2/10第12講章節(jié)復(fù)習(xí)專題：三角形目錄TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)一判斷三邊是否能構(gòu)成三角形】 3【考點(diǎn)二三角形的穩(wěn)定性】 5【考點(diǎn)三已知三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊的取值范圍】 6【考點(diǎn)四利用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)絕對(duì)值】 8【考點(diǎn)五利用三角形的內(nèi)角和求角的度數(shù)】 10【考點(diǎn)六判斷是否三角形的高線】 13【考點(diǎn)七根據(jù)三角形的中線求解】 15【考點(diǎn)八在網(wǎng)格中畫三角形的中線、高線及求三角形的面積】 18【考點(diǎn)九利用三角形的中線、高線、角平分線求解】 22【考點(diǎn)十利用全等三角形的性質(zhì)求解】 27【考點(diǎn)十一全等三角形判定和性質(zhì)多結(jié)論問題】 29【考點(diǎn)十二全等三角形的性質(zhì)和判定】 36【考點(diǎn)十三全等三角形的性質(zhì)和判定探究綜合題】 41知識(shí)點(diǎn)01三角形的概念及分類1.三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次聯(lián)結(jié)所組成的圖形.2.三角形的分類(1)按邊分類可以分為；(2)按角分類可以分為知識(shí)點(diǎn)02三角形基本元素角與邊的有關(guān)定理(1)三角形的內(nèi)角和等于.(2)直接三角形兩個(gè)銳角互余.(3)三角形的任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.知識(shí)點(diǎn)03三角形的中線、角平分線、中線三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，頂點(diǎn)與垂足之間的線段；三角形的中線：聯(lián)結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線段；三角形的重心：三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．這點(diǎn)稱為三角形重心。三角形的角平分線：三角形的一個(gè)內(nèi)角的角平分線與對(duì)邊相交于一點(diǎn)頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段；三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語(yǔ)言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖形語(yǔ)言作圖語(yǔ)言過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．標(biāo)示圖形符號(hào)語(yǔ)言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點(diǎn)D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語(yǔ)言因?yàn)锳D是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項(xiàng)1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內(nèi)．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長(zhǎng)線)交于一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)04全等三角形的概念和性質(zhì)能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱為全等三角形．兩個(gè)全等的三角形，經(jīng)過變換而重合，相互重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．邊、角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．知識(shí)點(diǎn)05全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.特別說明：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（可以寫成“角角邊”或“AAS”）特別說明：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.知識(shí)點(diǎn)06全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．邊、角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．【考點(diǎn)一判斷三邊是否能構(gòu)成三角形】例題：（24-25七年級(jí)下·上海閔行·期中）下列各組長(zhǎng)度的線段中，能組成三角形的是（

）A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）下列長(zhǎng)度的三條線段中，能構(gòu)成三角形的是（）A．2，4，7 B．4，8，12 C．3，7，12 D．4，10，122．（24-25八年級(jí)上·河北廊坊·期中）下列長(zhǎng)度的三根小木棒，把它們首尾順次相接能擺成一個(gè)三角形的是（

）A．1，1，3 B．5，6，7 C．1，8，18 D．3，4，103．（24-25八年級(jí)上·安徽淮北·期中）以三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)為三角形的三條邊長(zhǎng)，構(gòu)不成三角形的是（

）A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6【考點(diǎn)二三角形的穩(wěn)定性】例題：（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架，其中所涉及的數(shù)學(xué)原理是（

）A．三角形任意兩邊之和大于第三邊 B．三角形的穩(wěn)定性C．兩點(diǎn)之間線段最短 D．兩點(diǎn)確定一條直線【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）平板電腦是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常使用的電子產(chǎn)品，它的很多保護(hù)殼還兼具支架功能，有一種如圖所示，平板電腦放在它上面就可以很方便地使用了，這是利用了（

）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．三角形內(nèi)角和等于180度C．三角形具有穩(wěn)定性 D．兩邊之和大于第三邊2．（24-25八年級(jí)上·新疆喀什·期末）以下圖形不具有三角形穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．3．（24-25八年級(jí)上·云南昆明·期末）如圖，北盤江大橋跨越云南和貴州交界的北盤江大峽谷，全長(zhǎng)1341.4米，橋面到谷底垂直高度565米，差不多相當(dāng)于200層樓的高度，垂直高度和橋梁跨度均屬世界罕見，經(jīng)吉尼斯世界紀(jì)錄認(rèn)證為“世界最高橋”．主橋采用雙塔雙索面鋼桁架梁斜拉設(shè)計(jì)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)固，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（

）A．三角形的穩(wěn)定性 B．四邊形的不穩(wěn)定性C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．三角形內(nèi)角和等于【考點(diǎn)三已知三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊的取值范圍】例題：（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期中）若一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為2，m和8，則m的取值范圍．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·河南漯河·期末）若為三角形三邊長(zhǎng)，且滿足，則第三邊長(zhǎng)可能是．2．（24-25八年級(jí)上·寧夏吳忠·期中）一木工師傅現(xiàn)有兩根木條，木條的長(zhǎng)分別為和，他要選擇第三根木條，將它們釘成一個(gè)三角形木架．設(shè)第三根木條長(zhǎng)為，則x的取值范圍是．3．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為2，5，a，則a的取值范圍是；若此三角形的周長(zhǎng)為偶數(shù)，則，此時(shí)三角形的形狀是三角形．【考點(diǎn)四利用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)絕對(duì)值】例題：（24-25八年級(jí)上·青海西寧·階段練習(xí)）已知，，為三角形的三邊，化簡(jiǎn)的結(jié)果是【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·安徽安慶·期中）已知等腰的三邊長(zhǎng)分別為5，11，，則．2．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為13，，則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為．3．（24-25八年級(jí)上·內(nèi)蒙古通遼·期末）為三角形三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是．【考點(diǎn)五利用三角形的內(nèi)角和求角的度數(shù)】例題：（24-25八年級(jí)上·北京海淀·期中）已知如圖，，，，則的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·上海普陀·階段練習(xí)）已知：如圖，在中，，，若，則．2．（2025九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，為邊上的高，，，則是度．可知，，故此種情況不存在，舍棄；③高在三角形外部，如圖所示：3．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）將一副直角三角板如圖放置．已知，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為．【考點(diǎn)六判斷是否三角形的高線】例題：（24-25八年級(jí)上·北京·期中）如圖所示，中邊上的高線畫法正確的是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·北京·期中）已知，作邊上的高，下列作圖中正確的是（

）A． B． C． D．2．（24-25八年級(jí)上·北京·期中）如圖，在中，邊上的高是（

）A．線段 B．線段 C．線段 D．線段3．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，，垂足分別為C，D，E，則下列說法不正確的是（

）A．是的高 B．是的高C．是的高 D．是的高【考點(diǎn)七根據(jù)三角形的中線求解】例題：（24-25八年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖，在中，，，為中線，則與的周長(zhǎng)之差的值為．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，，分別為，的中點(diǎn)，若的面積為，則的面積是．2．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）（1）在中，是的平分線，是邊上的中線．若，則；若，則．（2）在中，，是邊上的中線，的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，則．3．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期中）如圖，在中，是邊上的中線，，與交于點(diǎn)F，若的面積等于16．（1）的面積為；（2）設(shè)的面積為m，的面積為n，則．【考點(diǎn)八在網(wǎng)格中畫三角形的中線、高線及求三角形的面積】例題：（24-25八年級(jí)上·安徽安慶·期中）在下面的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)畫出邊上的高和中線；(2)畫出邊上的高，并直接寫出的長(zhǎng)（提示：的長(zhǎng)等于5）．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，正方形網(wǎng)格中所有小正方形的邊長(zhǎng)都為1，規(guī)定每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上．(1)的面積______；(2)只用直尺畫出的高；(3)只用直尺過點(diǎn)C畫．2．（24-25八年級(jí)上·新疆巴音郭楞·期中）如圖為的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．已知的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，按要求解答：(1)請(qǐng)畫出的邊上的高；(2)連接格點(diǎn)，用一條線段將分成面積相等的兩部分（直接畫圖即可）；(3)直接寫出的面積為__________．3．（24-25七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）圖①，圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，在網(wǎng)格中按要求畫圖，保留作圖痕跡．(1)的面積為______，(2)在圖①中，過點(diǎn)C作線段，使點(diǎn)D為格點(diǎn)；(3)在圖②中，過點(diǎn)B作的垂線段．【考點(diǎn)九利用三角形的中線、高線、角平分線求解】例題：（24-25八年級(jí)上·北京·期中）如圖，在中，是中線，，．(1)求與的周長(zhǎng)差．(2)點(diǎn)E在邊上，連接，若與四邊形的周長(zhǎng)相等，求線段的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)下·四川達(dá)州·期中）如圖，中，，于，平分交于．(1)當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；(2)猜想：與有什么關(guān)系，并說明理由．2．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，是角平分線，是中線，是高線．(1)如果，求的長(zhǎng)；(2)如果，求的度數(shù)．3．（24-25七年級(jí)下·上海青浦·階段練習(xí)）在中，，為直線上任意一點(diǎn)，連結(jié)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．為邊上的高；（第一小問7分，第二小問2分，第三小問2分）【畫圖探究】（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，請(qǐng)畫出，猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【運(yùn)用】（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為___________【拓展】（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系為___________；【考點(diǎn)十利用全等三角形的性質(zhì)求解】例題：（24-25八年級(jí)上·貴州遵義·期中）已知，若，則．7．（24-25八年級(jí)上·安徽淮南·期末）如圖，，在邊上，，，則的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·山西大同·期末）如圖，，點(diǎn)D在邊上．若，，則°．2．（24-25七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）如圖，，．點(diǎn)P在線段上以1的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上以x的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．若與全等，則x的值為．【考點(diǎn)十一全等三角形判定和性質(zhì)多結(jié)論問題】例題：（24-25八年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期末）如圖，在中，，的角平分線，相交于點(diǎn)P，過P作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H．有下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．0個(gè)【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·湖北十堰·期末）如圖，在中，為中線，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F．延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使得，連接．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（23-24八年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）如圖，在中，，以為邊，作，滿足，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接，，連接．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（24-25八年級(jí)上·山西呂梁·期中）如圖，點(diǎn)A，，，在同一直線上，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)．若，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，分別延長(zhǎng)，邊上的中線，到，，使，，則下列說法：①；②；③；④四邊形的面積是面積的倍．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)十二全等三角形的性質(zhì)和判定】例題：（24-25八年級(jí)上·北京·期中）如圖，點(diǎn)在一條直線上，，，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，中，是邊上的中線，E，F(xiàn)為直線上的點(diǎn)，連接，，且．(1)求證：；(2)若，，試求的長(zhǎng)．2．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)，在線段上，．(1)求證：；(2)若的面積為，的面積為，求的面積．3．（24-25七年級(jí)下·重慶·期中）如圖，已知和，，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在上．(1)試說明；(2)若，，求的度數(shù)．4．（24-25八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）已知，D、A、E三點(diǎn)均在直線上，且．(1)如圖1，若，，，則線段的長(zhǎng)為；(2)如圖2，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，若將“”變?yōu)椤啊?，其他條件不變，且，，則線段的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)十三全等三角形的性質(zhì)和判定探究綜合題】例題：（24-25八年級(jí)上·河北滄州·期中）已知，D，A，E三點(diǎn)在直線m上，在直線m上方有，且滿足．【積累經(jīng)驗(yàn)】（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【類比遷移】（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，是鈍角，，，，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，與的面積之和為2，請(qǐng)直接寫出的面積．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）利用全等三角形面積相等可以解決與圖形面積相關(guān)的問題．初步感知如圖1，在中，為中線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，連接，使．（1）填空：________．（填“”“”或“”）（2）求證：．（3）試說明：．拓展應(yīng)用（4）如圖2，在中，是鈍角，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，，，若，的面積是9，求與的面積之和．2．（24-25八年級(jí)上·江西贛州·階段練習(xí)）【特例感知】如圖1，在中，，求邊上的中線的取值范圍．（1）中線的取值范圍是______．【類比遷移】（2）如圖2，在四邊形中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，，求證：平分．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，是邊上的中線，E是上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，，求證：．3．（24-25八年級(jí)上·遼寧撫順·期末）【問題情境】（1）如圖1，