，根據(jù)對數(shù)換底公式、對數(shù)運算法則逐項驗證即可．【解答過程】依題意設4a=6b=9c所以1a則1a+1則1b則1a故選：D.【變式1-3】（2024·遼寧丹東·一模）若2a=3，3b=5，5cA．?2 B．12 C．22【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)冪與對數(shù)的互化公式，結(jié)合對數(shù)的換底公式，即可求解.【解答過程】由2a=3，3b=5，所以abc=log23×故選：B.【題型2指對冪函數(shù)的定義與解析式】【例2】（24-25高一上·全國·課前預習）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A．y=loga5+x（a>0且a≠1）C．y=log3?x D．y=logx【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)的定義求解．【解答過程】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義f(x)=logax(a>0分析A,B,C,D函數(shù)形式，函數(shù)y=log故選：B.【變式2-1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若指數(shù)函數(shù)fx的圖象過點4,81，則fx的解析式為（A．fx=xC．fx=1【解題思路】設fx=ax，（a>0且【解答過程】設fx=ax，（因為函數(shù)fx的圖象過點4,81，則f4=所以fx故選：B.【變式2-2】（2024·廣東廣州·模擬預測）若冪函數(shù)fx=m2?m?1x2m?3A．2 B．1 C．?1 D．?2【解題思路】根據(jù)條件，利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【解答過程】因為冪函數(shù)fx=m所以m2?m?1=12m?3>0故選：A.【變式2-3】（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）若函數(shù)y=a2?5a+7A．a(chǎn)=2 B．a(chǎn)=3C．a(chǎn)=2或a=3 D．a(chǎn)>2，且a≠3【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義求參.【解答過程】因為y=a所以a2?5a+7=1，所以a=2.故選：A.【題型3指對冪函數(shù)的定義域與值域問題】【例3】（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)fx=2ax2?x+1的值域為MA．?∞,14 B．0,14【解題思路】對實數(shù)a分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的值域可得結(jié)果.【解答過程】當a=0時，fx當a≠0時，因為函數(shù)fx=2ax由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即二次函數(shù)y=ax若a>0時，依題意有y=ax2?x+1的最小值4a?1若a<0綜上：0≤a≤1故選：B.【變式3-1】（2024·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·模擬預測）已知函數(shù)f(x)=lg(1?x)，則下列結(jié)論錯誤的是（A．f(x)的定義域為(?∞,1) B．f(x)C．f(?1)+f(?4)=1 D．y=fx2【解題思路】根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域和值域即可判斷A、B；利用對數(shù)運算法則即可求出f(?1)+f(?4)，即可判斷C；根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【解答過程】由1?x>0，得x<1，則f(x)的定義域為(?∞,1)，值域為R，故f(?1)+f(?4)=lg因為fx2=u=1?x2，令1?x內(nèi)層函數(shù)u=1?x2，在?1,0上單調(diào)遞增，所以y=fx2的單調(diào)遞增區(qū)間為?1,0不是故選：D.【變式3-2】（24-25高一上·安徽馬鞍山·期中）已知冪函數(shù)y=fx的圖象過點4,12A．fx是奇函數(shù) B．fxC．fx的值域是0,+∞ D．【解題思路】由條件求出冪函數(shù)的解析式，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【解答過程】∵冪函數(shù)y=fx的圖象過點4,12∴4α=12，即∴fx=x∵定義域關(guān)于原點不對稱，∴fx∵定義域為(0,+∞)，fx=1∵α=?12<0，∴f故選：D.【變式3-3】（2024·湖北武漢·模擬預測）已知a>0且a≠1，若函數(shù)f(x)=ax?a,x≤aloga(x+a)+1,x>a的值域為A．0,12 B．12,1 C．【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對a進行分類討論，可得答案.【解答過程】∵f(x)=ax?a,x≤a當a>1時，則x≤a，f(x)=ax?a為增函數(shù)，而x>a時，f(x)=log此時，f(x)>f(a)=log當0<a<1時，則x≤a，f(x)=ax?a為減函數(shù)，而x>a時，f(x)=log此時，f(x)<f(a)=log因為f(x)的值域為R，當且僅當loga此時，loga2≥?1，則ln2lna綜上，0<a≤1故選：A.【題型4指對冪函數(shù)的圖象問題】【例4】（2024·湖北·模擬預測）函數(shù)fx=eA． B． C． D．【解題思路】根據(jù)x<0時f(x)的單調(diào)性可排除BC；再由奇偶性可排除D.【解答過程】fx因為當x<0時，y=e所以，y=ex?又因為f?x所以fx故選：A.【變式4-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx=x?1A． B．C． D．【解題思路】先判斷函數(shù)奇偶性排除選項A，再根據(jù)函數(shù)值正負排除B,C,即可得出答案.【解答過程】因為fx的定義域為?∞,0∪0,+∞，當x>1時，x?1x>0，lnx2>0，所以fx>0故選:D.【變式4-2】（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)fx的圖象如圖所示，則fx的解析式可能是（A．y=x12 B．y=x?1【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【解答過程】對于A：函數(shù)y=x12對于B：函數(shù)y=x?1對于C：函數(shù)y=x3的定義域為R，又但是y=x3在對于D：y=x13=3且y=x13故選：D.【變式4-3】（2024·陜西·模擬預測）已知函數(shù)fx的部分圖象如圖所示，則fx的解析式可能為（A．fx=ex?e?x B．【解題思路】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷AB選項錯誤，對C代入x=2判斷C錯誤，則可得到D正確.【解答過程】根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象，知f(1)≈1，而對A選項f1對B選項fx=1?2ex則fx根據(jù)C選項的解析式，f(2)=22≈2.8，而根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象，知故選：D.【題型5指對冪函數(shù)的單調(diào)性問題】【例5】（2024·遼寧·一模）若函數(shù)fx=3?2x2+axA．?∞,4 B．4,16 C．16,+∞【解題思路】利用“同增異減”判斷復合函數(shù)的單調(diào)性，從而求參數(shù)的取值范圍.【解答過程】設fu=3u，u=?2x因為fx=3?2x2+ax結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得：a4≤1，解得故選：A.【變式5-1】（2024·山西晉中·三模）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在0,+∞上單調(diào)遞減的是（

A．fx=2C．fx=1【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)和單調(diào)性的定義，結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象逐項判斷.【解答過程】對于A：函數(shù)fx=2又f?x=2對于B：由冪函數(shù)fx=x3的圖象可知，對于C：函數(shù)fx=1又f?x=1又冪函數(shù)y=1x,y=?x所以函數(shù)fx=1對于D：因為對數(shù)函數(shù)y=lnx在所以函數(shù)fx=ln故選：C.【變式5-2】（2024·江蘇無錫·模擬預測）在下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在0,+∞上是增函數(shù)的是（

A．y=x12 B．y=x13【解題思路】運用冪函數(shù)奇偶性和單調(diào)性可解【解答過程】根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)知道，y=x12定義域為[y=x13y=x23y=x?1=故選：B．【變式5-3】（2024·海南·模擬預測）已知a>0且a≠1，若函數(shù)fx=ax與gx=logA．0,12 B．12,1 C．【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)的單調(diào)性計算即可.【解答過程】由題意知y=x2+4ax+7所以gx在?1,+∞得12又fx=a綜上得1<a<2.故選：C.【題型6指對冪數(shù)比較大小】【例6】（2024·寧夏吳忠·一模）已知a=0.23,b=A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．b>a>c D．c>b>a【解題思路】借助指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性借助中間量比較即可得.【解答過程】a=0.23<0.20故b>1>a>0>c，故b>a>c.故選：C.【變式6-1】（2024·四川眉山·一模）若a=log391.1，b=logA．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．a(chǎn)>c>b【解題思路】結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)易得a=2.2，b=log25，c<2，進而分析比較22.2與5的大小，進而比較【解答過程】a=log39b=log則a>c，b>c，下面比較a與b的大小，即比較2.2=log22即比較22.2與5即比較211與55的大小，而則a<b，所以b>a>c.故選：B.【變式6-2】（2024·貴州遵義·模擬預測）設a=log20242026，b=log2023A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．b>c>a D．b>a>c【解題思路】根據(jù)指對互化，結(jié)合對數(shù)函數(shù)fx=log2024x的單調(diào)性可比較a,c【解答過程】因為2024c=2025，所以又因為函數(shù)fx=log2024x在x∈因為函數(shù)gx=log所以0=log則1log20262023>1綜上可得：b>a>c.故選：D.【變式6-3】（2024·陜西銅川·模擬預測）設a=22，b=log23A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．a(chǎn)>c>b【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【解答過程】因為y=2x在R上單調(diào)遞增，又2>1，所以2因為32>27，所以332>3因為y=log2x所以log225因為3>53，所以2>所以a>c>b．故選：D．【題型7解不等式問題】【例7】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx=3x?2?32?xA．?∞,4 B．?∞,2 C．【解題思路】設gx=3x?3?x，即可判斷gx為奇函數(shù)，又fx=gx?2，可得f【解答過程】設gx=3x?3?x又fx則fx的圖象是由gx的圖象向右平移所以fx圖象的對稱中心為2,0，所以f因為y=3x在R上單調(diào)遞增，y=3所以gx在R上單調(diào)遞增，則fx在因為fx所以f8?3x>f4?x，所以8?3x>4?x故滿足fx+f8?3x>0的故選：B.【變式7-1】（2024·廣東肇慶·一模）已知定義在R上的函數(shù)gx=ex?e?x+fxA．?∞,1C．14,+∞【解題思路】由gx是奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞減，函數(shù)y=?ex?e?x也是奇函數(shù)且在【解答過程】定義在R上的函數(shù)gx因為gx是奇函數(shù)，y=ex由fx=gx因為y=ex?又因為gx是減函數(shù)，所以fx在因為flog12x<f故選：B.【變式7-2】（2024·吉林長春·模擬預測）設函數(shù)fx=2?x,x≤0log1A．?∞,?1∪C．?1,19 【解題思路】分t≤0和t>0兩種情況進行求解即可得答案.【解答過程】當t≤0時，則ft=2當t>0時，則ft=log綜上，t的取值范圍是?∞故選：A．【變式7-3】（2024·黑龍江牡丹江·一模）已知gx=x3fx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx在區(qū)間?∞,0A．0,13 B．8,+∞ C．(0,【解題思路】先應用奇函數(shù)化簡再結(jié)合不等式得出對數(shù)不等式，最后結(jié)合對數(shù)的單調(diào)性解不等式.【解答過程】因為gx=x所以fx是偶函數(shù)，f(所以f(logf(log2m)≥f(3)，又fx在區(qū)間?∞所以|log2m|≥3，即log即m≥8或0<m≤1故選：D．【題型8反函數(shù)】【例8】（23-24高一上·湖南株洲·階段練習）已知函數(shù)f(x)=logax與g(x)=axa>0,a≠1互為反函數(shù)．若f(x)=lnA．ln2 B．2e C．e【解題思路】根據(jù)題意，得到g(x)=ex，代入【解答過程】由函數(shù)f(x)=logax若f(x)=lnx的反函數(shù)為g(x)=e故選：C.【變式8-1】（23-24高一上·遼寧大連·期末）已知函數(shù)f(x)在定義域1,3上滿足fxfy=f(x+y)，f(1)=2，函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f?1A．2 B．4 C．5 D．8【解題思路】根據(jù)反函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可令f(x)=2x，進而有f?1【解答過程】由題意，令f(x)=2x∈[2,8]，滿足1,3上f(x)f(y)=f(x+y)此時f?1x=所以g(x)=2x+所以g(x)故選：C.【變式8-2】（23-24高二下·浙江寧波·期末）已知函數(shù)fx=ax(a>0，且a≠1)的圖象過點2,4,gxA．既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C．既是偶函數(shù)又是減函數(shù) D．既是偶函數(shù)又是增函數(shù)【解題思路】首先代入點的坐標求出a，即可求出gx的解析式，從而求出g【解答過程】因為函數(shù)fx=ax(a>0，且a≠1)的圖象過點2,4所以fx=2x，又gx則g2+x2?x=log2所以g2+x2?x的定義域為?2,2，令則??x=log又y=2+x2?x=?4x?2?1在所以g2+x2?x=故選：B.【變式8-3】（23-24高一下·安徽·階段練習）已知函數(shù)fx=4x?4?x2的反函數(shù)為A．4 B．2 C．1 D．0【解題思路】首先得到fx的單調(diào)性和奇偶性，從而得到其反函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，最后根據(jù)g【解答過程】因為f(?x)=4且函數(shù)fx的定義域為R，則f(x)因為y=4x,y=?4?x均為R根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于直線y=x對稱，則函數(shù)f(x)=4x?故g(x)=f?1(x?2)+2在[?2,6]上單調(diào)遞增，且g因為?2+6=2×2，則g(?2)+g(6)=2×2=4，即其最大值與最小值之和為2+2=4.故選：A.【題型9指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的綜合應用】【例9】（23-24高一下·廣東汕頭·期中）已知函數(shù)fx(1)求實數(shù)a的值；(2)判斷函數(shù)fx(3)設函數(shù)g(x)=log2x2?log2x4【解題思路】（1）考慮a≥0和a<0兩種情況，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)計算得到答案.（2）確定定義域，設?x1,x2（3）根據(jù)單調(diào)性確定x∈0,1時fx的值域A=3,+∞，設【解答過程】（1）由已知函數(shù)需滿足2x+a≠0，當a≥0時，函數(shù)的定義域為函數(shù)fx=2即2?x+12?x+a=?2當a<0時，x≠log2?a又函數(shù)fx=2此時fx=2f?x綜上所述：a=?1；（2）fx在?∞,0fx=2設?x1,則f因為x1,x2∈所以fx1>fx2同理可證，所以fx在?所以fx在0,+∞，（3）函數(shù)fx在?∞,0且當x∈?∞,0時，fx<0x2∈0,1時，fx≥f1=3又gx設t=log2x,t∈當t=32時，取最小值為?14+m即gx在x∈2,8上的值域又對任意的x1∈2,8，總存在x即B?A，所以?14+m≥3，解得m≥【變式9-1】（24-25高一上·黑龍江大慶·期中）已知函數(shù)fx=log(1)求k的值；(2)若函數(shù)gx=9fx?3【解題思路】（1）根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得到恒等式，求參數(shù)值即可；（2）由題設有g(shù)x=32x?2m?3x【解答過程】（1）因函數(shù)fx=log故f=log因x∈R且不恒為0，故2k+1=0，得k=?1（2）由（1），得fx則gx設t=3x，因0≤x≤2，則t∈1,9，?①當m≥9時，?t在區(qū)間1,9上單調(diào)遞減，則?tmin②當1<m<9時，?t在區(qū)間1,9上先減后增，故?tmin=?m③當m≤1時，?t在區(qū)間1,9上單調(diào)遞增，則?tmin故存在m=2，使得g【變式9-2】（24-25高三上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)fx(1)當k=0時，解不等式fx(2)若函數(shù)fx的最大值是?1，求k【解題思路】（1）根據(jù)復合型對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式求解集；（2）令t=k?32x?k?2?3x【解答過程】（1）由題意fx=log32?3x（2）令t=k?32x?所以，f(x)最大值是?1，則只需tmax=1所以t=km2?k?2m+k+根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)有k<0，則函數(shù)t的圖象開口向下，對稱軸為m=k?2所以k×(k?22k整理得3k2+4k?4=(3k?2)(k+2)=0，可得k=?2【變式9-3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知非常數(shù)函數(shù)f(x)=log19(1)求實數(shù)a,b的值；(2)判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(3)已知g(x)=m?4x?2x+2【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出a,b.（2）由（1）求出函數(shù)f(x)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)函數(shù)的定義判斷推理即可.（3）根據(jù)給定條件，將不等式轉(zhuǎn)化為[f(x【解答過程】（1）函數(shù)f(x)為(?2,2)上的奇函數(shù)，則f(?x)+f(x)=0，且f(0)=0，即log19a+x即a2?x2=4?b2當a=?2，b=?1時，f(x)=log19?2?x2?x當a=?2，b=1時，a?x2+bx=?1，函數(shù)當a=2，b=?1時，a?x2+bx=1，函數(shù)當a=2，b=1時，f(x)=log19所以a=2，b=1.（2）由（1）知，f(x)=log92+x2?x=而函數(shù)y=log9x在(0,+∞)?x1,x2于是0<42?x1?1<因此log9(4所以函數(shù)f(x)在(?2,2)上單調(diào)遞增.（3）由（2）知，函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，則?x∈(1,2)，f(x)>f(1)=1由?x1∈(1,2)，?x2因此?x∈[?1,1]，g(x)≤1?m?4當x∈[?1,1]時，12≤2x≤2當且僅當x=0時取等號，于是m≤2，所以m的取值范圍是m≤2.1．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（A．f(x)=?lnx C．f(x)=?1x 【解題思路】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【解答過程】對于A，因為y=lnx在0,+∞上單調(diào)遞增，y=?x所以fx=?ln對于B，因為y=2x在0,+∞上單調(diào)遞增，y=所以fx=1對于C，因為y=1x在0,+∞上單調(diào)遞減，y=?x所以fx=?1對于D，因為f12=顯然fx=3故選：C.2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)fx=e?(x?1)A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解題思路】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【解答過程】令g(x)=?(x?1)2，則g(x)開口向下，對稱軸為因為62?1?1?所以62?1?由二次函數(shù)性質(zhì)知g(6因為62?1?1?即62?1<1?2綜上，g(2又y=ex為增函數(shù)，故a<c<b，即故選：A.3．（2023·全國·高考真題）已知f(x)=xexeaxA．?2 B．?1 C．1 D．2【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.【解答過程】因為fx=x又因為x不恒為0，可得ex?e則x=a?1x，即1=a?1，解得故選：D.4．（2023·天津·高考真題）設a=1.010.5,b=1.010.6A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．c<a<b【解題思路】根據(jù)對應冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.【解答過程】由y=1.01x在R上遞增，則由y=x0.5在[0,+∞所以b>a>c.故選：D.5．（2023·全國·高考真題）設函數(shù)fx=2xx?a在區(qū)間0,1A．?∞,?2 C．0,2 D．2,+【解題思路】利用指數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.【解答過程】函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)fx則有函數(shù)y=x(x?a)=(x?a2)2?a所以a的取值范圍是2,+∞故選：D.6．（2024·北京·高考真題）已知x1,y1，x2A．log2y1C．log2y1【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.【解答過程】由題意不妨設x1<x2，因為函數(shù)y=2對于選項AB：可得2x1+根據(jù)函數(shù)y=log2x對于選項D：例如x1=0,x可得log2y1對于選項C：例如x1=?1,x可得log2y1故選：B.7．（2024·北京·高考真題）生物豐富度指數(shù)d=S?1lnN是河流水質(zhì)的一個評價指標，其中S,N分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)S沒有變化，生物個體總數(shù)由N1變?yōu)镹2，生物豐富度指數(shù)由2.1A．3N2=2C．N22=N【解題思路】根據(jù)題意分析可得S?1lnN1【解答過程】由題意得S?1lnN1=2.1,S?1lnN故選：D.8．（2024·天津·高考真題）設a=4.2?0.2，b=4.2A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<b<a D．c<a<b【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.【解答過程】因為y=4.2x在R上遞增，且所以0<4.2所以0<4.2?0.2<1<因為y=log4.2x在(0,+所以log4.20.2<log所以c<a<b，故選：D.9．（2024·天津·高考真題）已知a,b∈R，則“a3=b3”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】說明二者與同一個命題等價，再得到二者等價，即是充分必要條件.【解答過程】根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，a3=b3和故選：C.10．（2024·全國·高考真題）設函數(shù)f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，則a2A．18 B．14 C．1【解題思路】解法一：由題意可知：f(x)的定義域為?b,+∞，分類討論?a與?b,1?b的大小關(guān)系，結(jié)合符號分析判斷，即可得b=a+1，代入可得最值；解法二：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析ln(x+b)的符號，進而可得x+a的符號，即可得【解答過程】解法一：由題意可知：f(x)的定義域為?b,+∞令x+a=0解得x=?a；令ln(x+b)=0解得x=1?b若?a≤?b，當x∈?b,1?b時，可知x+a>0,此時f(x)<0，不合題意；若?b<?a<1?b，當x∈?a,1?b時，可知x+a>0,此時f(x)<0，不合題意；若?a=1?b，當x∈?b,1?b時，可知x+a<0,lnx+b當x∈1?b,+∞時，可知x+a≥0,ln可知若?a=1?b，符合題意；若?a>1?b，當x∈1?b,?a時，可知x+a<0,此時f(x)<0，不合題意；綜上所述：?a=1?b，即b=a+1，則a2+b所以a2+b解法二：由題意可知：f(x)的定義域為?b,+∞令x+a=0解得x=?a；令ln(x+b)=0解得x=1?b則當x∈?b,1?b時，lnx+b<0，故x+a≤0x∈1?b,+∞時，lnx+b>0，故故1?b+a=0，則a2當且僅