人教版2024·八年級(jí)上冊(cè)第十五章軸對(duì)稱15.1.2

線段的垂直平分線15.1圖形的軸對(duì)稱學(xué)習(xí)目標(biāo)了解原命題及其逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆的命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立；理解并證明垂直平分線的判定定理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上；探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；

復(fù)習(xí)引入軸對(duì)稱的性質(zhì)：連接對(duì)稱點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分

垂直平分線的概念：經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線

具有什么性質(zhì)呢？

直線l垂直平分線段AB,

P1、P2、P3…是l上的點(diǎn)，分別量一量點(diǎn)P1、P2、P3…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？新知初探任務(wù)一探究線段垂直平分線的性質(zhì)活動(dòng)1通過(guò)翻折的操作，我們得到結(jié)論：P1A=P1B,P2A=P2B,P3A=P3B…探究發(fā)現(xiàn)猜想:在線段的垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

如果直線l垂直平分線段AB，點(diǎn)P為直線l上任意一點(diǎn)，則PA=PB.我們應(yīng)用幾何邏輯推理來(lái)證明這個(gè)猜想猜想結(jié)論(SAS).∵已知：直線l垂直平分線段AB，點(diǎn)P為直線l上任意一點(diǎn)，求證：PA=PB.證明猜想線段的垂直平分線上的點(diǎn)，與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.結(jié)論：用符號(hào)語(yǔ)言描述：∵P為線段AB垂直平分線l上一點(diǎn)，∴PA=PB.即時(shí)測(cè)評(píng)找出圖中相等的線段，并說(shuō)明理由.（1）點(diǎn)A在BC的垂直平分線上DAB=AC（2）ED是AB的垂直平分線EA=EB把線段的垂直平分線的性質(zhì)的題設(shè)和結(jié)論反過(guò)來(lái)，得到的命題還成立嗎？即如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？成立.點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．已知：如圖，PA=PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．PABC探究新知線段的垂直平分線的判定定理知識(shí)點(diǎn)2證明：過(guò)點(diǎn)P作線段AB的垂線PC，垂足為C．則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又

PC⊥AB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．PABC探究新知用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：∵

PA=PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．PABC探究新知這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？你能再找一些到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？

在線段AB的垂直平分線l上的點(diǎn)與A，B的距離都相等；反過(guò)來(lái)，與A，B的距離相等的點(diǎn)都在直線l上，所以直線l可以看成與兩點(diǎn)A，B的距離相等的所有點(diǎn)的集合．PABCl探究新知試一試：例

如圖，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OB＝OC，求證：AO⊥BC.證明：∵OB＝OC，∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線上.又AB＝AC，∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線上，即A，O均在BC的垂直平分線上，∴AO⊥BC.探究新知線段垂直平分線的判定定理的應(yīng)用素養(yǎng)考點(diǎn)活動(dòng)五：互逆命題與互逆定理如果兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么這兩個(gè)命題叫作互逆命題.如果把其中一個(gè)叫作原命題，那么另一個(gè)叫作它的逆命題.

一般地，原命題成立時(shí)，它的逆命題可能成立，也可能不成立.例如，上面關(guān)于垂直平分線的兩個(gè)互逆命題都是成立的；而命題“對(duì)頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角”卻不成立.

如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫作互逆定理，其中一個(gè)定理叫作另一個(gè)定理的逆定理.在幾何中，有許多互逆的定理.例如，上面關(guān)于垂直平分線的兩個(gè)互逆命題是互逆定理，“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”和“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”也是互逆定理注意：（1）“題設(shè)與結(jié)論正好相反”可理解為第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)；（2）每個(gè)命題都有逆命題，但不是所有的定理都有逆定理；（3）原命題的真假與其逆命題的真假?zèng)]有關(guān)系.題型1：互逆命題與互逆定理例1：寫出下列各命題的逆命題，并判斷這些逆命題是否成立．（1）同位角相等.解：逆命題：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是同位角這個(gè)逆命題不成立.（2）全等三角形的周長(zhǎng)相等．解：逆命題：如果兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等，那么這兩個(gè)三角形是全等三角形．這個(gè)逆命題不成立．題型2：線段的垂直平分線的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)

D例3.如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線l?交BC于點(diǎn)D，邊AC的垂直平分線l?交BC于點(diǎn)E,l?與l?相交于點(diǎn)O.連接AD,AE,△ADE的周長(zhǎng)為6cm.(1)求BC的長(zhǎng);

(2)分別連接OA,OB,OC,若△OBC的周長(zhǎng)為16cm,求OA的長(zhǎng)題型2：線段的垂直平分線的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)例3.如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線l?交BC于點(diǎn)D，邊AC的垂直平分線l?交BC于點(diǎn)E,l?與l?相交于點(diǎn)O.連接AD,AE,△ADE的周長(zhǎng)為6cm.(1)求BC的長(zhǎng);解(1)∵l?,l?分別是線段AB,AC的垂直平分線,∴AD=BD，AE=CE；∴AD+DE+AE=BD+DE+CE∵△ADE的周長(zhǎng)為6cm即AD+DE+AE=6cm∴BC=6cm題型2：線段的垂直平分線的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)例3.如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線l?交BC于點(diǎn)D，邊AC的垂直平分線l?交BC于點(diǎn)E,l?與l?相交于點(diǎn)O.連接AD,AE,△ADE的周長(zhǎng)為6cm.(2)分別連接OA,OB,OC,若△OBC的周長(zhǎng)為16cm,求OA的長(zhǎng)解：如圖,∵l?,l?分別是線段AB,AC的垂直平分線,∴OA=OC=OB.∵△OBC的周長(zhǎng)為16cm,即(OC+OB+BC=16cm,∴OC+OB=16-6=10(cm),∴OC=OB=5cm,∴OA=5cm.新課講解例5.判斷下列命題的真假，寫出其逆命題并判斷真假：(1)如果兩條直線相交，那么它們只有一個(gè)交點(diǎn)；(2)如果a>b，那么a2>b2；(3)如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零；(4)如果ab<0，那么a>0，b<0.解：(1)原命題是真命題.逆命題：如果兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，那么它們相交.逆命題是真命題.(2)原命題是假命題.逆命題：如果a2>b2，那么a>b.逆命題是假命題.(3)原命題是真命題.逆命題：如果兩個(gè)數(shù)的和為零，那么它們互為相反數(shù).逆命題是真命題.(4)原命題是假命題.逆命題：如果a>0，b<0，那么ab<0.逆命題是真命題.新課講解例6.下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，寫出它的逆定理.(1)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；(2)三角形的兩邊之和大于第三邊.解：(1)逆命題是：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是真命題，故原定理有逆定理：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).(2)逆命題為：如果三條線段中，任意兩條線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度，那么這三條線段能圍成三角形，是真命題，故原定理有逆定理：如果三條線段中，任意兩條線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度，那么這三條線段能圍成三角形.新課講解練一練1.下列定理中，沒(méi)有逆定理的是()A.兩直線平行，同位角相等B.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等C.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等D.在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上C新課講解練一練2.寫出下列命題的逆命題，并判斷這些逆命題是否成立.(1)同位角相等，兩直線平行.(2)如果x=3，那么x2=9.(3)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方也相等.(4)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.解：(1)逆命題：兩直線平行，同位角相等.成立.(2)逆命題：如果x2=9，那么x=3.不成立，如：(-3)2=9，-3≠3.(3)逆命題：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值也相等.成立.(4)逆命題：對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形.不成立.新課講解1.原命題的真假和逆命題的真假?zèng)]有必然聯(lián)系，原命題是真命題，其逆命題不一定是真命題；原命題是假命題，其逆命題也不一定是假命題.2.判斷一個(gè)命題是真命題需要證明，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可.歸納定義關(guān)系互逆命題兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，我們把具有這種關(guān)系的兩個(gè)命題叫作互逆命題.如果把其中一個(gè)叫作原命題，那么另一個(gè)叫作它的逆命題(1)命題有真有假，而定理都是正確的，即都是真命題；(2)每個(gè)命題都有逆命題，但不是所有定理都有逆定理互逆定理如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫作互逆定理，其中一個(gè)定理叫作另一個(gè)定理的逆定理7.

(教材P67練習(xí)第1題變式)如圖,AD⊥BC,BD=CD,點(diǎn)C在AE的垂直平分線上,若AB=6,DE=10,則BD的長(zhǎng)為

.12345678910111213144第7題8.如圖,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接OA,OB,OC,且OB=OC.求證:直線AO⊥BC.∵AB=AC,∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上.∵OB=OC,∴點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上.∵兩點(diǎn)確定一條直線,∴直線AO是BC的垂直平分線,即直線AO⊥BC第8題12345678910111213149.

如圖,P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn),P1,P2分別是點(diǎn)P關(guān)于OA,OB的對(duì)稱點(diǎn),連接P1P2,交OA于點(diǎn)M,交OB于點(diǎn)N.若P1P2=5cm,則△PMN的周長(zhǎng)是 (

)A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm

10.

如圖,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)D.若∠B=70°,∠FAE=19°,則∠C=

.

C24°123456789101112131411.

如圖,在△ABC中,邊BC的垂直平分線DE交邊BC于點(diǎn)D,交邊AB于點(diǎn)E.若△EDC的周長(zhǎng)為24,△ABC與四邊形AEDC的周長(zhǎng)之差為