上海市香山中學2025年高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點分別為圓與圓的任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.2．若拋物線焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為A. B.C. D.3．已知雙曲線，過點作直線l與雙曲線交于A，B兩點，則能使點P為線段AB中點的直線l的條數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.34．已知公差不為0的等差數(shù)列中，（m，），則mn的最大值為（）A.6 B.12C.36 D.485．設等差數(shù)列的前n項和為，，公差為d，，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.當時，取得最大值C. D.使得成立的最大自然數(shù)n是156．如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為（）A.B.C.D.7．方程有兩個不同的解，則實數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.8．如圖，某綠色蔬菜種植基地在A處，要把此處生產(chǎn)的蔬菜沿道路或運送到形狀為四邊形區(qū)域的農(nóng)貿(mào)市場中去，現(xiàn)要求在農(nóng)貿(mào)市場中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點沿道路運送蔬菜較近，而另一側(cè)的點沿道路運送蔬菜較近，則該界線所在曲線為（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線9．已知圓與拋物線的準線相切，則實數(shù)p的值為（）A.2 B.6C.3或8 D.2或610．函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，，則的解集為（）A. B.C. D.11．若離散型隨機變量的所有可能取值為1，2，3，…，n，且取每一個值的概率相同，若，則n的值為（）A.4 B.6C.9 D.1012．若是函數(shù)的極值點，則函數(shù)（）A.有最小值，無最大值 B.有最大值，無最小值C.有最小值，最大值 D.無最大值，無最小值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以正方體的對角線的交點為坐標原點O建立右手系的空間直角坐標系，其中，，，則點的坐標為______14．已知直線被圓截得的弦長等于該圓的半徑，則實數(shù)_____.15．在等差數(shù)列中，，公差，則_________16．已知點，平面過，，三點，則點到平面的距離為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求的通項公式；.（2）求數(shù)列的前n項和.18．（12分）設等差數(shù)列的前n項和為，已知（1）求數(shù)列通項公式；（2）設，數(shù)列的前n項和為．定義為不超過x的最大整數(shù)，例如．當時，求n的值19．（12分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，且的面積為，求的周長.20．（12分）在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）寫出曲線C的極坐標方程；（2）已知直線與曲線C相交于A，B兩點，求.21．（12分）已知為數(shù)列的前n項和，，且，，其中為常數(shù).（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）是否存在，使得是等差數(shù)列？并說明理由.22．（10分）已知拋物線C：經(jīng)過點.（1）求拋物線C的方程及其準線方程；（2）經(jīng)過拋物線C的焦點F的直線l與拋物線交于兩點M，N，且與拋物線的準線交于點Q.若，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】先判定兩圓的位置關(guān)系為相離的關(guān)系，然后利用幾何方法得到的取值范圍.【詳解】的圓心為,半徑，的圓心為,半徑，圓心距，∴兩圓相離，∴，故選：B.2、D【解析】解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D3、A【解析】先假設存在這樣的直線，分斜率存在和斜率不存在設出直線的方程，當斜率k存在時，與雙曲線方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個不同點，則，，又根據(jù)是線段的中點，則，由此求出與矛盾，故不存在這樣的直線滿足題意；當斜率不存在時，過點的直線不滿足條件，故符合條件的直線不存在.詳解】設過點的直線方程為或，①當斜率存在時有，得(*)當直線與雙曲線相交于兩個不同點，則必有：，即又方程(*)的兩個不同的根是兩交點、的橫坐標，又為線段的中點，，即，，使但使，因此當時，方程①無實數(shù)解故過點與雙曲線交于兩點、且為線段中點的直線不存在②當時，經(jīng)過點的直線不滿足條件.綜上，符合條件的直線不存在故選：A4、C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再應用基本不等式求mn的最大值，注意等號成立條件.【詳解】由題設及等差數(shù)列的性質(zhì)知：，又m，，所以，即，當且僅當時等號成立.所以mn的最大值為.故選：C5、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列等差中項的性質(zhì)，求和公式及單調(diào)性分別判斷.【詳解】因為，，所以，則，故A正確;當時,取得最大值，故B正確;，故C正確;因為，，，所以使得成立的最大自然數(shù)是，故D錯誤.故選：D6、D【解析】由題設，“需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）“可得出此兩點處的切線正是兩條直道所在直線，由此規(guī)律驗證四個選項即可得出答案【詳解】由函數(shù)圖象知，此三次函數(shù)在上處與直線相切，在點處與相切，下研究四個選項中函數(shù)在兩點處的切線A：，將0代入，此時導數(shù)為，與點處切線斜率為矛盾，故A錯誤B：，將0代入，此時導數(shù)為，不為，故B錯誤；C：，將2代入，此時導數(shù)為，與點處切線斜率為3矛盾，故C錯誤；D：，將0，2代入，解得此時切線的斜率分別是，3，符合題意，故D正確；故選：D.7、C【解析】轉(zhuǎn)化為圓心在原點半徑為1的上半圓和表示恒過定點的直線始終有兩個公共點，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】令，平方得表示圓心在原點半徑為1的上半圓，表示恒過定點的直線，方程有兩個不同的解即半圓和直線要始終有兩個公共點，如圖圓心到直線的距離為，解得，當直線經(jīng)過時由得，當直線經(jīng)過時由得，所以實數(shù)k的取值范圍為.故選：C.8、C【解析】設是界限上的一點，則，即，再根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案.【詳解】解：設是界限上的一點，則，所以，即，在中，，所以點的軌跡為雙曲線，即該界線所在曲線為雙曲線.故選：C.9、D【解析】由拋物線準線與圓相切，結(jié)合拋物線方程，令求切線方程且拋物線準線方程為，即可求參數(shù)p.【詳解】圓的標準方程為：，故當時，有或，所以或，得或6故選：D10、D【解析】分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，且有，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則該函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由可得，所以，，可得或，解得或.因此，不等式的解集為.故選：D.11、D【解析】根據(jù)分布列即可求出【詳解】因為，所以故選：D12、A【解析】對求導，根據(jù)極值點求參數(shù)a，再由導數(shù)研究其單調(diào)性并判斷其最值情況.【詳解】由題設，且，∴，可得.∴且，當時，遞減；當時，遞增；∴有極小值，無極大值.綜上，有最小值，無最大值.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)已知點的坐標，確定出坐標系即可得【詳解】如圖，由已知得坐標系如圖所示，軸過正方形的對角線交點，軸過中點，軸過中點，因此可知坐標為故答案為：14、2或－4【解析】求出圓心到直線的距離，由幾何法表示出弦長，列出等量關(guān)系，即可求出結(jié)果.【詳解】由得，所以圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，則由題可得，即，解得或.故答案為：2或.15、15【解析】由等差數(shù)列通項公式直接可得.【詳解】.故答案為：1516、【解析】先求得平面ABC的一個法向量，然后由求解.【詳解】因為，，，，所以，設平面ABC的一個法向量為，則，即，令，則，所以則點到平面的距離為，故答案：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合當時，探求數(shù)列的性質(zhì)即可計算作答.(2)由(1)求出，再利用錯位相減法計算作答.小問1詳解】依題意，當時，因為，則，當時，，解得，于是得數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，則，所以的通項公式是.【小問2詳解】由(1)可知，，則，因此，兩式相減得：，于是得，所以數(shù)列的前n項和.18、（1）（2）10【解析】（1）由等差數(shù)列的前項和公式求得公差，可得通項公式；（2）用裂項相消法求和求得，根據(jù)新定義求得，然后分組，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式計算后解方程可得【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為d，因為，則.因為，則，得.所以數(shù)列的通項公式是【小問2詳解】因為，則所以.當時，因為，則.當時，因為，則.因為，則，即，即，即．因為，所以19、（1）（2）【解析】（1）由，根據(jù)正弦定理化簡得，利用余弦定理求得，即可求解；（2）由的面積，求得，結(jié)合余弦定理，求得，即可求解.【小問1詳解】解：因為，所以.由正弦定理得，可得，所以，因為，所以.【小問2詳解】解：由的面積，所以.由余弦定理得，所以，所以，所以的周長為.20、（1）；（2）.【解析】（1）首先將圓的參數(shù)方程華為普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標方程即可.（2）首先聯(lián)立得到，再求的長度即可.【詳解】（1）將曲線C的參數(shù)方程，（為參數(shù)）化為普通方程，得，極坐標方程為.（2）聯(lián)立方程組，消去得，設點A，B對應的極徑分別為，，則，，所以.21、（1）詳見解析；（2）存在時是等差數(shù)列，詳見解析.【解析】（1）利用與的關(guān)系可得，再結(jié)合條件即證；（2）由題可得，，若是等差數(shù)列，可得，進而可求數(shù)列的通項公式，即證.【小問1詳解】∵，∴，∴，又，∴，∴，∴數(shù)列為等差數(shù)列；【小問2詳解】∵，，∴，又，∴，若是等差數(shù)列，則，即，解得，當時，由，∴數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，即，為奇數(shù)，∴數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列為首項為2，公差為2的等差數(shù)列