北師大版九年級下冊第二章《二次函數(shù)》2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)1有的放矢學(xué)習(xí)目標1、會用描點法畫二次函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象；2、根據(jù)函數(shù)y=x2和y=-x2圖象，直觀地了解它的性質(zhì).初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)2數(shù)形結(jié)合,直觀感受在二次函數(shù)y=x2中,y隨x的變化而變化的規(guī)律是什么？觀察y=x2的表達式,選擇適當x值,并計算相應(yīng)的y值,完成下表:你會用描點法畫二次函數(shù)y=x2的圖象嗎?x

y=x2

x…-3-2-10123…y=x2

x

y=x2…9410149…有的放矢<列表>初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)3做一做xy0-4-3-2-11234108642-2描點,連線y=x2?初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)4y=x2xy0-4-3-2-11234108642-21觀察圖象,回答問題串(1)你能描述圖象的形狀嗎?與同伴進行交流.

議一議(2)圖象是軸對稱圖形嗎？如果是,它的對稱軸是什么?請你找出幾對對稱點,并與同伴交流.(3)圖象與x軸有交點嗎？如果有,交點坐標是什么?(4)當x<0時,隨著x的值增大,y的值如何變化？當x>0呢？(5)當x取什么值時,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)5這條拋物線關(guān)于y軸對稱,y軸就是它的對稱軸.

對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.二次函數(shù)y=x2的圖象形如物體拋射時所經(jīng)過的路線,我們把它叫做拋物線.初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)6當x<0(在對稱軸的左側(cè))時,y隨著x的增大而減小.

當x>0(在對稱軸的右側(cè))時,y隨著x的增大而增大.

當x=-2時，y=4當x=-1時，y=1當x=1時，y=1當x=2時，y=4拋物線y=x2在x軸的上方(除頂點外),頂點是它的最低點,開口向上,并且向上無限伸展;當x=0時,函數(shù)y的值最小,最小值是0.初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)7在學(xué)中做—在做中學(xué)(1)二次函數(shù)y=-x2的圖象是什么形狀？

做一做你能根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出猜想嗎？(2)先想一想，然后作出它的圖象．(3)它與二次函數(shù)y=x2的圖象有什么關(guān)系？x

y=-x2

x…-3-2-10123…y=-x2

x

…-9-4-10-1-4-9…初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)8做一做xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描點,連線y=-x2?初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)9做一做xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1觀察圖象,回答問題串（1)你能描述圖象的形狀嗎?與同伴進行交流.（2)圖象與x軸有交點嗎？如果有,交點坐標是什么?（3)當x<0時,隨著x的值增大,y的值如何變化？當x>0呢？（4)當x取什么值時,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？（5)圖象是軸對稱圖形嗎？如果是,它的對稱軸是什么?請你找出幾對對稱點,并與同伴交流.y=-x2初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)10這條拋物線關(guān)于y軸對稱,y軸就是它的對稱軸.

對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.二次函數(shù)y=-x2的圖象形如物體拋射時所經(jīng)過的路線,我們把它叫做拋物線.y初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)11當x<0(在對稱軸的左側(cè))時,y隨著x的增大而增大.

當x>0(在對稱軸的右側(cè))時,y隨著x的增大而減小.

y當x=-2時,y=-4當x=-1時,y=-1當x=1時,y=-1

當x=2時,y=-4

拋物線y=-x2在x軸的下方(除頂點外),頂點是它的最高點,開口向下,并且向下無限伸展;當x=0時,函數(shù)y的值最大,最大值是0.初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)12函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象和性質(zhì)

做一做y=x2y=-x2xy0yx0?它們之間有何關(guān)系？初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)13二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)１.頂點坐標與對稱軸２.位置與開口方向３.增減性與最值拋物線頂點坐標對稱軸位置開口方向增減性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y軸y軸在x軸的上方(除頂點外)在x軸的下方(除頂點外)向上向下當x=0時,最小值為0.當x=0時,最大值為0.在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減小.在對稱軸的右側(cè),y隨著x的增大而增大.在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大.在對稱軸的右側(cè),y隨著x的增大而減小.根據(jù)圖形填表：初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)14

做一做y=x2和y=-x2是y=ax2當a=±1時的特殊例子.a的符號確定著拋物線的……函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象和性質(zhì):

在同一坐標系中作出函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象x0yy=x2y=-x2初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)151.拋物線y=ax2的頂點是原點,對稱軸是y軸.2.當a>0時，拋物線y=ax2在x軸的上方(除頂點外),它的開口向上,并且向上無限伸展；當a<0時,拋物線y=ax2在x軸的下方(除頂點外),它的開口向下,并且向下無限伸展.3.當a>0時,在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減??；在對稱軸右側(cè),y隨著x的增大而增大.當x=0時函數(shù)y的值最小.當a<0時，在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè),y隨著x增大而減小,當x=0時,函數(shù)y的值最大.二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)16我思，我進步1.已知拋物線y=ax2經(jīng)過點A（-2，-8）.

（1）求此拋物線的函數(shù)解析式；（2）判斷點B（-1，-4）是否在此拋物線上.

（3）求出此拋物線上縱坐標為-6的點的坐標.

例題欣賞?解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得-8=a(-2)2,

解得a=-2,所求函數(shù)解析式為y=-2x2.（2）因為,所以點B（-1，-4）不在此拋物線上.（3）由-6=-2x2,得x2=3,所以縱坐標為-6的點有兩個，它們分別是

初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)17知道就做別客氣例題欣賞2.填空:(1)拋物線y=2x2的頂點坐標是

,對稱軸是

,在

側(cè),y隨著x的增大而增大；在

側(cè),y隨著x的增大而減小,當x=

時,函數(shù)y的值最小,最小值是

,拋物線y=2x2在x軸的

方(除頂點外).(2)拋物線在x軸的

方(除頂點外),在對稱軸的左側(cè),y隨著x的

；在對稱軸的右側(cè),y隨著x的

,當x=0時,函數(shù)y的值最大,最大值是

,當x

0時,y<0.（0，0）y軸對稱軸的右對稱軸的左00上下增大而增大增大而減小0初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)18回味無窮2.當a>0時,拋物線y=ax2在x軸的上方（除頂點外）,它的開口向上,并且向上無限伸展；當a<0時,拋物線y=ax2在x軸的下方（除頂點外）,它的開口向下,并且向下無限伸展.3.當a>0時,在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減??；在對稱軸右側(cè),y隨著x的增大而增大.當x=0時函數(shù)y的值最小.

當a<0時,在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè),y隨著x增大而減小,當x=0時,函數(shù)y的值最大小結(jié)拓展1.拋物線y=ax2的頂點是原點,對稱軸是y軸.由二次函數(shù)y=x2和y=-x2知：初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)19你能用配方的方法把y=3x2-6x+5變形成y=3(x-1)2+2的形式嗎?二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象二次函數(shù)y=3x2-6x+5的圖象是什么形狀?它與我們已經(jīng)作過的二次函數(shù)的圖象有什么關(guān)系?

想一想駛向勝利的彼岸在同一坐標系中作出二次函數(shù)y=3x2和y=3(x-1)2的圖象．由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我們先作二次函數(shù)y=3(x-1)2的圖象．初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)20比較函數(shù)與的圖象

想一想駛向勝利的彼岸(2)在同一坐標系中作出二次函數(shù)y=3x2和y=3(x-1)2的圖象．⑴完成下表,并比較3x2和3(x-1)2的值,它們之間有什么關(guān)系?x-3-2-101234

2712303122748

2712303122748

4827123031227可編輯21做一做駛向勝利的彼岸觀察圖象,回答問題?(3)函數(shù)y=3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標分別是什么?(4)x取哪些值時,函數(shù)y=3(x-1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時,函數(shù)y=3(x-1)2的值隨x的增大而減少？

初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)2211/17/202523圖象是軸對稱圖形對稱軸是平行于y軸的直線:x=1.頂點坐標是點(1,0).二次函數(shù)y=3(x-1)2與y=3x2的圖象形狀相同,可以看作是拋物線y=3x2整體沿x軸向右平移了1個單位(3)函數(shù)y=3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標分別是什么?二次項系數(shù)相同a>0,開口都向上.想一想,在同一坐標系中作二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象,會在什么位置?

初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)24在對稱軸(直線:x=1)左側(cè)(即x<1時),函數(shù)y=3(x-1)2的值隨x的增大而減少,.頂點是最低點,函數(shù)有最小值.當x=1時,最小值是0..二次函數(shù)y=3(x-1)2與y=3x2的增減性類似.(4)x取哪些值時,函數(shù)y=3(x-1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時,函數(shù)y=3(x-1)2的值隨x的增大而減少？在對稱軸(直線:x=1)左側(cè)(即x>1時),函數(shù)y=3(x-1)2的值隨x的增大而增大,.想一想,在同一坐標系中作出二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象,它的增減性會是什么樣?

初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)25議一議駛向勝利的彼岸真知從實踐走來?1.在上面的坐標系中作出二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象.它與二次函數(shù)y=3x2和y=3(x-1)2的圖象有什么關(guān)系？它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標分別是什么?2.x取哪些值時,函數(shù)y=3(x+1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時,函數(shù)y=3(x+1)2的值隨x的增大而減少？

初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)26在同一坐標系中作出二次函數(shù)y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的圖象．

做一做完成下表,并比較3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它們之間有什么關(guān)系?駛向勝利的彼岸函數(shù)y=a(x-h)2(a≠0)的圖象和性質(zhì)x-4-3-2-1012342712303122727123031227

27123031227

27123031227

初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)27圖象是軸對稱圖形.對稱軸是平行于y軸的直線:x=-1.頂點坐標是點(-1,0).二次函數(shù)y=3(x+1)2與y=3x2的圖象形狀相同,可以看作是拋物線y=3x2整體沿x軸向左平移了1個單位.1.函數(shù)y=3(x+1)2的圖象與y=3x2和y=3(x-1)2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標分別是什么?二次項系數(shù)相同a>0,開口都向上.想一想,二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象的增減性會怎樣?初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)28在對稱軸(直線:x=-1)左側(cè)(即x<-1時),函數(shù)y=3(x+1)2的值隨x的增大而減少,.頂點是最低點,函數(shù)有最小值.當x=-1時,最小值是0..二次函數(shù)y=3(x+1)2與y=3x2的增減性類似.2.x取哪些值時,函數(shù)y=3(x+1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時,函數(shù)y=3(x+1)2的值隨x的增大而減少？在對稱軸(直線:x=-1)右側(cè)(即x>-1時),函數(shù)y=3(x+1)2的值隨x的增大而增大,.猜一猜,函數(shù)y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的圖象的位置和形狀.請你總結(jié)二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象和性質(zhì).

初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)292.拋物線y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x軸的下方(除頂點外),它的開口向下,并且向下無限伸展.y3.拋物線y=-3(x-1)2在對稱軸(x=1)的左側(cè),當x<1時,y隨著x的增大而增大;在對稱軸(x=1)右側(cè),當x>1時,y隨著x的增大而減小.當x=1時,函數(shù)y的值最大(是0);拋物線y=-3(x+1)2在對稱軸(x=-1)的左側(cè),當x<-1時,y隨著x的增大而增大;在對稱軸(x=-1)右側(cè),當x>-1時,y隨著x的增大而減小.當x=-1時,函數(shù)y的值最大(是0).二次函數(shù)y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的圖象4.拋物線y=-3(x-1)2可以看作是拋物線y=-3x2沿x軸向右平移了1個單位;拋物線y=-3(x+1)2可以看作是拋物線y=-3x2沿x軸向左平移了1個單位.X=-1X=11.拋物線y=-3(x-1)2的頂點是(1,0);對稱軸是直線:x=1;拋物線y=-3(x+1)2的頂點是(-1,0);對稱軸是直線:x=-1.初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)301.拋物線y=a(x-h)2的頂點是(h,0),對稱軸是平行于y軸的直線x=h.3.當a>0時,在對稱軸(x=h)的左側(cè),y隨著x的增大而減小;在對稱軸(x=h)右側(cè),y隨著x的增大而增大;當x=h時函數(shù)y的值最小(是0).當a<0時,在對稱軸(x=h)的左側(cè),y隨著x的增大而增大;在對稱軸(x=h)的右側(cè),y隨著x增大而減小;當x=h時,函數(shù)y的值最大(是0).二次函數(shù)y=a(x-h)2的性質(zhì)2.當a>0時,拋物線y=a(x-h)2在x軸的上方(除頂點外),它的開口向上,并且向上無限伸展;當a<0時,拋物線y=a(x-h)2在x軸的下方(除頂點外),它的開口向下,并且向下無限伸展.X=hX=h4.越大,開口越小,

越小,開口越大.二次函數(shù)y=a(x-h)2與y=ax2的圖象形狀相同,可以看作是拋物線y=ax2整體沿x軸平移了個單位(當h>0時,向右移個單位;當h<0時,向左移個單位)得到的.初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)31二次函數(shù)y=a(x-h)2的性質(zhì)１.頂點坐標與對稱軸２.位置與開口方向３.增減性與最值開口大小拋物線頂點坐標對稱軸位置開口方向增減性最值y=a(x-h)2(a>0)y=a(x-h)2(a<0)（h，0）（h，0）直線x=h直線x=h在x軸的上方(除頂點外)在x軸的下方(除頂點外)向上向下當x=h時,最小值為0.當x=h時,最大值為0.在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減小.在對稱軸的右側(cè),y隨著x的增大而增大.

在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大.在對稱軸的右側(cè),y隨著x的增大而減小.

根據(jù)圖形填表：

越小,開口越大.

越大,開口越小.初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)32我思，我進步在同一坐標系中作出二次函數(shù)y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的圖象.

做一做駛向勝利的彼岸?二次函數(shù)y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的圖象有什么關(guān)系?它們的開口方向,對稱軸和頂點坐標分別是什么?作圖看一看．

初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)33在同一坐標系中作出函數(shù)y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的圖象.

做一做完成下表,并比較3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它們之間有何關(guān)系?駛向勝利的彼岸函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖象和性質(zhì)x-4-3-2-10123427123031227

27123031227

27123031227

29145251429初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)34對稱軸仍是平行于y軸的直線(x=1);增減性與y=3x2類似.

頂點是(1,2).二次函數(shù)y=3(x-1)2+2的圖象可以看作是拋物線y=3x2先沿著x軸向右平移1個單位,再沿直線x=1向上平移2個單位后得到的.二次函數(shù)y=3(x-1)2+2的圖象和拋物線y=3x2,y=3(x-1)2有什么關(guān)系?它的開口方向,對稱軸和頂點坐標分別是什么?開口向上,當X=1時有最小值:且最小值=2.先猜一猜,再做一做,在同一坐標系中作二次函數(shù)y=3(x-1)2-2,會是什么樣?X=1初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)35對稱軸仍是平行于y軸的直線(x=1);增減性與y=3x2類似.頂點是(1,-2).二次函數(shù)y=3(x-1)2-2的圖象可以看作是拋物線y=3x2先沿著x軸向右平移1個單位,再沿直線x=1向下平移2個單位后得到的.二次函數(shù)y=3(x-1)2-2的圖象與拋物線y=3x2和y=3(x-1)2有何關(guān)系?它的開口方向、對稱軸和頂點坐標分別是什么?開口向上,當x=1時y有最小值:且最小值=-2.想一想,二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2和y=-3x2,y=-3(x-1)2的圖象有什么關(guān)系?它們的開口方向,對稱軸和頂點坐標分別是什么?再作圖看一看．X=1初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)36我思，我進步在同一坐標系中作出二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x2和y=-3(x-1)2的圖象

議一義駛向勝利的彼岸?二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2與y=-3(x-1)2-2和y=-3x2,y=-3(x-1)2的圖象有什么關(guān)系?它們是軸對稱圖形嗎?它的開口方向、對稱軸和頂點坐標分別是什么?當x取哪些值時，y的值隨x值的增大而增大?當x取哪些值時，y的值隨x值的增大而減小?

初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)37對稱軸仍是平行于y軸的直線(x=1);增減性與y=-3x2類似.頂點分別是(1,2)和(1,-2).二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2與y=-3(x-1)2+2的圖象可以看作是拋物線y=-3x2先沿著x軸向右平移1個單位,再沿直線x=1向上(或向下)平移2個單位后得到的.二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2與y=-3(x-1)2-2的圖象和拋物線y=-3x2,y=-3(x-1)2有什么關(guān)系?它的開口方向,對稱軸和頂點坐標分別是什么?開口向下,當x=1時y有最大值:且最大值=2(或最大值=-2).想一想,二次函數(shù)y=-3(x+1)2+2與y=-3(x+1)2-2的圖象和拋物線y=-3x2,y=-3(x+1)2yX=1初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)38對稱軸仍是平行于y軸的直線(x=-1);增減性與y=-3x2類似.頂點分別是(-1,2)和(-1,-2)..二次函數(shù)y=-3(x+1)2+2與y=-3(x+1)2-2的圖象可以看作是拋物線y=-3x2先沿著x軸向左平移1個單位,再沿直線x=-1向上(或向下)平移2個單位后得到的.二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2與y=-3(x-1)2-2的圖象和拋物線y=-3x2,y=-3(x-1)2有什么關(guān)系?它的開口方向,對稱軸和頂點坐標分別是什么?開口向下,當x=-1時y有最大值:且最大值=2(或最大值=-2).先想一想,再總結(jié)二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象和性質(zhì).

X=1初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)39二次函數(shù)y=a(x-h)2+k與=ax2的關(guān)系一般地,由y=ax2的圖象便可得到二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象:y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖象可以看成y=ax2的圖象先沿x軸整體左(右)平移|h|個單位(當h>0時,向右平移;當h<0時,向左平移),再沿對稱軸整體上(下)平移|k|個單位

(當k>0時向上平移;當k<0時,向下平移)得到的.因此,二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象是一條拋物線,它的開口方向、對稱軸和頂點坐標與a,h,k的值有關(guān).

初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)40二次函數(shù)y=a(x+h)2+k的圖象和性質(zhì)１.頂點坐標與對稱軸２.位置與開口方向３.增減性與最值拋物線頂點坐標對稱軸位置開口方向增減性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（-h，k）（-h，k）直線x=h直線x=h由h和k的符號確定由h和k的符號