第1頁/共1頁2023—2024學(xué)年懷仁一中高一年級(jí)下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象可以由的圖象（）A.向左平移得到 B.向右平移得到C.向左平移得到 D.向右平移得到【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移的性質(zhì)求解即可【詳解】由題意，由的圖象向左平移得到函數(shù)故選：A2.在中，角的對(duì)邊分別為，且，則等于（）A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理直接求得.【詳解】由題意及余弦定理可得：,所以.故選：A.3.已知向量，必滿足，，則與的夾角為（）A.90° B.60° C.45° D.30°【答案】B【解析】【分析】已知整體的模長(zhǎng)，兩邊同時(shí)平方得，即，代值即可.【詳解】由，得，即，則，又，所以，又.所以與的夾角為60°.故選:B.4.冰球運(yùn)動(dòng)是一種以冰刀和冰球桿為工具在冰上進(jìn)行的相互對(duì)抗的集體性競(jìng)技運(yùn)動(dòng)，在冰球運(yùn)動(dòng)中，冰球運(yùn)動(dòng)員腳穿冰鞋，身著防護(hù)裝備，以球桿擊球，球入對(duì)方球門，多者為勝．小趙同學(xué)在練習(xí)冰球的過程中，以力作用于冰球，使冰球從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，則F對(duì)冰球所做的功為（）A. B.18 C. D.12【答案】D【解析】【分析】由平面向量數(shù)量積的定義即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，故力?duì)冰球所做的功為.故選：D.5.如圖所示，在中，點(diǎn)在線段上，且，若，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由向量的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得,再由，即可求得的值，即可求解.【詳解】由向量的運(yùn)算法則，可得,因?yàn)?，所以，從而求得，故選:B．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量的基本定理，在解題的過程中，需要利用向量直角的關(guān)系，結(jié)合三角形法則，即可求得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.6.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，利用兩角和公式化簡(jiǎn)得，故或者，進(jìn)而可判斷出三角形的形狀【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得：，整理可得：，即，所以或者，所以或，而?dāng)時(shí)則，所以三角形為直角三角形，所以，則中，這時(shí)，分母為0無意義所以，故選：A．7.阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置，我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖（1）．由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開平衡位置的位移y（單位：m）和時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系為，如圖（2）．若該阻尼器在擺動(dòng)過程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時(shí)間分別為，且，，則在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為（）A. B. C.1s D.【答案】D【解析】【分析】先確定函數(shù)的一個(gè)周期，再解不等式求另一個(gè)周期，最后計(jì)算總時(shí)間即可.【詳解】由題意得，，故函數(shù)的周期為，，可得，令，解得，故總時(shí)間為，綜上在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置位移大于0.5m的總時(shí)間為.故選：D8.《易經(jīng)》包含著很多哲理，在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用，《易經(jīng)》的博大精深對(duì)今天的幾何學(xué)和其他學(xué)科仍有深刻的影響.下圖就是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，圖中八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，代表陰陽太極圖的圓的半徑為，則每塊八卦田的面積約為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個(gè)三角形的面積，再計(jì)算出圓面積的，兩面積作差即可求解.【詳解】由圖，正八邊形分割成8個(gè)等腰三角形，頂角為設(shè)三角形的腰為由正弦定理可得，解得所以三角形的面積為：所以每塊八卦田的面積約為：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形，三角形的面積公式，需熟記定理和面積公式，屬于基礎(chǔ)題.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，，下列說法正確的是（）A. B.C.與向量平行的單位向量?jī)H有 D.向量在向量上的投影向量為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A：借助垂直定義計(jì)算數(shù)量積即可得；對(duì)B：借助模長(zhǎng)定義計(jì)算即可得；對(duì)C：與向量平行的單位向量有、；對(duì)D：借助投影向量公式計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)A：，，所以，故A正確；對(duì)B：，所以，故B正確；對(duì)C：，則有、，即與向量平行的單位向量有、，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：向量在向量上的投影向量為，故D正確．故選：ABD．10.已知M為△ABC的重心，D為邊BC的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)及向量的線性運(yùn)算、基本定理一一判定即可.【詳解】如圖，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，易得，故A正確；由題意得M為線段AD的靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，又，所以，故B正確；，故C正確；，，又，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.已知的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，若角的平分線交于點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.的最小值為2 D.的最小值為4【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)，利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角及輔助角公式，即可求出，從而判斷出選項(xiàng)A和B的正誤，再根據(jù)條件，利用等面積法，得到，利用基本不等式，即可求出的最小值，即可判斷出選項(xiàng)C和D的正誤，從而得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于AB，由，得到，又，所以，所以，即，又，所以，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于CD，又角的平分線交于點(diǎn)，且，由，得到，即，得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，故選：AD12.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（）A.的周期為6B.C.將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】【分析】首先結(jié)合圖象求出的解析式，再結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.詳解】由圖可知，，所以，因?yàn)?，所以，則，又，所以，則，又，所以，故，則，則，故A正確；，所以直線是的一條對(duì)稱軸，故B正確；，圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，，若、、三點(diǎn)共線，則__________.【答案】【解析】【分析】計(jì)算出、的坐標(biāo)，由題意可知，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】已知向量，，，則，，因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，則，所以，，解得.故答案為：.14.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若是偶函數(shù)，則_____________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換，得到，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，列出方程，即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則，又由偶函數(shù)，則有，解得，因?yàn)?，可得．故答案為?15.在中，，則__________；的值為__________.【答案】①.##②.【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，再根據(jù)正弦定理得到，得到，計(jì)算得到答案.【詳解】，，故，，；，則，即，，，則，，.故答案為：；16.如圖，在直角梯形中，已知，，，對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿足，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系如圖，分別表示出，，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算可得；【詳解】解：如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系；則，，，；則，因?yàn)樗?，所以是的一個(gè)三等分點(diǎn)，且所以，．設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，解得．則，，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查向量的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力．四?解答題：本題共6小題．共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.已知向量，且與的夾角為．（1）求；（2）若與垂直，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合已知條件，列出方程即可求得參數(shù)；再結(jié)合平面向量的運(yùn)算求模長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得參數(shù).【小問1詳解】因?yàn)?，且與的夾角為，所以.因?yàn)椋?，解得或（舍）．所以，則．【小問2詳解】因?yàn)?，與垂直，所以，即，解得．18.如圖，在平面四邊形中，與互補(bǔ)，，（1）求的長(zhǎng)；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中，根據(jù)余弦定理，由題中條件，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果；（2）先由題意，得到，根據(jù)與互補(bǔ)，得到，求出，再由正弦定理，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，在中，根據(jù)余弦定理得：，；（2）因?yàn)榍遥?，又與互補(bǔ)，則由正弦定理得：.19.在中，內(nèi)角A?B?C所對(duì)的邊分別是a?b?c，已知，A為銳角.（1）求角A的大??；（2）在①的面積為，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上.問題：若，___________，求b?c的值.【答案】（1）；（2）b=4，c=.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，進(jìn)而利用輔助角公式及三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)即得；（2）利用三角形面積公式、余弦定理及向量數(shù)量積的運(yùn)算法則和定義即得.【小問1詳解】∵，∴，∴，∴即，又A為銳角，∴，∴，即；【小問2詳解】選①，的面積為，∴，∴，又，∴，，∴，又，解得；選②，，∴，即，又，∴，，∴，又，解得；選③，，∴，∴即，又，，∴.20.已知，，且的圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，整體代入法求單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由，得，由正弦定理和面積公式得，利用為銳角，得角的范圍，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，得面積的取值范圍.【小問1詳解】，由的圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，有，得，所以．令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】已知，由，得，由正弦定理，得，，由是銳角三角形，有，得，，則，所以，即面積的取值范圍是．21.如圖，已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的正三角形的中心，線段經(jīng)過點(diǎn)，并繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，分別交邊于點(diǎn)，設(shè)，其中．（1）求的值；（2）求面積的最小值，并指出相應(yīng)的的值．【答案】（1）（2）時(shí)，取得最小值．【解析】【分析】（1）由正三角形的中心的性質(zhì)，有，又三點(diǎn)共線，所以；（2）面積表示為的函數(shù)，通過換元和基本不等式，求最小值.【小問1詳解】延長(zhǎng)交與，由是正三角形的中心，得為的中點(diǎn)，則，由，，得，又三點(diǎn)共線，所以，即．【小問2詳解】是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則，．由，則，，，解得，．設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．求算式的限值范圍，根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.22.已知