山西省運(yùn)城市永濟(jì)涑北中學(xué)2025年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)是原點(diǎn),若;則的面積為（）A. B.C. D.3．2020年12月4日，嫦娥五號探測器在月球表面第一次動(dòng)態(tài)展示國旗.1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個(gè)角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個(gè)角尖正對大五角星的中心點(diǎn).有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近.為便于研究，如圖，以大星的中心點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，，，，分別是大星中心點(diǎn)與四顆小星中心點(diǎn)的聯(lián)結(jié)線，，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（）A. B.C. D.4．我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“一百八十九里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).”其大意為：“有一個(gè)人共行走了189里的路程，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達(dá)目的地.”則該人第一天行走的路程為（）A.108里 B.96里C.64里 D.48里5．已知圓C的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)，則圓C方程為（）A. B.C. D.6．設(shè)異面直線、的方向向量分別為，，則異面直線與所成角的大小為（）A. B.C. D.7．已知雙曲線的離心率為5，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.8．函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，，則的解集為（）A. B.C. D.9．等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件10．橢圓的短軸長為（）A.8 B.2C.4 D.11．如圖，正方形與矩形所在的平面互相垂直，在上，且平面，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.12．已知長方體的底面ABCD是邊長為8的正方形，長方體的高為，則與對角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為__________14．有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時(shí)每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為___________.15．曲線的長度為____________.16．甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)同時(shí)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入對方口袋，共進(jìn)行了2次這樣的操作后，甲口袋中恰有2個(gè)黑球的概率為__________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）長方體中，，點(diǎn)分別在上，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.18．（12分）已知橢圓的焦距為，離心率為（1）求橢圓方程；（2）設(shè)過橢圓頂點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，，成等比數(shù)列，求的值19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，且正四棱錐的體積為.（1）該正四棱錐的表面積的大??；（2）二面角的大小.(結(jié)果用反三角表示)21．（12分）已知兩個(gè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線：（1）求曲線的軌跡方程；（2）若與曲線交于不同的、兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率；22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)M滿足（1）求M的軌跡方程；（2）設(shè)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，求點(diǎn)N的軌跡方程；（3）設(shè)M的軌跡與N的軌跡的交點(diǎn)為P、Q，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先求出方程表示雙曲線時(shí)滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”原則進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)榉匠虨殡p曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.2、C【解析】拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由得或所以，故答案為C考點(diǎn)：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的位置關(guān)系3、C【解析】由五角星的內(nèi)角為，可知，又平分第三顆小星的一個(gè)角，過作軸平行線，則，即可求出直線的傾斜角.【詳解】都為五角星的中心點(diǎn)，平分第三顆小星的一個(gè)角，又五角星的內(nèi)角為，可知，過作軸平行線，則，所以直線的傾斜角為，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線傾斜角，解題的關(guān)鍵是通過做輔助線找到直線的傾斜角，通過幾何關(guān)系求出傾斜角，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】根據(jù)題意，記該人每天走的路程里數(shù)為，分析可得每天走的路程里數(shù)構(gòu)成以的為公比的等比數(shù)列，由求得首項(xiàng)即可【詳解】解：根據(jù)題意，記該人每天走的路程里數(shù)為，則數(shù)列是以的為公比的等比數(shù)列，又由這個(gè)人走了6天后到達(dá)目的地，即，則有，解可得：，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式的運(yùn)用，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.5、C【解析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系求得圓心坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式得半徑，即可得圓方程【詳解】設(shè)圓心為，則圓心與點(diǎn)的連線與直線l垂直，即，則點(diǎn)，所以圓心為，半徑，所以方程為，故選：C6、C【解析】利用空間向量夾角的公式直接求解.【詳解】，，，.由異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成的角為.故選：C7、D【解析】雙曲線離心率公式和a、b、c的關(guān)系即可求得m，從而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵雙曲線，∴，又，∴，∵離心率為，∴，解得，∴雙曲線方程.故選：D.8、D【解析】分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，且有，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則該函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由可得，所以，，可得或，解得或.因此，不等式的解集為.故選：D.9、B【解析】當(dāng)時(shí)，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當(dāng)是遞增數(shù)列時(shí)，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為時(shí)，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件故選：B【點(diǎn)睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程10、C【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，進(jìn)而得出短軸長.【詳解】由，可得，所以短軸長為.故選：C.11、A【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由平面,可得出，利用空間向量數(shù)量積為0求得、的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，,,，，則，,，平面,即，所以，，解得，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：A.12、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∵底面是邊長為8的正方形，，∴，，，因?yàn)?且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對角面所成角的正弦值為故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)題中幾何關(guān)系，求得點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程求得齊次式，整理化簡即可求得離心率.【詳解】根據(jù)題意，取點(diǎn)為第一象限的點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，如下所示：因?yàn)椤鳛榈冗吶切?，又，故可得則點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入橢圓方程可得：，又，整理得：，即，解得（舍）或.故答案為：.14、【解析】由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，分別求出每種的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，①步：即步兩階，有種；②步：即步兩階與步一階，有種；③步：即步兩階與步一階，有種；④步：即步兩階與步一階，有種；⑤步：即步兩階與步一階，有種；⑥步：即步一階，有種；綜上可得一共有種情況，滿足7步登完樓梯的有種；故7步登完樓梯的概率為故答案為：15、【解析】曲線的圖形是：以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓的左半圓，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】解：由得，所以曲線（）的圖形是：以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓的左半圓，∴曲線（）的長度是，故答案為：.16、【解析】分兩類：兩次都互相交換白球的概率和第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率求和可得答案.【詳解】分兩類：①兩次都互相交換白球的概率為；②第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析.（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由面面角的空間向量求解方法可得答案.【小問1詳解】證明：長方體中，平面，又平面，又平面，又平面同理可證，而平面，平面【小問2詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.從而，，，由（1）知，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則，，則，從而，令，則，得平面的一個(gè)法向量為由圖示得平面與平面所成的角為銳角，平面與平面所成的角的余弦值為18、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距為，離心率為結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于的方程組，求出從而求出橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，求出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，然后利用|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，即可求解【詳解】（1）由已知，，解得，所以橢圓的方程為（2）由（1）得過點(diǎn)的直線為，由，得，所以，所以，依題意，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，即，當(dāng)時(shí)，，無解，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，解得，所以，當(dāng)，，成等比數(shù)列時(shí)，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛（1）求橢圓方程的常用方法：①待定系數(shù)法；②定義法；③相關(guān)點(diǎn)法（2）直線與圓錐曲線的綜合問題，常將直線方程代入圓錐曲線方程，從而得到關(guān)于（或）的一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)），利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)的關(guān)系,同時(shí)注意判別式大于零求出參數(shù)的范圍（或者得到關(guān)于參數(shù)的不等關(guān)系），然后將所求轉(zhuǎn)化到參數(shù)上來再求解．如本題及，聯(lián)立即可求解．注意圓錐曲線問題中，常參數(shù)多、字母多、運(yùn)算繁瑣，應(yīng)注意設(shè)而不求的思想、整體思想的應(yīng)用．屬于中檔題.19、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)，求出是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式，求出的公差，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；（2）分組求和.【小問1詳解】因?yàn)棰?，所以?dāng)時(shí)，②，①－②得：，即③，令得：，滿足③，綜上：是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故，設(shè)的公差為d，則，因?yàn)?，所以，解得：?（舍去），所以【小問2詳解】，則20、（1）（2）【解析】（1）首先求出球的半徑，即可得到四棱錐的棱長，再根據(jù)錐體的表面積公式計(jì)算可得；（2）取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，即可得到，從而得到為二面角的平面角，再利用余弦定理計(jì)算可得.【小問1詳解】解：設(shè)球的半徑為，則解得，所以所有棱長均為，因此【小問2詳解】解：取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，因?yàn)榫鶠檎切危虼?，即為二面角的平面?，因此二面角的大小為.21、（1）；（2）【解析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，列出式子，可求出軌跡方程；（2）易知，且，可求出到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離為，可求出直線的斜率【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，可得，整理得，所以所求曲線的軌跡方程為（2）依題意，，且，在△中，，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，所以，即點(diǎn)到直線：的距離為，解得，所以所求直線斜率為【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程，考查直