高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西示范性高中2026屆高三上學(xué)期9月聯(lián)合調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所?故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.3.已知函數(shù)，若函數(shù)在處取得最小值，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在處取得最小值，，又，所以.故選：D．4.若，則的最小值為（）A.24 B.26 C.32 D.92【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，由基本不等式可得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)解得，，則的最小值為32，故C正確.故選：C.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則（）A.35 B.40 C.45 D.50【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，則，所以．故選：C．6.設(shè)F為雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，，分別為C的兩條漸近線的傾斜角，且滿足，已知點(diǎn)F到其中一條漸近線的距離為，則雙曲線C的焦距為（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】雙曲線（，）的漸近線方程為，即．，分別為C的兩條漸近線的傾斜角，．又，，，．又雙曲線的右焦點(diǎn)到其中一條漸近線（不妨取這條）的距離為，，，，雙曲線C的焦距為．故選：C.7.已知的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，而展開(kāi)式中的通項(xiàng)為，，令，得；令，得，則的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，解得.故選：A.8.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題知.∵，∴即.∴.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，為的公比（），，，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對(duì)于等比數(shù)列，有，依題意，，解得或（舍），，選項(xiàng)A正確；，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于等比數(shù)列，有，因此，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于等比數(shù)列，有，，則，選項(xiàng)D正確.故選：AD.10.函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，B.方程有3個(gè)不等實(shí)根C.函數(shù)有最大值D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，解得，時(shí)，，解得，又，所以有和0三個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，∴時(shí)，有極小值，時(shí)，，，，由是奇函數(shù)，∴時(shí)，有極大值，又，所以的值域是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C的討論知，因此對(duì)任意的實(shí)數(shù)有，，∴，即，故D正確.故選：ABD.11.若正四棱柱的底面棱長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為3，且為棱的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足與底面的所成角，下列結(jié)論正確的是（

）A.點(diǎn)形成的軌跡長(zhǎng)度為B.有且僅有一個(gè)點(diǎn)使得C.四面體的體積取值范圍為D.線段長(zhǎng)度最小值為【答案】AC【解析】A選項(xiàng)，由線面角的定義可知，，即，故點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)橐詾閳A心，1為半徑的圓在正方形內(nèi)部部分（包含邊界），即圓的，軌跡長(zhǎng)度為，A正確；如圖，設(shè)點(diǎn)的軌跡與交于點(diǎn)，B選項(xiàng)，不妨點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)，由余弦定理可得：，則，同理可得：，則，故不止一個(gè)點(diǎn)使得，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，如圖，平面，平面，所以，且，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，且平面平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離相等，如圖，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離最大，最大距離為此時(shí)四面體的體積為，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離最小，最小距離為，因?yàn)椋?，所以最小體積為，故四面體的體積取值范圍為，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)取最小值時(shí)，線段長(zhǎng)度最小，由三角形兩邊之和大于第三邊知：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即，則，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知一組數(shù)據(jù)，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是_________.【答案】13【解析】由題意得數(shù)據(jù)共個(gè)數(shù)，由百分位數(shù)位置公式得，而不是整數(shù)，向上取整為，而的第個(gè)數(shù)是13，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是13.故答案為：13.13.已知非零向量在向量上的投影向量為，，則________.【答案】【解析】因?yàn)榉橇阆蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，所以，故，所?故答案為：.14.機(jī)場(chǎng)為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長(zhǎng)為，開(kāi)口直徑為．旅客使用紙杯喝水時(shí)，當(dāng)水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過(guò)母線中點(diǎn)時(shí)，橢圓的離心率等于______．【答案】【解析】如圖，設(shè),因,故，又,由余弦定理，，即,設(shè)橢圓中心為,作圓錐的軸截面,與底面直徑交于，與橢圓交于，連交于，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，建立直角坐標(biāo)系.則,又由得,從而則得,不妨設(shè)橢圓方程為，把和點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，解得，則，故故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求角B；（2）若，△ABC的面積為1，求△ABC的周長(zhǎng).【答案】解：（1）因?yàn)?，所?又，所以，則，因?yàn)?，所以，?由，可得.（2）因?yàn)椤鰽BC的面積為1，所以，得.由余弦定理可知，則，所以，故△ABC的周長(zhǎng)為.16.已知函數(shù)的圖象在處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為.（1）求的值；（2）記的極大值點(diǎn)為，證明:.【答案】（1）解：因?yàn)?，可知的定義域?yàn)?，且，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，則切線方程為，令，可得，則切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，解得.（2）證明：由（1）可得：，，，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，且，可知在定義域內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以的極大值點(diǎn)為，又因?yàn)?，可得，所?17.由四棱柱截去三棱錐后得到如圖所示的幾何體，四邊形是菱形，為與的交點(diǎn)，平面.（1）求證：平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明：如圖所示，取中點(diǎn)，連接，，則由題意且，故四邊形是平行四邊形，所以且，故且，所以四邊形是平行四邊形，則.又平面平面，所以平面.（2）解：由題意可知兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由題意.又，，，即，，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，則，取，則.設(shè)與平面所成角，則，所以與平面所成角的正弦值為.18.已知點(diǎn)在拋物線：（）上，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交于另一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于軸對(duì)稱，再過(guò)作斜率為的直線交于另一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于軸對(duì)稱，以此類推一直作下去，設(shè)（）．（1）求拋物線的方程；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍；（3）求（）的面積．【答案】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線：上，則，解得，所以拋物線的方程為；（2）由可知，，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線：上，則，且，過(guò)，，且斜率為的直線：．聯(lián)立方程，消去得，解得或，因?yàn)?，故，即，故?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，所以，又，所以，所以，所以，又是關(guān)于的遞增函數(shù)，故，的取值范圍是；（3）由（2）知：直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為，，所以（）的面積為．19.某企業(yè)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級(jí)，升級(jí)后的設(shè)備控制系統(tǒng)由（）個(gè)相同的元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率均為（），各元件之間相互獨(dú)立．當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于個(gè)元件正常工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正常運(yùn)行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率，表示控制系統(tǒng)由5個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率）．（1）若，當(dāng)時(shí)，①求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；②求；（2）升級(jí)后的設(shè)備控制系統(tǒng)原有（）個(gè)元件，若將該設(shè)備的控制系統(tǒng)增加2個(gè)相同的元件，請(qǐng)分析是否能夠提高設(shè)備正常運(yùn)行的概率．【答案】解：（1）①因?yàn)椋钥刂葡到y(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，因?yàn)槊總€(gè)元件的工作相互獨(dú)立，且正常工作的概率均為，所以．所以，，，.所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)的分布列為：0123控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.②.（2）若控制系統(tǒng)增加2個(gè)元件，則至少要有個(gè)元件正常工作，設(shè)備才能正常工作，設(shè)原系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)為，第一類：原系統(tǒng)中至少有個(gè)元件正常工作，其概率為；第二類：原系統(tǒng)中恰好有個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件中至少有1個(gè)正常工作，其概率為；第三類：原系統(tǒng)中恰好有個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件全部正常工作，其概率為.所以.所以，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即增加2個(gè)相同元件，設(shè)備正常工作的概率變大，即能提高設(shè)備正常運(yùn)行的概率；當(dāng)時(shí)，，即增加2個(gè)相同元件，設(shè)備正常工作的概率沒(méi)有變大.廣西示范性高中2026屆高三上學(xué)期9月聯(lián)合調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所?故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.3.已知函數(shù)，若函數(shù)在處取得最小值，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在處取得最小值，，又，所以.故選：D．4.若，則的最小值為（）A.24 B.26 C.32 D.92【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，由基本不等式可得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)解得，，則的最小值為32，故C正確.故選：C.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則（）A.35 B.40 C.45 D.50【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，則，所以．故選：C．6.設(shè)F為雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，，分別為C的兩條漸近線的傾斜角，且滿足，已知點(diǎn)F到其中一條漸近線的距離為，則雙曲線C的焦距為（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】雙曲線（，）的漸近線方程為，即．，分別為C的兩條漸近線的傾斜角，．又，，，．又雙曲線的右焦點(diǎn)到其中一條漸近線（不妨取這條）的距離為，，，，雙曲線C的焦距為．故選：C.7.已知的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，而展開(kāi)式中的通項(xiàng)為，，令，得；令，得，則的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，解得.故選：A.8.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題知.∵，∴即.∴.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，為的公比（），，，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對(duì)于等比數(shù)列，有，依題意，，解得或（舍），，選項(xiàng)A正確；，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于等比數(shù)列，有，因此，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于等比數(shù)列，有，，則，選項(xiàng)D正確.故選：AD.10.函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，B.方程有3個(gè)不等實(shí)根C.函數(shù)有最大值D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，解得，時(shí)，，解得，又，所以有和0三個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，∴時(shí)，有極小值，時(shí)，，，，由是奇函數(shù)，∴時(shí)，有極大值，又，所以的值域是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C的討論知，因此對(duì)任意的實(shí)數(shù)有，，∴，即，故D正確.故選：ABD.11.若正四棱柱的底面棱長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為3，且為棱的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足與底面的所成角，下列結(jié)論正確的是（

）A.點(diǎn)形成的軌跡長(zhǎng)度為B.有且僅有一個(gè)點(diǎn)使得C.四面體的體積取值范圍為D.線段長(zhǎng)度最小值為【答案】AC【解析】A選項(xiàng)，由線面角的定義可知，，即，故點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)橐詾閳A心，1為半徑的圓在正方形內(nèi)部部分（包含邊界），即圓的，軌跡長(zhǎng)度為，A正確；如圖，設(shè)點(diǎn)的軌跡與交于點(diǎn)，B選項(xiàng)，不妨點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)，由余弦定理可得：，則，同理可得：，則，故不止一個(gè)點(diǎn)使得，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，如圖，平面，平面，所以，且，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，且平面平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離相等，如圖，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離最大，最大距離為此時(shí)四面體的體積為，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離最小，最小距離為，因?yàn)椋?，所以最小體積為，故四面體的體積取值范圍為，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)取最小值時(shí)，線段長(zhǎng)度最小，由三角形兩邊之和大于第三邊知：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即，則，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知一組數(shù)據(jù)，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是_________.【答案】13【解析】由題意得數(shù)據(jù)共個(gè)數(shù)，由百分位數(shù)位置公式得，而不是整數(shù)，向上取整為，而的第個(gè)數(shù)是13，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是13.故答案為：13.13.已知非零向量在向量上的投影向量為，，則________.【答案】【解析】因?yàn)榉橇阆蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，所以，故，所?故答案為：.14.機(jī)場(chǎng)為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長(zhǎng)為，開(kāi)口直徑為．旅客使用紙杯喝水時(shí)，當(dāng)水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過(guò)母線中點(diǎn)時(shí)，橢圓的離心率等于______．【答案】【解析】如圖，設(shè),因,故，又,由余弦定理，，即,設(shè)橢圓中心為,作圓錐的軸截面,與底面直徑交于，與橢圓交于，連交于，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，建立直角坐標(biāo)系.則,又由得,從而則得,不妨設(shè)橢圓方程為，把和點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，解得，則，故故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求角B；（2）若，△ABC的面積為1，求△ABC的周長(zhǎng).【答案】解：（1）因?yàn)?，所?又，所以，則，因?yàn)?，所以，?由，可得.（2）因?yàn)椤鰽BC的面積為1，所以，得.由余弦定理可知，則，所以，故△ABC的周長(zhǎng)為.16.已知函數(shù)的圖象在處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為.（1）求的值；（2）記的極大值點(diǎn)為，證明:.【答案】（1）解：因?yàn)椋芍亩x域?yàn)?，且，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，則切線方程為，令，可得，則切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，解得.（2）證明：由（1）可得：，，，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，且，可知在定義域內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以的極大值點(diǎn)為，又因?yàn)?，可得，所?17.由四棱柱截去三棱錐后得到如圖所示的幾何體，四邊形是菱形，為與的交點(diǎn)，平面.（1）求證：平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明：如圖所示，取中點(diǎn)，連接，，則由題意且，故四邊形是平行四邊形，所以且，故且，所以四邊形是平行四邊形，則.又平面平面，所以平面.（2）解：由題意可知兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由題意.又，，，即，，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，則，取，則.設(shè)與平面所成角，則，所以與平面所成角的正弦值為.18.已知點(diǎn)在拋物線：（）上，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交于另一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于軸對(duì)稱，再過(guò)作斜率為的直線交于另一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于軸對(duì)稱，以此類推一直作下去，設(shè)（）．（1）求拋物線的方程；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍；（3）求（）的面積．【答案】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線：上，則，解得，所以拋物線的方程為；（2）由可知，，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線：上，則，且，過(guò)，，且斜率為的直線：．聯(lián)立方程，消