專題7.2復(fù)數(shù)的四則運算（重難點題型精講）1．復(fù)數(shù)的加法運算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)復(fù)數(shù)的加法滿足的運算律

對任意,,∈C，有

①交換律：+=+；

②結(jié)合律：(+)+=+(+).(3)復(fù)數(shù)加法的幾何意義在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)對應(yīng)的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形(如圖所示)，則由平面向量的坐標運算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對角線OZ對應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對應(yīng)的向量.2．復(fù)數(shù)的減法運算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的減法法則類比實數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復(fù)數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義兩個復(fù)數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別是，，那么這兩個復(fù)數(shù)的差-對應(yīng)的向量是-，即向量.如果作=，那么點Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是-(如圖所示).

這說明兩個向量與的差就是與復(fù)數(shù)(a-c)+(b-d)i對應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法來進行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.3．復(fù)數(shù)的乘法運算(1)復(fù)數(shù)的乘法法則

設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結(jié)果中把換成-1，并且把實部與虛部分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)乘法的運算律對于任意,,∈C，有

①交換律：=；

②結(jié)合律：()=()；

③分配律：(+)=+.

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，正整數(shù)指數(shù)冪的運算律仍然成立.即對于任意復(fù)數(shù)z，,和正整數(shù)m,n，有=，=，=.4．復(fù)數(shù)的除法(1)定義

我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運算.即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(1)復(fù)數(shù)的除法法則(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可見，兩個復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個確定的復(fù)數(shù).5．|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義

設(shè)復(fù)數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別是(a,b)，(c,d)，則|???????|=，又復(fù)數(shù)-=(a-c)+(b-d)i，則|-|=.

故|???????|=|-|，即|-|表示復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點之間的距離.6．復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實數(shù)系一元二次方程的根

若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，則當(dāng)>0時，方程有兩個不相等的實根，=；

當(dāng)=0時，方程有兩個相等的實根==-；

當(dāng)<0時，方程有兩個虛根=，=，且兩個虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù).7．復(fù)數(shù)運算的常用技巧(1)復(fù)數(shù)常見運算小結(jié)論①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【題型1復(fù)數(shù)的加、減運算】【方法點撥】兩個復(fù)數(shù)相加(減)，就是把兩個復(fù)數(shù)的實部相加(減)，虛部相加(減).復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，兩個復(fù)數(shù)相減，也可以看成是加上這個復(fù)數(shù)的相反數(shù).當(dāng)多個復(fù)數(shù)相加(減)時，可將這些復(fù)數(shù)的所有實部相加(減)，所有虛部相加(減).【例1】已知z1=1+i，z2=2?2A．4 B．5+3i C．4?3i 【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)加法法則，實部和虛部分別相加即可得出結(jié)果.【解答過程】由z1=1+i，z【變式1-1】若z?3+5i=8?2i，則zA．5?3i B．11?7i C．8+7i【解題思路】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bia,b∈R，利用復(fù)數(shù)的加減運算法則，解出a，b，即可得【解答過程】設(shè)z=a+bia,b∈R，則z?3+5i得a=11b=?7，所以z=11?7【變式1-2】1+i+?2+2A．?1+3i B．1+i C．?1+i【解題思路】利用復(fù)數(shù)的加法運算直接計算作答.【解答過程】1+i【變式1-3】若復(fù)數(shù)z滿足2z+z+3z?A．12+1C．2+2i D．【解題思路】由復(fù)數(shù)的運算法則與復(fù)數(shù)相等的概念求解即可【解答過程】設(shè)z=a+bia,b∈R，則zz?z=a+b所以a=1【題型2復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義的應(yīng)用】【方法點撥】(1)向量加、減運算的平行四邊形法則和三角形法則是復(fù)數(shù)加、減法幾何意義的依據(jù).(2)利用向量的加法“首尾相接”和減法“指向被減向量”的特點，在三角形內(nèi)可求得第三個向量及其對應(yīng)的復(fù)數(shù).【例2】在復(fù)平面內(nèi)，O為原點，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若z1=1,?z3=?2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義及法則即可求解.【解答過程】因為O為原點，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，又因為z1=1,?【變式2-1】在平行四邊形ABCD中，若A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－1＋i和－4－3i，則該平行四邊形的對角線AC的長度為（

）A．5 B．5 C．25 D．10【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義求出向量AC對應(yīng)的復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式即可求出．【解答過程】依題意，AC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的長度為|－3－4i|＝5.故選：B．【變式2-2】如圖在復(fù)平面上，一個正方形的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+2i,?2+i,0，那么這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）．A．3+i B．3?i C．1?3i D．?1+3i【解題思路】利用復(fù)數(shù)的幾何意義、向量的平行四邊形法則即可得出．【解答過程】∵OC＝OA+OB，∴∴點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為?1+3i．故選D．【變式2-3】如圖，設(shè)向量OP，PQ，OQ所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0【解題思路】由向量PQ+QP=【解答過程】由題圖可知，PQ+QP=0，∴PQ+OP?OQ=0【題型3復(fù)數(shù)的乘除運算】【方法點撥】(1)復(fù)數(shù)的乘法可以按照多項式的乘法計算，只是在結(jié)果中要將換成-1，并將實部、虛部分別合并.(2)復(fù)數(shù)的除法法則在實際操作中不方便使用，一般將除法寫成分式形式，采用分母“實數(shù)化”的方法，即將分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母成為實數(shù)，再計算.【例3】已知z1+i=7+5i，則A．6?i B．6+i C．3?2i【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算和共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【解答過程】因為z=7+5i1+【變式3-1】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為(?1,1)，則z1+i=A．?1+i B．?1?i C．i 【解題思路】由復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標得到z=?1+i【解答過程】由題意可知z=?1+i，所以z【變式3-2】已知復(fù)數(shù)z=?1+2i（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為z，則z?iA．-2-i B．-2+i C．2?i D．【解題思路】先得到z=?1?2【解答過程】由題意得：z=?1?2i，故【變式3-3】已知復(fù)數(shù)z滿足z?i=4+3iA．3+3i B．3?3i C．?3+3i【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，以及共軛復(fù)數(shù)的定義進行求解即可.【解答過程】因為z?i=4+3i【題型4虛數(shù)單位i的冪運算的周期性】【方法點撥】根據(jù)虛數(shù)單位i的冪運算的周期性，進行求解即可.【例4】已知i為虛數(shù)單位，則i20231?iA．?12+12i B．1【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法運算和乘方運算，進行化簡、整理，即可得答案．【解答過程】i2023【變式4-1】i2022=（A．?1 B．1 C．?i D．【解題思路】根據(jù)i的周期性，計算即可得到結(jié)果.【解答過程】因為i=i,【變式4-2】設(shè)i是虛數(shù)單位，則i+i2A．i+1 B．i?1 C．i【解題思路】利用in【解答過程】i+i2+i故選:B.【變式4-3】1+i1?iA．i B．?i C．22005 【解題思路】先利用復(fù)數(shù)除法化簡1+i1?i【解答過程】1+i【題型5解復(fù)數(shù)方程】【方法點撥】實系數(shù)一元二次方程的虛根是成對出現(xiàn)的，即若復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R，b≠0)是實系數(shù)一元二次方程的根，則其共軛復(fù)數(shù)a-bi是該方程的另一根，據(jù)此進行求解即可.【例5】已知復(fù)數(shù)1+i是關(guān)于x的方程x2+mx+2=0的一個根，則實數(shù)mA．?2 B．2 C．?4 D．4【解題思路】根據(jù)1+i是關(guān)于x的方程x【解答過程】因為1+i是關(guān)于x的方程x2+mx+2=0的一個根，所以(1+i)2+m(1+i)+2=0【變式5-1】已知復(fù)數(shù)1+i（i為虛數(shù)單位）為實系數(shù)方程x2+px+q=0的一根，則p+q=（A．4 B．2 C．0 D．?2【解題思路】將1+i代入方程中，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件即可求解.【解答過程】因為1+i是方程x2+px+q=0的根，所以∵p,q∈R，∴p+q=0且2+p=0【變式5-2】已知ω是方程x2+x+1=0的虛數(shù)根，則1+ω+ωA．0 B．±1 C．12±3【解題思路】由題設(shè)有ω2+ω+1=0且ω=?1±【解答過程】由題設(shè)ω2+ω+1=0，且而1+ω+ω2+?+所以原式等于12【變式5-3】若1+2i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2A．b=2，c=3 B．b=2，c=?C．b=?2，c=?3 D．b=?2，【解題思路】由一元二次方程求根公式即可建立方程組?b【解答過程】方程的根為x=?b±b2則有?b2=1【題型6四則運算下的復(fù)數(shù)概念】【方法點撥】先根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則進行化簡復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，進行求解即可.【例6】已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，1+z1+i是實數(shù)，則z=A．－i B．i C．－2i D．2i【解題思路】由題意設(shè)z=bi(b∈R)，代入1+z1+【解答過程】由題意設(shè)z=bi(b∈R因為1+z1+i是實數(shù)，所以b?1=0，得b=1，所以z=i【變式6-1】已知復(fù)數(shù)z滿足3+iz=4?2i，則復(fù)數(shù)zA．1?i B．1+i C．2+i【解題思路】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運算即可得到z，再由共軛復(fù)數(shù)的定義即可得到結(jié)果.【解答過程】因為復(fù)數(shù)z滿足3+iz=4?2i所以z=1+i【變式6-2】若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z1+i=3+4iA．?3 B．3 C．?2 D．2【解題思路】通過條件計算出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，即可得實部.【解答過程】z1+i=則z的實部為2.故選：D.【變式6-3】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=2i?2A．位于第一象限B．對應(yīng)的點為(2,?2)C．zD．是純虛數(shù)【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡z=4i【解答過程】由題意可得z=2i?2i=2i?2ii2=2i+2專題7.2復(fù)數(shù)的四則運算（重難點題型檢測）一．選擇題1．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，有下列命題：①?1的平方根只有i；②i是1的平方根；③若復(fù)數(shù)a+bia,b∈R是某一元二次方程的根，則a?bi一定是方程的另一個根；④若z為純虛數(shù)i，則A．3 B．2 C．0 D．1【解題思路】對于①②，根據(jù)平方根的定義即可判斷；對于③，舉反例即可排除；對于④，利用平方根的定義與復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)求得z=i【解答過程】對于①，?1的平方根有兩個，分別為i和?i，故①對于②，1的平方根是?1和1，故②錯誤；對于③，令a=1,b=0，則a+bi=1是方程x2+x?2=0的一個根，但方程x2+x?2=0的另一個根是對于④，設(shè)z=i的平方根為x+yix,y∈R，則故x2?y2=02xy=1，解得x=22y=22或x=?22y=?22，所以2．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為1,?2，則z?2z=（A．?1?6i B．C．1?6i D．【解題思路】由復(fù)數(shù)的坐標表示，共軛復(fù)數(shù)定義可得答案.【解答過程】由題意知z=1?2i，z3．已知復(fù)數(shù)z=1+3i3?mim∈A．3 B．1 C．?1 D．?3【解題思路】求出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再根據(jù)純虛數(shù)的概念列式計算.【解答過程】z=1+3i3?mi=1+3i故選：B.4．（3分）若復(fù)數(shù)z滿足z1+i=2i，則A．45 B．42 C．25【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)z，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的運算可得出z+i【解答過程】因為z1+i=2i，則所以，z+iz=1+5．已知z=1+i1?i?A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解題思路】利用復(fù)數(shù)的運算化簡復(fù)數(shù)z，可得其共軛復(fù)數(shù)z，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.【解答過程】因為i4=1，則i2022所以，z=1?i，因此，復(fù)數(shù)6．已知復(fù)數(shù)1?i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0p,q∈RA．4 B．5 C．22 D．【解題思路】將1?i代入方程，利用復(fù)數(shù)相等得到方程組解出p,q【解答過程】由題意可得1?i2+p所以p+q?p+2i=0，所以p+q=0p+2=0，解得故選：C.7．在復(fù)平面內(nèi)，O為原點，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若z1=1,?z3=?2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義及法則即可求解.【解答過程】因為O為原點，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，又因為z1所以由復(fù)數(shù)加法的幾何意義可得，z28．設(shè)fx=ax2+bx+c（a、b、c∈R）.已知關(guān)于x的方程fx=xA．方程只有虛根解，其中兩個是純虛根B．可能方程有四個實數(shù)根的解C．可能有兩個實數(shù)根，兩個純虛數(shù)根D．可能方程沒有純虛數(shù)根的解【解題思路】根據(jù)給定條件，設(shè)x=mi【解答過程】a,b,c∈R，f(x)=ax2+bx+c，關(guān)于x的方程f(x)=x有純虛數(shù)根，設(shè)純虛數(shù)根為x=mi(m∈R,m≠0)，則有f(mi方程f(x)=x化為x2+m方程f(f(x))=x化為：a2整理得(a2x2+2ax+因此方程f(f(x))=x有兩個純虛數(shù)根±m(xù)i而方程a2x2因此方程a2x2所以選項A正確，選項B，C，D均不正確.故選：A.二．多選題9．已知復(fù)數(shù)z=?1+2iiA．z=2?i B．C．z=5 【解題思路】先化簡復(fù)數(shù)z，然后求出z的共軛復(fù)數(shù)即可驗證選項AB，求出復(fù)數(shù)z的模驗證選項C，化簡選項D即可【解答過程】因為z=?1+2iiz的虛部為?1，故選項B錯誤；由z=22所以z=3?10．在復(fù)平面內(nèi)有一個平行四邊形OABC，點O為坐標原點，點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1=1+i，點B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2=1+2i，點A．點C位于第二象限 B．z1+z3=z【解題思路】由題意畫出圖形，求出C的坐標，得到z3，然后逐一分析【解答過程】解：如圖，由題意，O(0,0)，A(1,1)，B(1,2)，∵OABC為平行四邊形，則C(0,1)，∴z3=i，點z1+z3=1+i+z1z3=(1+i11．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1=a?2iA．zB．zC．若2z1D．若z2=?【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)運算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等等知識確定正確答案.【解答過程】A選項，z1=aC選項，2z1+若2z1+z2D選項，當(dāng)a=0時，z212．已知復(fù)數(shù)z1,z2是關(guān)于x的方程A．z1=z2 B．z1z2∈R【解題思路】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程得z1【解答過程】Δ=b2?4<0，∴x=?b±z1=zz1z2=1，∴z1b=1時，z1=?12+z22=z1三．填空題13．已知復(fù)數(shù)z=i+i2+i【解題思路】先利用等比數(shù)列的前n項和求出z=i?i【解答過程】z=i因為i4n=1,i所以i2023=?i，所以z=14．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若向量OA，OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1?i，?1+2i，則向量CD對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2?3i.【解題思路】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由OA?【解答過程】因為向量OA，OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1?i，?1+2i，所以O(shè)A?OB=15．已知m是實數(shù)，關(guān)于x的方程x2?m+2x+m2+3m+1=0的兩個虛數(shù)根為z1,【解題思路】根據(jù)Δ<0求出參數(shù)m的取值范圍，再由韋達定理及虛根成對原理求出z1，z2【解答過程】解：因為關(guān)于x的方程x2?m+2x+m2+3m+1=0則Δ=(m+2)2?4(m2+3m+1)=?3m2?8m<0，解得m>0或m<?83，所以于是m+222+1=m2+3m+1故答案為：?4±2716．以下四個命題中所有真命題的序號是（1）．（1）若z1、z2∈（2）若z1、z2∈（3）若z1、z2∈C，z1（4）若z1、z2∈C，z1【解題思路】設(shè)出復(fù)數(shù)z1、z2，由共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的運算即可判斷（1）、（2）；取特殊的復(fù)數(shù)z1【解答過程】設(shè)z1=a+bi,z=ac+bd+bc?ad對于（2），z1z12+2對于（3），取z1=i,z2=1+i，顯然滿足z對于（4），取z1=1+2i,z2=2+i，顯然滿足z故答案為：（1）.四．解答題17．計算：(1)1+2i(2)5i(3)a+bi【解題思路】（1）（2）（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運算法則即可求解；【解答過程】(1)解：1+2i(2)解：5i(3)解：a+bi18．如圖，向量OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)是z，分別作出下列運算的結(jié)果對應(yīng)的向量：（1）z+1；（2）z?i；（3）z+(?2+i).【解題思路】復(fù)數(shù)與以原點為起點的向量是一一對應(yīng)的，根據(jù)平行四邊形法則作出相應(yīng)向量即可.【解答過程】（1）復(fù)數(shù)1與復(fù)平面內(nèi)點A(1,0)一一對應(yīng)，利用平行四邊形法則作出所求向量，如圖所示：（2）復(fù)數(shù)?i與復(fù)平面內(nèi)點A(0,?1)一一對應(yīng)，利用平行四邊形法則作出所求向量，如圖所示：（3）復(fù)數(shù)?2+i與復(fù)平面內(nèi)點A(?2,1)一一對應(yīng)，利用平行四邊形法則作出所求向量如圖所示：19．已知復(fù)數(shù)z滿足z+z=8?4i，且z是關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程【解題思路】設(shè)z=a+bia,b∈R,根據(jù)條件