2/10第02講垂線與點(diǎn)到直線的距離課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①垂線的定義及性質(zhì)②點(diǎn)到直線的距離1．理解垂線、垂線段的概念，會(huì)用三角尺或量角器過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線；掌握點(diǎn)到直線的距離的概念，并會(huì)度量點(diǎn)到直線的距離；2．掌握垂線的性質(zhì)，并會(huì)利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理．知識(shí)點(diǎn)01垂線概念和性質(zhì)1.垂直的概念及表示.兩條直線相交成四個(gè)角，如果有一個(gè)角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.通常用符號(hào)“⊥”表示兩條直線互相垂直.如下圖，直線AB與直線CD垂直，記作AB⊥CD，垂足為O.垂直的概念包含兩個(gè)方面的含義：一方面由直角（90°的角）可以得到兩條直線垂直；另一方面由兩條直線垂直可以得到直角（或90°的角）2.垂直的性質(zhì)：（1）平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.（2）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.【即學(xué)即練1】（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，所有小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)、、均在格點(diǎn)上．(1)過(guò)點(diǎn)畫線段的平行線；(2)過(guò)點(diǎn)畫線段的垂線，垂足為；(3)線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到直線的距離；(4)比較線段、的大小關(guān)系（用“<”連接）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)(4)【知識(shí)點(diǎn)】格點(diǎn)作圖題、畫垂線、垂線段最短、點(diǎn)到直線的距離【分析】本題考查利用格點(diǎn)作平行線、垂線，垂線段的性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離的定義：（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)直接作平行線即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)直接作垂線即可；（3）根據(jù)點(diǎn)到直線距離的定義求解；（4）根據(jù)垂線段最短即可求解．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，即為所求；（3）解：線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到直線的距離，故答案為：；（4）解：由垂線段最短可知：．知識(shí)點(diǎn)02點(diǎn)到直線的距離3.點(diǎn)到線的距離：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為點(diǎn)B，則線段AB的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)A到直線的距離，此時(shí)線段AB叫垂線段.【即學(xué)即練1】（23-24七年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，在直角三角形中，，，．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

(1)點(diǎn)B到的距離是，點(diǎn)A到的距離是；(2)請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)C到的垂線段；(3)（填“”、“”、“”），理由是．【答案】(1)8，6(2)見(jiàn)解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離、畫垂線、垂線段最短【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義求解；（2）過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為；（3）根據(jù)垂線段最短進(jìn)行判斷．【詳解】（1）解：點(diǎn)B到的距離是，點(diǎn)A到的距離是；故答案為：8，6；（2）如圖，為所作；

（3），理由是垂線段最短．故答案為：；垂線段最短．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，熟練掌握點(diǎn)到直線距離的概念是解答本題的關(guān)鍵．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離．題型01垂線的定義的理解例題：（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）為直線上的一點(diǎn)，為外一點(diǎn)，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．過(guò)可畫直線垂直于 B．過(guò)可畫直線的垂線C．連結(jié)使 D．過(guò)只能畫1條直線與垂直【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】垂線的定義理解【分析】此題主要考查了垂線的作法以及垂線的定義，正確把握垂線的作法是解題關(guān)鍵．直接利用垂線的定義結(jié)合垂線作法得出答案．【詳解】解：A、為直線上的一點(diǎn)，Q為外一點(diǎn)，過(guò)P可畫直線垂直于，正確，不合題意；B、為直線上的一點(diǎn)，Q為外一點(diǎn)，過(guò)Q可畫直線的垂線，正確，不合題意；C、連接不能保證，故錯(cuò)誤，符合題意；D、為外一點(diǎn)，可以過(guò)Q可畫直線與垂直，正確，不合題意；故選∶C．【變式訓(xùn)練】1．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知，，所以與在同一條直線上的理由是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線C．過(guò)一點(diǎn)只能作一條垂線D．垂線段最短【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】垂線的定義理解【分析】本題考查了垂線的基本事實(shí)，根據(jù)垂線的基本事實(shí)結(jié)合圖形得出結(jié)論是解題關(guān)鍵．利用同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直進(jìn)而得出答案即可．【詳解】解：因?yàn)?，，所以直線與重合，其理由是：同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故選：B．2．（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，，垂足為D，則下面說(shuō)法中不正確的是（

）A．點(diǎn)B到的垂線段是線段CA B．CD與AB互相垂直C．與互相垂直 D．線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)A到的距離【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離、垂線的定義理解【分析】題考查的是點(diǎn)到直線的距離，熟知直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、∵，∴，∴點(diǎn)B到的垂線段是線段，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B、∵，∴CD和AB互相垂直，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；C、∵，∴，∴與互相垂直，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；D、∵，∴線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)A到的距離，故本選項(xiàng)正確，不符合題意．故選A．題型02垂線段最短例題：（24-25七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）如圖，在中，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，M是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接．若，則線段的長(zhǎng)的最小值是．【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短【分析】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)垂線段最短可得結(jié)論．【詳解】解：∵，且，根據(jù)“垂線段最短”可知，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，最短，所以，的最小值為的長(zhǎng)，所以，的最小值為6，故答案為：6．【變式訓(xùn)練】1．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，運(yùn)動(dòng)會(huì)上，兩名同學(xué)測(cè)得黎明的跳遠(yuǎn)成績(jī)分別為米，米，米，則黎明的跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)該為米．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短【分析】此題主要考查了點(diǎn)到直線的距離的含義，解答此題的關(guān)鍵是要明確：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，特別注意是“垂線段的長(zhǎng)度”．根據(jù)點(diǎn)P到踏板所在的直線的垂線段的長(zhǎng)度，據(jù)此判斷出跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)該為多少米即可．【詳解】解：依據(jù)從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的線段中，垂線段最短可知，黎明的跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)該是圖中線段的長(zhǎng)度，即為米．故答案為：2．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）為直線外一點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，則（選填“≥”“＝”或“≤”），根據(jù)是．【答案】垂線段最短【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短、點(diǎn)到直線的距離【分析】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，根據(jù)點(diǎn)到直線距離的定義和垂線段最短進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵A為直線l外一點(diǎn)，B是直線l上一點(diǎn)，點(diǎn)A到l的距離為5，∴當(dāng)時(shí)，，∵垂線段最短，∴當(dāng)不與直線l垂直時(shí)，，∴．故答案為：；垂線段最短．題型03畫垂線例題：（23-24七年級(jí)下·北京豐臺(tái)·期末）用三角板過(guò)點(diǎn)作所在直線的垂線，如圖三角板的位置擺放正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】畫垂線【分析】本題考查作垂線，根據(jù)過(guò)點(diǎn)作已知直線的垂線方法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：選項(xiàng)A中三角板過(guò)點(diǎn)，但不垂直，故不符合題意；選項(xiàng)B中三角板過(guò)點(diǎn)且垂直，故符合題意；選項(xiàng)C中三角板不過(guò)點(diǎn)，故不符合題意；選項(xiàng)D中三角板過(guò)點(diǎn)但不垂直，故不符合題意，故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖所示的正方形網(wǎng)格，所有小正方形的邊長(zhǎng)都為，、、都在格點(diǎn)上．(1)利用網(wǎng)格作圖：過(guò)點(diǎn)畫直線的垂線，垂足為點(diǎn)；(2)線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)______到直線_______的距離；(3)比較大小：______（填＞、＜或＝），理由：______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

(3)

垂線段最短【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短、點(diǎn)到直線的距離、畫垂線【分析】本題主要考查垂線段、點(diǎn)到直線的距離：（1）取格點(diǎn)，作直線，交直線于點(diǎn)；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可解答；（3）根據(jù)垂線段最短即可解答．【詳解】（1）（2）線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到直線的距離．故答案為：

（3），理由：垂線段最短．故答案為：

垂線段最短2．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）利用網(wǎng)格畫圖：(1)過(guò)點(diǎn)C畫的垂線，垂足為E；(2)線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到直線_______的距離；(3)連接，在線段中，線段_______最短．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短、點(diǎn)到直線的距離、畫垂線【分析】本題主要垂線及其做圖，點(diǎn)到直線的距離概念，垂線段最短，注意作圖的準(zhǔn)確性．（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，利用直線與網(wǎng)格的夾角的關(guān)系找出與垂直的格點(diǎn)；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離概念回答；（3）根據(jù)垂線段最短直接回答即可．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到直線的距離，故答案為：；（3）解：連接，在線段中，線段最短，理由：垂線段最短．故答案為：．題型04點(diǎn)到直線的距離例題：（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三角形中，，，垂足為．若，，，則點(diǎn)A到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為．【答案】43【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離【分析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)到直線的距離的定義；根據(jù)三角形等面積法求出，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可得解．【詳解】解：，，，點(diǎn)A到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，故答案為：4，3，．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)下·遼寧鞍山·期末）如圖，三角形中，，已知，，，則點(diǎn)B到直線的距離是．【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離【分析】本題考查點(diǎn)到直線的距離，能夠靈活運(yùn)用三角形的面積公式是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可判斷出表示點(diǎn)B到直線的距離是線段長(zhǎng)解題．【詳解】解：點(diǎn)B到直線的距離是，故答案為：．2．（24-25七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)、、、均在格點(diǎn)上，只用直尺在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖．(1)作線段，作射線；(2)點(diǎn)到直線的距離為線段________的長(zhǎng)度；(3)在線段上找一點(diǎn)，使它到、、、四個(gè)點(diǎn)的距離之和最小，作圖的理由為_(kāi)_______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)兩點(diǎn)之間線段最短【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離、畫出直線、射線、線段、兩點(diǎn)之間線段最短【分析】本題主要考查了網(wǎng)絡(luò)作圖．熟練掌握畫線段，畫射線，點(diǎn)到直線的距離，兩點(diǎn)之間線段最短，是解題的關(guān)鍵．（1）連接畫出線段，連接并延長(zhǎng)畫出射線即可；（2）根據(jù)可得點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)度；（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得的最小值為的長(zhǎng)，得點(diǎn)到、、、四個(gè)點(diǎn)的距離之和最小值為．【詳解】（1）連接，連接并延長(zhǎng)，即得．（2）點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)度故答案為：（3）連接，交BD于點(diǎn)，則，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到上時(shí)，，最小，則，最?。蚀鸢笧椋簝牲c(diǎn)之間線段最短．題型05利用垂線的定義求角的度數(shù)例題：（24-25七年級(jí)上·浙江溫州·期末）如圖，直線與相交于點(diǎn)O，平分．

(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、角平分線的有關(guān)計(jì)算、垂線的定義理解、對(duì)頂角相等【分析】本題考查了角的和差計(jì)算，對(duì)頂角，平角，補(bǔ)角，角平分線的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線定義以及對(duì)頂角即可求解；（2）由垂線得到，結(jié)合角平分線得到，則，化簡(jiǎn)得，由，得到方程，繼而可求解．【詳解】（1）解：∵直線與相交于點(diǎn)O，∴，∵平分，∴，∴；（2）解：∵若，∴∴，∵平分，∴，∴，∴∴∴，∵，∴，解得.∴．【變式訓(xùn)練】1．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，直線，相交于點(diǎn)，．(1)若，判斷與的位置關(guān)系；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】垂線的定義理解、幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題【分析】本題考查垂直定義、角度的運(yùn)算，能從圖中找到角之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直定義，得到即可求解；（2）根據(jù)垂直定義結(jié)合已知，得到，再根據(jù)平角定義求解即可；【詳解】（1）解：．理由如下：因?yàn)?，所以，所以．又因?yàn)?，所以，即，所以；?）解：由（1）知，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以?．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，直線、相交于點(diǎn)，，．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、垂線的定義理解、對(duì)頂角相等【分析】本題考查垂直定義和對(duì)頂角相等的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，掌握相關(guān)概念正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)對(duì)頂角相等可得，然后利用角的和差計(jì)算求解；（2）根據(jù)垂直定義及角的和差關(guān)系列式計(jì)算即可求解．【詳解】（1）∵，，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∴．題型06利用垂線的定義求旋轉(zhuǎn)問(wèn)題例題：（23-24七年級(jí)上·福建泉州·期末）如圖，是直線上的一點(diǎn)，，平分，，．(1)如圖，若，則的度數(shù)為_(kāi)___________；(2)探究在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求的度數(shù)；（用含有的代數(shù)式表示）(3)在內(nèi)部有一條射線是的角平分線，求的度數(shù)．（用含有的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)的度數(shù)為或(3)的度數(shù)為或【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、角平分線的有關(guān)計(jì)算、與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算、垂線的定義理解【分析】本題考查了幾何圖中角度的計(jì)算、垂線的定義、角平分線的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）先利用鄰補(bǔ)角求出，由角平分線的定義得出，由垂線的定義得出，再由，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）分兩種情況：當(dāng)在內(nèi)部時(shí)；當(dāng)在外部時(shí)，分別求解即可得出答案；（3）分兩種情況：當(dāng)在內(nèi)部時(shí)；當(dāng)在外部時(shí)，分別求解即可得出答案．【詳解】（1）解：，，平分，，，，，的度數(shù)為，故答案為：；（2）解：如圖，當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，，，，，平分，，；如圖，當(dāng)在外部時(shí)，，，，，平分，，；綜上所述，的度數(shù)為或；（3）解：如圖，當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，由（2）可得，，，是的角平分線，；如圖，當(dāng)在外部時(shí)，由（2）可得，，，是的角平分線，，綜上所述，的度數(shù)為或．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)上·山東青島·期末）如圖，，射線從開(kāi)始繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為每分鐘旋轉(zhuǎn)；同時(shí)，射線從開(kāi)始繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為每分鐘旋轉(zhuǎn)；設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)t為何值時(shí)，為平角？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，平分？(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使將分成的兩個(gè)角的度數(shù)之比為？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(4)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，或；(4)存在，或．【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題(一元一次方程的應(yīng)用)、幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、角平分線的有關(guān)計(jì)算、垂線的定義理解【分析】對(duì)于（1），根據(jù)列出方程，求出解即可；對(duì)于（2），根據(jù)列出方程，求出解；對(duì)于（3），分別表示出和，再分情況列出方程，求出解；對(duì)于（4），分別表示出和，再分兩種情況列出方程，并求出解．【詳解】（1）根據(jù)題意可知，.當(dāng)為平角時(shí)，，即，解得．答：時(shí)為平角；（2）根據(jù)題意可知，.當(dāng)OC平分時(shí)，，即，解得．答：時(shí)OC平分；（3）根據(jù)題意可知，.第一種：，，第二種：，．答：存在，或時(shí)，OB將分成的兩個(gè)角的度數(shù)之比為；（4）根據(jù)題意可知，，.當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得．答：存在，或時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平角，角平分線，垂直，角的和差等，弄清各角之間的數(shù)量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論，不能丟解．一、單選題1．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，三條直線相交于點(diǎn)，若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】相交線、垂線的定義理解【分析】本題考查了相交線，垂直的定義，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得出，，進(jìn)而得出，即可得到答案．【詳解】解：由題意得，∵，∴，∵，∴，故選：B．2．（24-25七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）小峰同學(xué)家在點(diǎn)處，他在行走速度相同的情況下，想盡快到達(dá)公路邊，他選擇沿線段去公路邊，這一選擇用到的數(shù)學(xué)知識(shí)是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．垂線段最短C．兩點(diǎn)之間，線段最短 D．過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短【分析】此題主要考查了垂線段的性質(zhì)：點(diǎn)到直線的所有連線中，垂線段最短．根據(jù)垂線段的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：小峰同學(xué)的家在點(diǎn)處，他在行走速度相同的情況下，想盡快地到達(dá)公路邊，他選擇沿線段去公路邊，是因?yàn)榇咕€段最短；故選：B．3．（23-24七年級(jí)下·山東濰坊·期中）過(guò)點(diǎn)B畫線段所在直線的垂線段，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】畫垂線【分析】本題主要考查過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線段，根據(jù)垂線段的定義依次判斷每個(gè)選項(xiàng)．【詳解】解：A．圖上為過(guò)A點(diǎn)畫線段所在直線的垂線段，故該選項(xiàng)不符合題意；B．圖上為過(guò)點(diǎn)B畫線段所在直線的垂線段，故該選項(xiàng)符合題意；C．圖上為過(guò)上一點(diǎn)D畫線段所在直線的垂線段，故該選項(xiàng)不符合題意；D．圖上為過(guò)點(diǎn)B畫線段的垂線段，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．4．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖是光的反射定律示意圖，分別是入射光線、反射光線和法線（提示：反射角和入射角分別是反射光線和入射光線與法線的夾角，且反射角等于入射角）．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、垂線的定義理解【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，垂線的定義，根據(jù)題意可得，則，再根據(jù)已知條件得到，則．【詳解】解：由光的反射定律可知法線與反射面垂直，即，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．5．（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·期末）如圖，已知點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，過(guò)作交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A．的余角只有 B．圖中互余的角共有對(duì)C．的補(bǔ)角只有 D．圖中與互補(bǔ)的角共有個(gè)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算、垂線的定義理解【分析】此題考查了余角和補(bǔ)角，根據(jù)垂直定義可得，然后再根據(jù)余角定義和補(bǔ)角定義進(jìn)行分析即可求解，掌握互余和互補(bǔ)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、∵，，∴，∴，，∴是的余角，也是的余角，故錯(cuò)誤，不合題意；、∵，，∵，∴，，，，∴圖中互余的角共有對(duì)，故正確，符合題意；、∵，，∴，∵，∴，又∵，∴的補(bǔ)角有和，故錯(cuò)誤，不合題意；、∵，∴圖中與互補(bǔ)的角共有個(gè)，故錯(cuò)誤，不合題意；故選：．二、填空題6．（23-24七年級(jí)下·北京·期末）如圖，若，，為垂足，那么，，三點(diǎn)在同一直線上，其理由是．【答案】在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【知識(shí)點(diǎn)】垂線的定義理解、畫垂線【分析】本題考查的是垂線的性質(zhì)，利用在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直可得答案．【詳解】解：∵，，為垂足，∴，，三點(diǎn)在同一直線上，理由是：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；故答案為：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直7．（23-24七年級(jí)下·浙江臺(tái)州·期末）如圖，要把河中的水引到農(nóng)田處，若河岸，垂足為點(diǎn)，則沿著線段鋪設(shè)管道能使水管最短，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是．

【答案】垂線段最短【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短【分析】本題主要考查了垂線段最短，利用垂線段的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂線段的性質(zhì)（直線外的點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線，垂線段最短），可得答案．【詳解】解：根據(jù)垂線段的性質(zhì)（直線外的點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線，垂線段最短），可知其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是垂線段最短，故答案為：垂線段最短．8．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，點(diǎn)O是直線上一點(diǎn)，射線在同側(cè)，且，若，則的度數(shù)為．【答案】/52度【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、垂線的定義理解【分析】本題考查了角的計(jì)算，準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．由可知，再根據(jù)平角等于列式計(jì)算即可求出．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴．故答案為：．9．（23-24七年級(jí)下·四川南充·期中）如圖，，于D，有以下結(jié)論：①：②與互相垂直；③點(diǎn)C到的垂線段是線段；④點(diǎn)A到的距離是線段的長(zhǎng)度；⑤線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到的距離：⑥線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)D到的距離，其中正確的有（填序號(hào)）

【答案】①④⑤【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離、垂線的定義理解【分析】本題考查了垂直的定義，點(diǎn)到線段的距離．根據(jù)垂直的定義可判斷①；根據(jù)垂線的性質(zhì)可判斷②不正確；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可判斷③④⑤⑥．【詳解】解：①∵，∴；故①說(shuō)法正確；②，由垂線的性質(zhì)知與不垂直；故②說(shuō)法錯(cuò)誤；③點(diǎn)C到的垂線段是線段的長(zhǎng)度；故③說(shuō)法錯(cuò)誤；④點(diǎn)A到的距離是線段的長(zhǎng)度；故④說(shuō)法正確；⑤線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到的距離；故⑤說(shuō)法正確；⑥線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到的距離；故⑥說(shuō)法錯(cuò)誤；綜上：正確的是：；故答案為：①④⑤．10．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線，相交于點(diǎn)，平分，射線于點(diǎn)，且，則．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、角平分線的有關(guān)計(jì)算、與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算、垂線的定義理解【分析】本題主要考查了相交線和角平分線有關(guān)計(jì)算．熟練掌握垂線定義，角平分線定義，佘角補(bǔ)角定義，分類討論，是解本題的關(guān)鍵．當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)C在同側(cè)時(shí)，根據(jù)垂直定義得，結(jié)合，得，根據(jù)角平分線定義，得；當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)C在異側(cè)時(shí)，可得，得，得．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)C在同側(cè)時(shí)，∵于點(diǎn)O，∴，∵，∴，∵平分，∴；當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)C在異側(cè)時(shí)，∵，∴，∴，∴．故答案為：或．三、解答題11．（2024八年級(jí)上·黑龍江·專題練習(xí)）如圖，A，B是兩個(gè)村莊，中間有一條河，現(xiàn)準(zhǔn)備在河上造一座橋，使得通過(guò)橋到兩村的距離和最短．（假定河的兩岸是平行線，橋要與河岸垂直）【答案】見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短【分析】本題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，過(guò)B作河的垂線，要使最短，直線a，，連接即可得出N，作出即可．【詳解】解：根據(jù)垂線段最短，得出是河的寬時(shí)，最短，即直線a（或直線b），只要最短就行，即過(guò)B作河岸b的垂線，垂足為H，在直線上取點(diǎn)，使等于河寬．連接交河的a邊岸于M，作垂直于河岸交b邊的岸于N點(diǎn)，所以，即為所求的橋．12．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，直線相交于點(diǎn)D，．(1)若，求證：；(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、垂線的定義理解【分析】本題考查垂直的定義，幾何中角度的計(jì)算．（1）根據(jù)垂直的定義得到，結(jié)合，等量代換可得，即可證明；（2）由，根據(jù)，可得，即可求出，由（1）知，由即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，由（1）知，，∴．13．（23-24七年級(jí)下·陜西寶雞·期中）如圖，正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)在的邊上，點(diǎn)，，也是格點(diǎn)，請(qǐng)利用網(wǎng)格完成下面畫圖：(1)過(guò)點(diǎn)畫的垂線，交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)的一個(gè)格點(diǎn)記為；(2)過(guò)點(diǎn)畫的垂線，垂足記為；(3)試判斷線段，，的大小關(guān)系并說(shuō)明判斷的依據(jù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)，依據(jù)見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短、畫垂線【分析】本題考查了格點(diǎn)作圖，垂線段最短，點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．（1）利用網(wǎng)格的特點(diǎn)作圖即可；（2）利用網(wǎng)格的特點(diǎn)作圖即可；（3）根據(jù)垂線段最短即可求解．【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求；（2）如圖，即為所求；（3），判斷的依據(jù)：直線外一點(diǎn)和直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短．14．（23-24七年級(jí)下·重慶秀山·階段練習(xí)）如圖，直線、相交于點(diǎn)，平分，平分．(1)、有什么位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、角平分線的有關(guān)計(jì)算、垂線的定義理解【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，垂線的定義，角平分線的定義：（1）由角平分線的定義得到，再由平角的定義可得，據(jù)此可得結(jié)論；（2）先證明，再由（1）得到，據(jù)此求出，再利用平角的定義求解即可．【詳解】（1）解：，理由如下：∵平分，平分，∴，∵，∴，∴；（2）解：由（1）得，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．15．（23-24七年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，點(diǎn)都在格點(diǎn)上（小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)），

(1)請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成畫圖（不要求寫畫法）．①過(guò)點(diǎn)畫直線的平行線，并標(biāo)出直線所經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)；②過(guò)點(diǎn)畫直線的垂線，并標(biāo)出直線所經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)及垂足；(2)線段______的長(zhǎng)就是點(diǎn)到直線的距離；(3)比較大?。篲_____（填“”“”或“”）【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；(2)；(3)．【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短、點(diǎn)到直線的距離、畫垂線【分析】本題主要考查了基本作圖，利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作垂線，平行線，點(diǎn)到直線的距離的定義，都是基礎(chǔ)知識(shí)，需熟練掌握．（1）①根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作長(zhǎng)3寬1的長(zhǎng)方形的對(duì)角線即可；②根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義解答；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可得；（3）根據(jù)垂線段最短即可得出答案．【詳解】（1）解：①如圖所示，直線即為所求；②如圖所示，直線即為所求；

（2）解：線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到直線的距離，故答案為：；（3）解：，故答案為：．16．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖1，點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線，使，點(diǎn)M在射線上，射線在直線的下方，且．(1)將圖1中的繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使射線在的內(nèi)部并恰好平分，求的度數(shù)．(2)在（1）的條件下，反向延長(zhǎng)射線得到射線，如圖3所示，判斷射線是否平分，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)將圖1中的繞點(diǎn)O按每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第t秒時(shí)，邊所在的直線恰好平分銳角，則t的值為_(kāi)_________秒．（直接寫出答案）【答案】(1)(2)射線平分，理由見(jiàn)解析(3)6或15【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、角平分線的有關(guān)計(jì)算、垂線的定義理解【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義，垂線的定義：（1）先由平角的定義得到，再由角平分線的定義得到，由垂線的定義得到，據(jù)此根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案；（2）由平角的定義得到，則可得，據(jù)此可得射線平分；（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖3中和時(shí)都滿足題意，求出對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴；（2）解：射線平分，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴射線平分；（3）解：由（1）（2）可知當(dāng)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)使得到第一次到達(dá)圖3中的位置時(shí)，此時(shí)直線恰好平分，∴旋轉(zhuǎn)角度為，∴；當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到到