答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)新草橋中學2025-2026學年八年級上學期期中考數(shù)學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列式子中，是分式的是（）A． B． C． D．2．下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．3．要使分式有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．把多項式分解因式，下列結果正確的是(

)A． B． C． D．5．如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（）A．的三條中線的交點 B．三條角平分線的交點C．三條高所在直線的交點 D．三邊的中垂線的交點6．如圖，在正方形網格中，網格線的交點稱為格點．已知、是兩格點，如果也是圖中的格點，且使得為等腰三角形，則點的個數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．87．如圖，，，點為射線上的一個動點，分別以，為直角邊，點為直角頂點，在兩側作等腰、等腰，連接交于點，當點在射線上移動時，則的長度為（

）

A．4 B．3 C．2 D．2.58．如圖，，點D在它內部，，E，F(xiàn)分別是上的兩個動點．則周長的最小值為（

）A． B． C． D．二、填空題9．約分：．10．計算：．11．若，，則代數(shù)式的值等于．12．若，則分式的值是．13．計算：．14．如圖，在中，，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交、于點D，E，再分別以點D，E為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線交邊于點G，若，，則的面積為15．如圖，在等腰中，，，垂足為，動點、分別在底邊、腰上（點不與點、重合），且．當是以為腰的等腰三角形，則的長度為．16．如圖，在中，，，，點是邊上的動點，以為邊，向下作如圖所示等邊，連接，則長的最小值為．三、解答題17．因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．18．計算：(1)；(2)．19．先化簡，再求值：，其中．20．如圖，，相交于點，，．求證：．21．如圖所示，由每一個邊長均為1的小正方形構成的正方形網格中，的頂點A，B，C均在格點上（小正方形的頂點為格點），利用網格畫圖．（保留必要的畫圖痕跡）(1)在直線上找一點P，使得點P到點B，C的距離相等；(2)在圖中找一點O，使得；(3)在（1）（2）小題的基礎上，請在上確定一點M，使得兩線段，的長度之和的值最?。?2．閱讀與思考：例如：，求的值．解：由可知，，即，，．請你仿照上述方法，解決下面問題：(1)若，求的值；(2)已知，求的值．23．如圖，，，分別是，的中點．(1)證明：；(2)若，，求的長．24．我們已經學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法等，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．例如，分組分解法：．仔細閱讀以上內容，解決下面問題：(1)因式分解：_____．(2)已知：、、為的三條邊，，求的周長．25．如圖，在中，，，點是邊上一動點，連接，將沿翻折得到．(1)直接寫出與的位置關系：_____；(2)如圖①，當時，求證：；(3)在點運動過程中，直線與直線相交于點，連接，當時，求線段長度．《江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)新草橋中學2025-2026學年八年級上學期期中考數(shù)學試卷》參考答案題號12345678答案CCABBDBB1．C【分析】本題考查了分式的定義，熟練掌握分式的定義是解題的關鍵．一般地，如果A、表示兩個整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判斷即可．【詳解】解：A、不是分式，故此選項不符合題意；B、不是分式，故此選項不符合題意；C、是分式，故此選項符合題意；D、不是分式，故此選項不符合題意；故選：C.2．C【分析】本題考查因式分解的定義：將一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做因式分解．根據(jù)定義進行判斷即可．【詳解】解：A、等式右邊不是整式的積的形式，該選項不符合題意；B、是整式的乘法，不是因式分解，該選項不符合題意；C、是因式分解，該選項符合題意；D、，不是因式分解，該選項不符合題意；故選：C．3．A【分析】本題考查了分式有意義的條件，分式有意義的條件是分母不等于零．分式有意義時，分母，據(jù)此求的取值范圍即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，故選：A．4．B【分析】利用十字相乘法分解因式，由（-1）×（-2）=2，（-1）+（-2）=-3可得，寫成因式分解的形式即可.【詳解】=.故答案為B.【點睛】本題主要考查十字相乘法分解因式，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵.5．B【分析】本題主要考查了三角形三條角平分線的性質，根據(jù)角平分線的性質定理解答即可.【詳解】解：的三條角平分線交于一點，且這一交點到三角形三邊的距離相等.故選：B.6．D【分析】本題考查由等腰三角形定義構造等腰三角形，熟記等腰三角形定義是解決問題的關鍵．由等腰三角形定義，在網格中作出圖形即可確定答案．【詳解】解：如圖所示：使得為等腰三角形的情況有：、、、、、、、，共8個，故選：D．7．B【分析】本題考查了三角形內角和定理，全等三角形的性質和判定的應用，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形，靈活運用有關定理來分析或解答．過點作，垂足為點，首先證明，得到；進而證明，即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點作，垂足為點，

，，，、均為等腰直角三角形，，；在與中，，，，；，，在與中，，，；而，，故選B．8．B【分析】本題主要考查了軸對稱的性質，等邊三角形的性質與判定，作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接交于點，交于點，連接，，此時的周長最小，最小值為，證明是等邊三角形，即可求解；確定的周長最小的情形是解題的關鍵．【詳解】解：作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接交于點，交于點，連接，，，如圖所示：

由對稱性可知，，，，∴，當點、、、四點共線時的周長最小，最小值為，∵，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴周長的最小值為，故選：B．9．【分析】此題考查分式約分，約分時，分子和分母同時除以公因式，熟練掌握分式的性質是解題的關鍵．【詳解】，故答案為．10．1【分析】本題考查了同分母分式的減法．按同分母分式的減法法則計算．【詳解】解：，故答案為：．11．8【分析】本題考查因式分解――平方差公式．利用平方差公式變形后求解．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：8．12．1【分析】本題考查分式化簡求值，熟練掌握分式運算法則是解決問題的關鍵．將已知條件代入分式中，通過化簡分式計算即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，故答案為：1．13．100【分析】本題考查了完全平方公式．觀察表達式，發(fā)現(xiàn)其符合完全平方公式的結構，可直接應用公式簡化計算．【詳解】解：．故答案為：100．14．2【分析】本題考查了基本作圖以及角平分線的性質．利用基本作圖得到平分，利用角平分線的性質得到G點到的距離為，然后根據(jù)三角形面積公式計算的面積；【詳解】解：由作圖得平分，∵，點到的距離等于的長，即點到的距離為，∴的面積；故答案為：2．15．【分析】本題考查等腰三角形綜合，涉及等腰三角形性質、外角性質、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握等腰三角形的相關性質是解決問題的關鍵．由等腰三角形性質，結合題意可分兩種情況：①；②；先討論①，結合等腰三角形性質、外角性質，判定此種情況不存在；再討論②，由等腰三角形的性質、外角性質得到相關角度及線段相等，再由兩個三角形全等的判定與性質求出，最后結合等腰三角形三線合一得到，最后數(shù)形結合表示出代值求解即可得到答案．【詳解】解：當是以為腰的等腰三角形，則分兩種情況：①；②，當①時，，，，在等腰中，，則，，是的一個外角，，與矛盾，即此種情況不存在；當②時，是的一個外角，，，，，在等腰中，，則，在和中，，，在等腰中，，，垂足為，則由等腰三角形三線合一性質可得是等腰底邊上的中線，，；綜上所述，當是以為腰的等腰三角形，則的長度為，故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形綜合，涉及等腰三角形性質、外角性質、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握等腰三角形的相關性質是解決問題的關鍵．16．【分析】設的中點為點，連接，，證明，得，當時，取最小值，求得此時的，便是的最小值．【詳解】解：設的中點為點，連接，，如圖，，，，，為等邊三角形，，，，，，當時，取最小值為，長的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短性質，關鍵是構造全等三角形把的最小值轉化為的最小值進行解答．17．(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了因式分解的相關知識，熟練掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式是解答本題的關鍵．（1）觀察多項式各項的公因式，通過提取公因式進行因式分解；（2）識別多項式的形式，利用平方差公式進行因式分解；（3）先提取公因式，再觀察剩余部分是否符合完全平方公式進行因式分解；（4）先將多項式看作關于某一字母的二次三項式，利用完全平方公式分解，再對分解后的部分利用平方差公式進一步分解．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．18．(1)(2)【分析】本題考查分式的加減乘除混合運算．（1）通分并利用同分母分式的減法法則計算即可；（2）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果．【詳解】（1）解：；（2）解：．19．；【分析】本題考查了分式的化簡求值．原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時對分子因式分解，約分得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值．【詳解】解：，當時，原式．20．見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性質（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題的關鍵．直接根據(jù)全等三角形的判定和性質作答即可．【詳解】解：在和中∴，∴．21．(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查作圖—應用與設計，線段的垂直平分線的性質，軸對稱最短問題等知識；（1）取格點，，作直線交于點，由作圖可知垂直平分，則點即為所求；（2）三邊垂直平分線的交點，即為所求．（3）作點關于直線的對稱點，連接交于點，點即為所求．【詳解】（1）解；如圖，點即為所求．（2）解；如圖，點即為所求．（3）解；如圖，點即為所求．根據(jù)軸對稱可知：，∴，∵兩點之間線段最短，∴此時最小，即最小．22．(1)(2)【分析】本題考查了分式的變形與求值，熟練運用分式的變形技巧（如取倒數(shù)、完全平方公式的變形）是解答本題的關鍵．（1）利用分式的倒數(shù)變形，結合已知條件求出的表達式，進而求出目標分式的值；（2）通過對已知分式取倒數(shù)，結合完全平方公式的變形，逐步求出目標分式的值．【詳解】（1）解：由，得，則，．（2）解：由，兩邊取倒數(shù)得，即，，對于，兩邊取倒數(shù)得，故．23．(1)見詳解(2)【分析】本題考查了直角三角形的性質和等腰三角形的性質，以及勾股定理，掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，利用中點的性質證明；（2）根據(jù)等腰三角形的性質及三角形的外角的性質得到，利用30度角的直角三角形的性質得到，進行求解即可．【詳解】（1）證明：連接，，、分別是，的中點，，∵是中點，．（2）解：由（1）可得，，，∵是的外角，是的外角，，，，，，是中點，，，．24．(1)(2)10【分析】本題考查了因式分解的方法，本題主要包括分組分解法、運用平方差公式進行分解、運用完全平方公式進行分解．（1）將原式化為，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；（2）先利用完全平方公式對等式的左邊變形，得到，再根據(jù)偶次方的非負性可得出、、的值，然后求和即可得到答案．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：，∴，∴，，，，，，，∴，，，，故的周長為：10．25．(1)(2)見解析(3)線段的長度為或．【分析】（1）由折疊的性質得，，利用線段垂直平分線的判定定理即可得到；（2）求得，，利用即可證明結論成立；（3）分兩種情況討論，證明是等邊三角形，利用直角三角形的性質求解即可．【詳解】（1