page12026學年北京市海淀區(qū)九年級上學期期中數(shù)學試題一、選擇題

1.一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）A.，， B.，， C.，， D.，，

2.銅鏡是中國古代藝術的燦爛瑰寶．下列銅鏡圖案中，是中心對稱圖形的是（

）A. B. C. D.

3.將拋物線向下平移個單位后得到的拋物線的解析式為（

）A. B. C. D.

4.物理學家巧妙地使用可旋轉的正八面棱鏡來測量光速，這種棱鏡的底面是一個正八邊形（如圖所示），該正八邊形繞其中心旋轉后能與自身重合，那么的值可能是（

）A. B. C. D.

5.如圖，在平面直角坐標系中，點的橫、縱坐標均為整數(shù)，可由繞點旋轉得到，則點的坐標是（

）A. B. C. D.

6.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A. B. C. D.

7.隨著科技的飛速發(fā)展，新能源汽車越來越多地走進人們的生活．北京市新能源汽車保有量從年的萬輛到年的萬輛，呈現(xiàn)出逐年增加的趨勢．設新能源汽車的保有量從年到年的年平均增長率為，則下面所列方程正確的是（

）A. B. C. D.

8.如圖，邊長為的等邊繞它的中心順時針旋轉得到分別與交于點．給出下面三個結論：①的長隨的增大而增大；②的取值范圍是；③當時，．上述結論中，所有正確結論的序號是（

）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③二、填空題

9.在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是____________．

10.請寫出一個一元二次方程，使它的兩個根互為相反數(shù)_________．

11.在平面直角坐標系中，若點和點在二次函數(shù)的圖象上，則_________________（填“”“”或“”）．

12.若關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為________．

13.如圖，在平面直角坐標系中，點．將線段繞點順時針旋轉得到線段，則點的坐標為_________________．

14.二次函數(shù)的與的部分對應值如下表：…………則關于的一元二次方程的解是_________________．

15.如圖，在菱形中，，．將一塊邊長足夠長的三角板的角頂點與點重合，三角板的外側邊緣分別與，交于點，，則四邊形的面積是_________________．

16.對任意實數(shù)，可用表示不超過的最大整數(shù)，如．稱函數(shù)為“漣漪函數(shù)”．當時，若，則的取值范圍是_________________；當時，“漣漪函數(shù)”與軸共有_________________個公共點．三、解答題

17.解方程：．

18.如圖，在中，為上一點，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接．求證：．

19.已知是方程的一個根，求代數(shù)式的值．

20.已知拋物線與軸的交點為，拋物線的對稱軸為直線．（1）求拋物線的表達式；（2）直接寫出拋物線的頂點坐標，并在平面直角坐標系中畫出拋物線；（3）當時，直接寫出的取值范圍．

21.已知：關于的一元二次方程．（1）求證：無論取任何實數(shù)，此方程總有實數(shù)根；（2）若方程有一個根大于，求的取值范圍．

22.在平面直角坐標系中，已知點，將線段繞點旋轉得到線段（是點的對應點）．（1）在平面直角坐標系中畫出線段；（2）若點在線段上，是點關于點的對稱點．①當點與點重合時，的面積等于___________；②的面積的取值范圍是___________．

23.某科技團隊研發(fā)的機器人能夠進行舞蹈表演，其表演隊形隨音樂節(jié)奏動態(tài)調整．在一次表演中，開場階段參加表演的所有機器人整齊排列，組成一個正方形方陣．當音樂推進至高潮部分，表演隊形發(fā)生變化，首先有個機器人出列，在舞臺的最前方擔任領舞，其余機器人則迅速調整站位組成一個長方形方陣．該長方形方陣的列數(shù)比原來的倍少，行數(shù)比原來少．求此次參加表演的機器人的總個數(shù)．

24.已知拋物線與軸正半軸交于點，頂點為．（1）求直線的表達式；（2）過點作軸的垂線，交拋物線于點，交直線于點，當?shù)拈L為時，直接寫出的值．

25.小君在課后探究學習中遇到一個函數(shù)．她類比二次函數(shù)對其進行探究，請回答下列問題：（1）函數(shù)的自變量的取值范圍是___________；（2）小君寫出該函數(shù)與的部分對應值如下表：…………①的值為___________；②小君發(fā)現(xiàn)該函數(shù)的圖象關于軸對稱，并用軟件畫出了該函數(shù)在時的圖象，請在平面直角坐標系中補全該函數(shù)的圖象；（3）寫出方程最小的解的近似值：___________（精確到）；（4）過點作垂直于軸的直線，若直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，則的取值范圍是___________．

26.在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和點．（1）當時，比較的大小，并說明理由；（2）當時，隨的增大而減小，且的最大值與最小值的差為，求的最小值．

27.在正方形中，點在射線上，連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，過點作，交直線于點．（1）如圖，點與點重合，若，求的長；（2）如圖，點在的延長線上，用等式表示，和的數(shù)量關系，并證明．

28.在平面直角坐標系中，對于圖形和直線，給出如下定義：將圖形繞點順時針旋轉得到圖形，再將圖形關于直線對稱，得到圖形，則稱圖形為圖形的“變換圖形”（1）已知點，，圖形為線段．①當直線為軸時，圖形的“變換圖形”為，則以下說法正確的是___________；．圖形與圖形關于原點中心對稱

．圖形與圖形關于軸對稱．圖形與圖形關于直線對稱

．圖形與圖形關于直線對稱②當直線為時，若圖形的“變換圖形”與軸負半軸有公共點，直接寫出的取值范圍；（2）已知正方形的頂點坐標分別為，長為的線段（點在點左側）在直線上，且點的橫坐標為，直線由直線繞點逆時針旋轉得到．若線段的“變換圖形”與正方形有公共點，直接寫出的取值范圍．

參考答案與試題解析2025-2026學年北京市海淀區(qū)九年級上學期期中數(shù)學試題一、選擇題1.【答案】D【考點】一元二次方程的定義【解析】利用一元二次方程的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知只有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項的最高系數(shù)為的方程為一元二次方程．【解答】解：一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是，，，

故選2.【答案】B【考點】中心對稱圖形【解析】本題主要考查了中心對稱圖形，把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．根據(jù)中心對稱圖形的定義進行逐項判斷即可．【解答】解：．不是中心對稱圖形，不符合題意；．是中心對稱圖形，符合題意；．不是中心對稱圖形，不符合題意；．不是中心對稱圖形，不符合題意．故選：．3.【答案】D【考點】二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律【解析】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移法則“左加右減，上加下減”，按照題意求出表達式即可得到答案，熟練掌握求函數(shù)圖象平移的方法是解決問題的關鍵．【解答】解：將拋物線向下平移個單位后得到的拋物線的解析式為．故選：4.【答案】C【考點】求旋轉對稱圖形的旋轉角度【解析】本題考查旋轉對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角．根據(jù)旋轉角及旋轉對稱圖形的定義結合圖形特點作答．【解答】解：，該圖形繞中心至少旋轉度后能與自身重合，即．故選：．5.【答案】A【考點】求繞某點（非原點）旋轉90度的點的坐標找旋轉中心、旋轉角、對應點【解析】本題主要考查圖形的旋轉變換．利用網(wǎng)格特點，作和的垂直平分線，它們相交于點，然后寫出點坐標即可．【解答】解：如圖，可由繞點順時針旋轉得到，所以旋轉中心的坐標為．故選：．6.【答案】D【考點】根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子符號拋物線與x軸的交點【解析】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)的性質、靈活運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．根據(jù)拋物線開口方向、與軸交點位置、對稱軸、與軸的交點逐一判斷可得答案．【解答】解：、由拋物線開口向上知，此選項錯誤；、由拋物線與軸交于負半軸知，則，此選項錯誤；、由拋物線的對稱軸位置得，此選項錯誤；、由拋物線與軸有兩個交點，即關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則，此選項正確．故選：．7.【答案】D【考點】一元二次方程的應用——增長率問題【解析】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．根據(jù)年平均增長率的定義，每年增長相同的比例，故年的保有量等于年的保有量乘以．【解答】解：設年平均增長率為，年保有量為萬輛，年保有量為萬輛，年保有量為萬輛，又年保有量為萬輛，．故選：．8.【答案】A【考點】根據(jù)旋轉的性質求解含30度角的直角三角形等邊三角形的性質全等的性質和HL綜合（HL）【解析】如圖，連接，過點作，在等邊三角形中得，，，從而得出，，，勾股定理求出，如圖，連接，過點作，則，根據(jù)旋轉可得，是等邊三角形，，證明，得出，，連接，再證明，得出，當增大時，逐漸減小，此時，從而得出在逐漸變小，根據(jù)是定值，得出逐漸減小，逐漸增大，即可判斷①；當旋轉到時，，即點與點重合，點與點重合，此時，則，即可判斷②；當時，，則，，，得出為等腰直角三角形，從而得，即可求出，從而判斷③．【解答】解：如圖，連接，過點作，是等邊三角形，，點是的中心，，，，，，如圖，連接，過點作，，根據(jù)旋轉可得，是等邊三角形，，，，，，，，，連接，，，，當增大時，逐漸減小，此時，在逐漸變小，在逐漸變小，是定值，逐漸減小，，逐漸增大，故①正確；當旋轉到時，，即點與點重合，點與點重合，此時，，②正確；當時，，，，，為等腰直角三角形，，，③錯誤，故選：．二、填空題9.【答案】【考點】關于原點對稱的點的坐標【解析】根據(jù)關于原點對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標互為相反數(shù)，可得答案．【解答】解：點關于原點對稱的點的坐標是，故答案為：．10.【答案】答案不唯一．如：．【考點】一元二次方程的解解一元二次方程-直接開平方法【解析】由題意知：一個能直接開平方的式子就可以完成本題．【解答】解：，，，故答案為等．11.【答案】【考點】y=a（x-h）2的圖象和性質【解析】本題考查了二次函數(shù)的性質，比較函數(shù)值的大小，把函數(shù)值求出來是解題的關鍵．通過將點的橫坐標代入二次函數(shù)解析式，分別求出和的值，再比較大小．【解答】解：對于點，代入，得；對于點，代入得．因為，所以．故答案為：<．12.【答案】【考點】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【解析】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根．根據(jù)判別式的意義得到，然后解一次方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得，

解得．

故答案為13.【答案】【考點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）求繞某點（非原點）旋轉90度的點的坐標【解析】本題考查了坐標與圖形，全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質，旋轉的性質是解題的關鍵．過點作軸于點，證明，再利用全等三角形的對應邊相等求解．【解答】解：點，，過點作軸于點，則由旋轉得，，，，，，，故答案為：．14.【答案】【考點】已知拋物線上對稱的兩點求對稱軸根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應方程根的情況【解析】本題考查了二次函數(shù)的對稱性及與一元二次方程的關系，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性及與一元二次方程的關系是本題解題關鍵．根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解對稱軸為直線，結合當時，，再進一步作答即可．【解答】解：根據(jù)題意得：點，均在二次函數(shù)的圖象上，二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，由表格信息可得：當時，，點關于對稱軸的對稱點為點，關于的方程的解是．故答案為：．15.【答案】【考點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）利用菱形的性質求線段長等邊三角形的性質與判定【解析】本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質，連接，過點作于，由菱形的性質可得，，則與均為等邊三角形，證明，得出，從而可得，由此計算即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．【解答】解：如圖：連接，過點作于，，四邊形為菱形，，，，，與均為等邊三角形，，，，，，，，，，，，，故答案為：．16.【答案】,【考點】拋物線與x軸的交點新定義下的實數(shù)運算二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象和性質【解析】本題依托漣漪函數(shù)考查對整數(shù)的理解和二次函數(shù)與方程的轉化，解題的關鍵是熟悉二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系，由條件得，根據(jù)取整函數(shù)定義求解；根據(jù)已知得到函數(shù)為，令，將方程化為，結合求解的取值，從而確定公共點個數(shù)．【解答】解：（1）當時，函數(shù)為，，，．根據(jù)取整函數(shù)定義，表示不超過的最大整數(shù)為，因此的取值范圍是，故答案為：．當時，函數(shù)為．令，得．設，則為整數(shù)，且．則方程化為，即．由于，故，即．那么，解得，．解不等式，即，故．此時，滿足．因此函數(shù)與軸有一個公共點．故答案為：三、解答題17.【答案】【考點】解一元二次方程-因式分解法【解析】本題主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可．【解答】解：或，18.【答案】見詳解【考點】根據(jù)旋轉的性質求解全等的性質和SAS綜合（SAS）【解析】該題考查了旋轉的性質，全等三角形的性質和判定，根據(jù)旋轉可得，證明，根據(jù)全等三角形的性質即可證明．【解答】證明：根據(jù)旋轉可得，，，，，，．19.【答案】【考點】運用平方差公式進行運算已知式子的值，求代數(shù)式的值運用完全平方公式進行運算【解析】本題考查了一元二次方程的根，根據(jù)一元二次方程根的定義可得出，然后把化簡為，最后把整體代入計算即可．【解答】解：是方程的一個根，，．20.【答案】（1）；（2）它的頂點坐標為；圖見解析（3）．【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象和性質二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象的畫法【解析】（1）利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式，再運用配方法將原解析式化為頂點式即可；（2）根據(jù)所得的頂點式，利用五點作圖法直接畫出圖象即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象確定當時對應的的取值范圍即可．【解答】（1）解：由題意得，解得，二次函數(shù)的解析式為；（2）解：；它的頂點坐標為；列表如下：圖象如圖所示：；（3）解：當時，的最大值為，由圖象可得，當時，．21.【答案】（1）見解析；（2）．【考點】根的判別式解一元二次方程-公式法【解析】（1）利用根的判別式證明即可；（2）求出方程兩根，，因為方程有一個根大于，所以，解得：【解答】解：（1）證明：，無論取任何實數(shù)，此方程總有實數(shù)根．（2）解：由知，，，，方程有一個根大于，，解得：22.【答案】（1）見詳解①；②【考點】畫已知圖形關于某點對稱的圖形關于原點對稱的點的坐標三角形的面積【解析】（1）根據(jù)中心對稱作圖即可．（2）①根據(jù)的面積解答即可．②根據(jù)題意的面積，，，即可求出的面積最大值和最小值，即可解答．【解答】（1）解：如圖，線段即為所求．（2）解：①當點與點重合時，如圖，此時則的面積；②根據(jù)題意的面積，點在線段上，是點關于點的對稱點，，，的面積，則的面積最大，最小，的面積的取值范圍是．23.【答案】個【考點】一元二次方程的應用——其他問題【解析】本題主要考查一元二次方程的應用，根據(jù)題意設原正方形方陣每邊有個機器人，則總數(shù)為．進一步得到出列后剩余機器人數(shù)為．結合長方形方陣的列數(shù)和行數(shù)的變化列出等式求解，根據(jù)長方形的邊長排除不合理根即可．【解答】解：設原正方形方陣每邊有個機器人，則總數(shù)為．出列個機器人后，剩余機器人數(shù)為．長方形方陣的列數(shù)為，行數(shù)為．根據(jù)題意，有，化簡得，，解得或，時，行數(shù)（不合理），．總機器人數(shù)為．答：此次參加表演的機器人的總個數(shù)為24.【答案】（1）（2）的值為或【考點】求一次函數(shù)解析式y(tǒng)=a（x-h）2+k的圖象和性質二次函數(shù)綜合——線段周長問題【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質求出點和點，設直線為，進行代入求解即可；（2）根據(jù)題意將點和點表達出來，再根據(jù)的長為進行求解即可．【解答】（1）解：拋物線的解析式為：，頂點坐標為，點坐標為，當時，解得，拋物線與軸正半軸交于點，點為，設直線為，將點和點代入得，，解得，直線的表達式為；（2）解：過點作軸的垂線，交拋物線于點，點為，過點作軸的垂線，交直線于點，點為，為，的長為，，，當時，解得或，當時，（無實數(shù)解）．的值為或．25.【答案】所有實數(shù)①；②見解析或【考點】圖象法求一元二次方程的近似根根據(jù)交點確定不等式的解集函數(shù)值函數(shù)自變量的取值范圍【解析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式可知自變量的取值范圍是任意實數(shù)；（2）①把代入解析式計算即可；②根據(jù)表格中數(shù)據(jù)描點連線即可得出該函數(shù)圖象；（3）利用圖象求解即可；（4）根據(jù)配方法可求出，則當，即時，有最小值為，然后利用函數(shù)圖象求解即可．【解答】（1）解：函數(shù)的自變量的取值范圍是所有實數(shù)，故答案為：所有實數(shù)；（2）解：①當時，，故答案為：；②補圖如下：；（3）解：令，如下圖所示：方程最小的解接近，當時，；當時，；當時，，由圖象可知：方程最小的解的近似值，故答案為：；（4）解：，當，即時，有最小值為，如圖，由圖象可知，當或時，直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，故答案為：或．26.【答案】（1）（2）的最小值為【考點】二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象和性質【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；（2）先求得對稱軸為直線，再分當時，當時，兩種情況討論，根據(jù)拋物線的開口方向，進而求解．【解答】（1）解：拋物線經(jīng)過點和點，且，，，；（2）解：對稱軸為直線，當時，隨的增大而減小，分兩種情況討論：當時，拋物線開口向上，要使時，隨增大而減小，則對稱軸；當時，拋物線開口向下，要使時，隨增大而減小，則對稱軸；當時：拋物線開口向上，對稱軸，在時，隨增大而減小，當時，有最大值，；當時，有最小值，；則，，當時，取得最小值，；當時：拋物線開口向下，對稱軸，在時，隨增大而減小，當時，有最大值，；當時，有最小值，；則，，當時，取得最小值，，，的最小值為27.【答案】（1）（2），證明見詳解【考點】根據(jù)正方形的性質證明根據(jù)旋轉的性質求解全等三角形的應用勾股定理的應用【解析】（1）根據(jù)四邊形為正方形，得出，根據(jù)旋轉可得，，從而得，證明為等腰直角三角形，四邊形是矩形，得出，即可得．（2）連接，延長到點，使得，連接，過點作于點，根據(jù)四邊形為正方形，得出，從而得，，根據(jù)旋轉可得，，則，證明，得出，證明為等腰直角三角形，四邊形為矩形，得出，即可得，從而得出．【解答】（1）解：四邊形為正方形，，根據(jù)旋轉可得，，，，于，為等腰直角三角形，四邊形是矩形，，，．（2）解：連接，延長到點，使得，連接，過點作于點，四邊形為正方形，，，，根據(jù)旋轉可得，，，，，，，，，，，，，，，為等腰直角三角形，四邊形為矩形，，，．28.【答案】①；②（2）或【考點】坐標與圖形變化-對稱解直角三角形的相關計算【解析】（1）①將線段繞點順時針旋轉得到線段