4/42.3.3直線與圓的位置關系目標重點：直線和圓的位置關系的判斷.目標難點：直線和圓的位置關系的應用.過程方法與能力：1．直線和圓的位置關系是初中已經(jīng)學到的知識.本節(jié)是把這些幾何形式的結(jié)論轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的形式.2．研究直線與圓的位置關系要緊緊抓住圓心到直線的距離與圓半徑的大小關系這一知識點，這個過程充分體現(xiàn)并運用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，這是解析幾何中重要的數(shù)學思想方法.運用數(shù)形結(jié)合思想解題時要注意作圖的準確性，分類討論時要做到不重不漏.復習引入：1、點與圓的位置關系如何判斷？2、初中學過的平面幾何中，直線與圓的位置關系有幾類？3、在初中，我們怎樣判斷直線與圓的位置關系呢？如何用直線與圓的方程判斷它們之間的位置關系呢？一、直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系有三種：如圖所示.（1）直線與圓相交：有兩個公共點；（2）直線與圓相切：有一個公共點；（3）直線與圓相離：沒有公共點.二、直線與圓的位置關系的判定如果直線l和圓C的方程分別為：Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0.則直線與圓的位置關系的判定有兩種方法：（1）代數(shù)法判斷直線與圓的位置關系：如果直線l和圓C有公共點，由于公共點同時在直線l和圓C上，所以公共點的坐標一定是這兩個方程的公共解；反之如果這兩個方程有公共解，那么，以公共解為坐標的點必是直線l和圓C的公共點.由l和C的方程聯(lián)立方程組，可以用消元法將方程組轉(zhuǎn)化為一個關于x（或y）的一元二次方程，若方程有兩個不相等的實數(shù)根（△>0），則直線與圓相交；若方程有兩個相等的實數(shù)根（△=0），則直線與圓相切；若方程無實數(shù)根（△<0），則直線與圓相離.（2）幾何法判斷直線與圓的位置關系：如果直線l和圓C的方程分別為：Ax+By+C=0，(x－a)2+(y－b)2=r2.可以用圓心C(a，b)到直線的距離d=與圓C的半徑r的大小關系來判斷直線與圓的位置關系。若d<r時，直線l和圓C相交；若d=r時，直線l和圓C相切；若d>r時，直線l和圓C相離.圓的切線的求法：直線與圓相切，切線的求法：（1）當點(x0，y0)在圓x2+y2=r2上時，切線方程為x0x+y0y=r2；（2）若點(x0，y0)在圓(x－a)2+(y－b)2=r2上時，切線方程為(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=r2；（3）斜率為k且與圓x2+y2=r2相切的切線方程為；斜率為k且與圓(x－a)2+(y－b)2=r2相切的切線方程的求法：先設切線方程為y=kx+m，然后變成一般式kx－y+m=0，利用圓心到切線的距離等于半徑來列出方程求m；（4）點(x0，y0)在圓外面，則切線方程為y－y0=k(x－x0)，再變成一般式，因為與圓相切，利用圓心到直線距離等于半徑，解出k，注意若此方程只有一個實根，則還有一條斜率不存在的直線，務必要補上.三、直線與圓相交的弦長公式（1）平面幾何法求弦長公式：如圖所示，直線l與圓相交于兩點A、B，線段AB的長即為直線l與圓相交的弦長.設弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為AB，則有，即AB=.（2）解析法求弦長公式：如圖所示，直線l與圓相交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，當直線AB的傾斜角存在時，聯(lián)立方程組，消元得到一個關于x的一元二次方程，求得x1+x2和x1x2.于是，這樣就求得。例1．圓(x－3)2+(y－3)2=9上到直線3x+4y－11=0的距離為1的點有幾個？解：圓(x－3)2+(y－3)2=9的圓心為O1(3，3)，半徑r=3，設圓心O1(3，3)到直線3x+4y－11=0的距離為d，則d=如圖，在圓心O1的同側(cè)，與直線3x+4y－11=0平行且距離為1的直線l1與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意，又r－d=3－2=1，所以與直線3x+4y－11=0平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意.所以符合題意的點共有3個。例2．求經(jīng)過點(1，－7)與圓x2+y2=25相切的切線方程.解法一：設切線的斜率為k，由點斜式有y+7=k(x－1)，即，y=k(x－1)－7，將上述方程代入圓方程x2+[k(x－1)－7]2=25整理得(k2+1)x2－(2k2+14k)x+k2+14k+24=0，△=(2k2+14k)2－4(k2+1)(k2+14k+24)=0，由此方程解出k，再代回y+7=k(x－1)，可得切線方程，好了，到此打??！從過程可以看到：利用此法求切線方程，一般地講，過程冗長，計算、書寫量大而繁雜，容易出現(xiàn)錯誤，通常情況下不采用.解法二：設所求切線斜率為k，所以所求直線方程為y+7=k(x－1)，整理成一般式為kx－y－k－7=0，所以，化簡為12k2－7k－12=0，所以k=或k=－.所以切線方程為4x－3y－25=0或3x+4y+25=0.解法三：設切點為(x0，y0)，所求切線方程為x0x+y0y=25，將坐標(1，－7)代入后得x0－7y0=25，由，解得，或故所求切線方程為4x－3y－25=0或3x+4y+25=0.例3．直線l經(jīng)過點P(5，5)，且和圓C：x2+y2=25相交，截得弦長為4，求l的方程.解：設|OH|是圓心到直線l的距離，|OA|是圓的半徑，|AH|是弦長|AB|的一半，在Rt△AHO中，|OA|=5，|AH|=|AB|=2，所以|OH|=，即,解得k=，k=2，所以直線l的方程為x－2y+5=0，或