高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省德州市2026屆高三上學期開學考試數(shù)學試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，測試時間120分鐘．注意事項：選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測試卷上．第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的4個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1.已知向量，，若，則（）．A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】，，由可得，解得.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，則.故選：C.3.已知復數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.4.在的展開式中，常數(shù)項為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的展開式通項為，令，解得，所以，展開式中的常數(shù)項為.故選：D.5.某工廠生產(chǎn)了500件產(chǎn)品，質檢人員測量其長度(單位:厘米)，將測量數(shù)據(jù)分成6組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果要讓90%的產(chǎn)品長度不超過厘米，根據(jù)直方圖估計，下列最接近的數(shù)是（）A.93.5 B.94.1C.94.7 D.95.5【答案】C【解析】觀察頻率分布直方圖，得，則，，所以，與最接近的數(shù)為.故選：C.6.某圓錐母線長為，其側面積與軸截面面積的比值為，則該圓錐體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設該圓錐的高為，底面半徑為，則，由圓錐側面積與軸截面面積的比值為，得，解得，所以該圓錐體積為.故選：B.7.已知橢圓的左、右焦點分別為，以為圓心的圓經(jīng)過點，且與軸正半軸交于點A，若線段的中點在上，則的離心率是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設，由題知圓的半徑為，且，得為等邊三角形，則，設線段的中點為，則，且，因為點在上，所以得，即，即的離心率為.故選：A.8.甲箱中有2個白球和4個黑球，乙箱中有4個白球和2個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，以，分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示從乙箱中取出的是白球，則下列結論錯誤的是（）A.，互斥 B.C. D.【答案】C【解析】因為每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正確；由題意得，，，，，故B，D均正確；因為，故C錯誤.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的4個選項中，有多項符合題目要求；全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為2B.的定義域是C.的圖象關于點對稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】對于A，由可知其最小正周期，故A正確；對于B，由可知，故B錯誤；對于C，令，，可得，，所以函數(shù)的對稱中心為，，又，，所以的圖象關于點對稱，故C正確；對于D，由可知，又在上遞增，故D正確.故選：ACD.10.在正方體中，為棱上的動點（不包括兩個端點），過點作平面，使得平面，則（）A.平面 B.∥平面C.平面平面 D.平面∥平面【答案】BC【解析】對于A，若，因為，所以，因為，所以，矛盾，所以A錯誤；對于B，因為平面，所以，因為，且，所以，所以B正確；對于C，因為平面，且，所以平面，所以C正確；對于D，若平面，因為，所以平面，又平面，矛盾，所以D錯誤．故選：BC.11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線與在第一、四象限的交點分別為，與軸的交點為，，則（）A.直線的斜率為 B.的離心率為2C.到上最近點的距離為 D.【答案】ABD【解析】對于A，記雙曲線的焦距為，則，，由，，根據(jù)勾股定理得，如圖過點A作軸的垂線，垂足為，由AF2=因此，，，即，所以，選項A正確；對于B，將代入雙曲線方程可得，即，再將代入得，即，解得，所以的離心率為，選項B正確；對于C，由可知，且雙曲線的漸近線方程為，則點到雙曲線的漸近線的距離為，所以點到上最近點的距離大于352a，選項C對于D，由得，且雙曲線的方程可轉化為，由，得，將與聯(lián)立并消去得：，記，則，解得，所以，選項D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為______．【答案】【解析】因為，則，故函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為.故答案為：.13.已知，函數(shù)，若，則________．【答案】1【解析】令，可得，所以，所以，又，所以，則，即，因為，所以，，經(jīng)驗證滿足題設，所以．故答案為：1.14.有三個袋子，每個袋子都裝有個球，球上分別標有數(shù)字.現(xiàn)從每個袋子里任摸一個球，用分別表示從第一，第二，第三個袋子中摸出的球上所標記的數(shù)，則事件“”的概率為______.【答案】【解析】由題意，從三個袋子中摸出的球上所標記的數(shù)的總的情況為種，滿足，則，當時，對應的情況有，1種；當時，對應的情況有，2種；當時，對應的情況有，3種；當時，對應的情況有，種；所以滿足的情況有種，故所求事件的概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程與演算步驟．15.已知等差數(shù)列滿足，．（1）求；（2）求數(shù)列的前2n項和．【答案】解：（1）設等差數(shù)列的公差為，則，因為，，所以，，所以，，所以，，所以，（2）由（1）-1n所以數(shù)列-1n?anS2n所以，所以數(shù)列-1n?an+a16.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求A；（2）若的面積為，且∠BAC的平分線交邊BC于點D，求AD的最大值．【答案】解：（1）在中，由正弦定理得.因為，所以.整理得.故.又，故（2）由的面積為，得，解得，∵為內(nèi)角A的角平分線，∴，由，得，因此，，當且僅當時取等號.所以線段長的最大值為.17.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，記較小的實數(shù)根為，求證：.【答案】（1）解：的定義域為，，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上可得：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：由（1）可知：①當時，在上單調(diào)遞增.所以至多有一個實根，不符合題意.②當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以的最小值為.若，則，所以至多有一個實根，不符合題意若，即，得.又，且在上單調(diào)遞減，所以在上有唯一零點.因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，且較小的實數(shù)根為，所以在上的唯一零點就是.所以.所以.所以“”等價于“”，即.由（1）可知當時，的最小值為.又因為，所以.所以.18.如圖，在直三棱柱中，為邊長為2的正三角形，，為的中點，點在棱上，，．（1）當時，求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值時的值．【答案】（1）證明：直三棱柱中，平面，所以是矩形，又當時，，，所以，，．因為為的中點，連接，所以，，．所以，所以．因為平面，平面，所以，又因為是正三角形邊的中點，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因為，，平面，所以平面．（2）解：取的中點，以為正交基底，建立空間直角坐標系．因為，，，，，，，設為平面的一個法向量，則，所以取，，設與平面所成角為，所以．令，．因為，所以．所以當，即時，取到最大值，最大值為1．19.過點作拋物線：的兩條切線，切點分別為．（1）若，求；（2）求證：直線過定點（與的取值無關）；（3）記的焦點為，求證：．【答案】（1）解：設過點的切線為，與聯(lián)立方程組并消去，得．所以判別式，整理得．因為，所以．所以．（2）證明：由拋物線，有，所以，得過點A的切線斜率為．又，所以過點A的切線方程為，即．由點在直線上，所以．整理得．設，同理可得．所以是方程的兩個根，得，．所以直線的斜率．直線的方程為，即．所以．所以直線的方程為，過定點．（3）證明：由（2）知，．因為拋物線的焦點，所以，．所以又因為，所以．同理可得．所以．所以．山東省德州市2026屆高三上學期開學考試數(shù)學試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，測試時間120分鐘．注意事項：選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測試卷上．第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的4個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1.已知向量，，若，則（）．A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】，，由可得，解得.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，則.故選：C.3.已知復數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.4.在的展開式中，常數(shù)項為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的展開式通項為，令，解得，所以，展開式中的常數(shù)項為.故選：D.5.某工廠生產(chǎn)了500件產(chǎn)品，質檢人員測量其長度(單位:厘米)，將測量數(shù)據(jù)分成6組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果要讓90%的產(chǎn)品長度不超過厘米，根據(jù)直方圖估計，下列最接近的數(shù)是（）A.93.5 B.94.1C.94.7 D.95.5【答案】C【解析】觀察頻率分布直方圖，得，則，，所以，與最接近的數(shù)為.故選：C.6.某圓錐母線長為，其側面積與軸截面面積的比值為，則該圓錐體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設該圓錐的高為，底面半徑為，則，由圓錐側面積與軸截面面積的比值為，得，解得，所以該圓錐體積為.故選：B.7.已知橢圓的左、右焦點分別為，以為圓心的圓經(jīng)過點，且與軸正半軸交于點A，若線段的中點在上，則的離心率是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設，由題知圓的半徑為，且，得為等邊三角形，則，設線段的中點為，則，且，因為點在上，所以得，即，即的離心率為.故選：A.8.甲箱中有2個白球和4個黑球，乙箱中有4個白球和2個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，以，分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示從乙箱中取出的是白球，則下列結論錯誤的是（）A.，互斥 B.C. D.【答案】C【解析】因為每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正確；由題意得，，，，，故B，D均正確；因為，故C錯誤.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的4個選項中，有多項符合題目要求；全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為2B.的定義域是C.的圖象關于點對稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】對于A，由可知其最小正周期，故A正確；對于B，由可知，故B錯誤；對于C，令，，可得，，所以函數(shù)的對稱中心為，，又，，所以的圖象關于點對稱，故C正確；對于D，由可知，又在上遞增，故D正確.故選：ACD.10.在正方體中，為棱上的動點（不包括兩個端點），過點作平面，使得平面，則（）A.平面 B.∥平面C.平面平面 D.平面∥平面【答案】BC【解析】對于A，若，因為，所以，因為，所以，矛盾，所以A錯誤；對于B，因為平面，所以，因為，且，所以，所以B正確；對于C，因為平面，且，所以平面，所以C正確；對于D，若平面，因為，所以平面，又平面，矛盾，所以D錯誤．故選：BC.11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線與在第一、四象限的交點分別為，與軸的交點為，，則（）A.直線的斜率為 B.的離心率為2C.到上最近點的距離為 D.【答案】ABD【解析】對于A，記雙曲線的焦距為，則，，由，，根據(jù)勾股定理得，如圖過點A作軸的垂線，垂足為，由AF2=因此，，，即，所以，選項A正確；對于B，將代入雙曲線方程可得，即，再將代入得，即，解得，所以的離心率為，選項B正確；對于C，由可知，且雙曲線的漸近線方程為，則點到雙曲線的漸近線的距離為，所以點到上最近點的距離大于352a，選項C對于D，由得，且雙曲線的方程可轉化為，由，得，將與聯(lián)立并消去得：，記，則，解得，所以，選項D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為______．【答案】【解析】因為，則，故函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為.故答案為：.13.已知，函數(shù)，若，則________．【答案】1【解析】令，可得，所以，所以，又，所以，則，即，因為，所以，，經(jīng)驗證滿足題設，所以．故答案為：1.14.有三個袋子，每個袋子都裝有個球，球上分別標有數(shù)字.現(xiàn)從每個袋子里任摸一個球，用分別表示從第一，第二，第三個袋子中摸出的球上所標記的數(shù)，則事件“”的概率為______.【答案】【解析】由題意，從三個袋子中摸出的球上所標記的數(shù)的總的情況為種，滿足，則，當時，對應的情況有，1種；當時，對應的情況有，2種；當時，對應的情況有，3種；當時，對應的情況有，種；所以滿足的情況有種，故所求事件的概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程與演算步驟．15.已知等差數(shù)列滿足，．（1）求；（2）求數(shù)列的前2n項和．【答案】解：（1）設等差數(shù)列的公差為，則，因為，，所以，，所以，，所以，，所以，（2）由（1）-1n所以數(shù)列-1n?anS2n所以，所以數(shù)列-1n?an+a16.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求A；（2）若的面積為，且∠BAC的平分線交邊BC于點D，求AD的最大值．【答案】解：（1）在中，由正弦定理得.因為，所以.整理得.故.又，故（2）由的面積為，得，解得，∵為內(nèi)角A的角平分線，∴，由，得，因此，，當且僅當時取等號.所以線段長的最大值為.17.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，記較小的實數(shù)根為，求證：.【答案】（1）解：的定義域為，，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上可得：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：由（1）可知：①當時，在上單調(diào)遞增.所以至多有一個實根，不符合題意.②當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以的最