2020-2021中考數(shù)學平面圖形的認識（二）壓軸解答題(含答案)一、平面圖形的認識（二）壓軸解答題1．已知ABC，P是平面內任意一點（A、B、C、P中任意三點都不在同一直線上）.連接PB、PC，設∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y(tǒng)°.（1）如圖，當點P在ABC內時，①若y＝70，s＝10，t＝20，則x＝________；②探究s、t、x、y之間的數(shù)量關系，并證明你得到的結論.（2）當點P在ABC外時，直接寫出s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關系，并畫出相應的圖形.2．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，DE⊥DC交AB于E.（1）求證：DE平分∠ADB；（2）若∠ABD的平分線與CD的延長線交于F，設∠F=α.①若α＝50°，求∠A的值；②若∠F＜，試確定α的取值范圍.3．如圖1，已知點A，點D在BC上方，過點A，D分別作CD，AB的平行線，兩條平行線交于點M(點M在BC下方)，且與BC分別交于E，F(xiàn)兩點，連結AD。（1）∠BAM與∠CDM相等嗎？請說明理由。（2）根據(jù)題中條件，判斷∠AEF，∠DFE，∠BAE三個角之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖2，Q是AD下方一點，連結AQ，DQ，且∠DAQ=∠BAD，∠ADQ=∠ADC，若∠AQD=112°，請直接寫出∠BAE的度數(shù)。4．己知AB∥CD，點E在直線AB，CD之間。（1）如圖①，試說明：∠AEC=∠BAE+∠ECD；（2）若AH平分∠BAE，將線段CE沿射線CD平移至FG。①如圖②，若∠AEC=90°，F(xiàn)H平分∠DFG，求∠AHF的度數(shù)；②如圖③，若FH平分∠CFG，試判斷∠AHF與∠AEC的數(shù)量關系并說明理由。5．如圖，在中，，點D在上，又在的垂直平分線l上，點E在的延長線上，點F在上，.（1）試說明：.（2）若平分，求的度數(shù).6．課題學習：平行線的“等角轉化功能.（1）問題情景：如圖1，已知點是外一點，連接、，求的度數(shù).

天天同學看過圖形后立即想出：，請你補全他的推理過程.解：（1）如圖1，過點作，∴________，________.又∵，∴.解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉化”功能，將，，“湊”在一起，得出角之間的關系，使問題得以解決.（2）問題遷移：如圖2，，求的度數(shù).（3）方法運用：如圖3，，點在的右側，，點在的左側，，平分，平分，、所在的直線交于點，點在與兩條平行線之間，求的度數(shù).7．對于平面內的∠M和∠N，若存在一個常數(shù)k＞0，使得∠M＋k∠N＝360°，則稱∠N為∠M的k系補周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，則∠N為∠M的6系補周角．

（1）若∠H＝120°，則∠H的4系補周角的度數(shù)為________；（2）在平面內AB∥CD，點E是平面內一點，連接BE，DE．①如圖1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系補周角，求∠B的度數(shù)；②如圖2，∠ABE和∠CDE均為鈍角，點F在點E的右側，且滿足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n為常數(shù)且n＞1），點P是∠ABE角平分線BG上的一個動點，在P點運動過程中，請你確定一個點P的位置，使得∠BPD是∠F的k系補周角，并直接寫出此時的k值（用含n的式子表示）．8．請閱讀小明同學在學習平行線這章知識點時的一段筆記，然后解決問題.小明:老師說在解決有關平行線的問題時，如果無法直接得到角的關系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個“美味”的模型一“豬蹄模型”.即已知:如圖1，，為、之間一點，連接，得到.求證:小明筆記上寫出的證明過程如下:證明:過點作，∴∵，∴∴.∵∴請你利用“豬蹄模型”得到的結論或解題方法，完成下面的兩個問題.（1）如圖，若，，則________.（2）如圖，，平分，平分，，則________.9．如圖，三角形ABC，直線，CD、BD分別平分和．（1）圖中，，，求的度數(shù)，說明理由．（2）圖中，，直接寫出________．（3）圖中，，________．10．如圖，在△ABC中，點E和點F在邊BC上，連接AE，AF，使得∠EAC=∠ECA，∠BAE=2∠CAF．（1）如圖1，求證：∠BAF=∠BFA；（2）如圖2，在過點C且與AE平行的射線上取一點D，連接DE，若∠AED=∠B，求證：BE=CD；

11．AB∥CD，C在D的右側，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直線交于點E．∠ADC＝70°．（1）求∠EDC的度數(shù)；（2）若∠ABC＝30°，求∠BED的度數(shù)；（3）將線段BC沿DC方向移動，使得點B在點A的右側，其他條件不變，若∠ABC＝n°，請直接寫出∠BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）．12．已知直線AB//CD,P是兩條直線之間一點，且AP⊥PC于P.

（1）如圖1,求證：∠BAP+∠DCP=90°；（2）如圖2，CQ平分∠PCG,AH平分∠BAP,直線AH、CQ交于Q,求∠AQC的度數(shù)；【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、平面圖形的認識（二）壓軸解答題1．（1）100;解：②結論：x=y+s+t.理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t.（2）解：s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關系：如圖1：s+x=t+y；如圖2：s+y=t+x；如圖3：y=x+s+t；如圖4：x+y+s+t=360°；如圖5：t=s+x+y；如圖6：s=t+x+y；【解析】【解答】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案為：100.【分析】（1）①利用三角形的內角和定理即可解決問題；②結論：x=y+s+t.利用三角形內角和定理即可證明；（2）分6種情形分別求解即可解決問題.2．（1）證明：∵AD∥BC，∴,∵DE⊥DC交AB于E，∴∴,∴∵∠BDC=∠BCD，∴,∴DE平分∠ADB；（2）解：①∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180，∵DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD，∴∠ADE=∠EDB，∴∠EDB+∠BDC=90°，∴∠DEC+∠DCE=90°，∵∠FBD+∠BDE=90°-∠F=90°-50°=40°,∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，∴∠ADB+∠ABD=2(∠FBD+∠BDE)=80°,∴∠A=180°-（∠ADB+∠ABD）=180°-80°=100°；②由①知∠FBD+∠BDE=90°-∠F，∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，∴∠ADB+∠ABD=2(∠FBD+∠BDE)=2（90°-∠F），又∵在四邊形ABCD中，AD//BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB=2（90°-∠F），即∠ABC=2（90°-∠F），又∵∠F＜，∴∠F＜×2（90°-∠F），∴0°＜∠F＜45°，∵∠F=α，∴0°＜α＜45°.【解析】【分析】（1）由AD∥BC可得同旁內角，由DE⊥DC可得，再根據(jù)已知∠BDC=∠BCD，進而可得，即可證DE平分∠ADB；（2）①根據(jù)AD∥BC，可得∠ADC+∠BCD=180，根據(jù)DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD，易得∠ADE=∠EDB，∠EDB+∠BDC=90°，∠DEC+∠DCE=90°，根據(jù)外角和定理等可得∠FBD+∠BDE=90°-∠F=90°-50°=40°,又因為DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，從而可得∠ADB+∠ABD=2(∠FBD+∠BDE)=80°,根據(jù)三角形內角和定理繼而即可取出∠A的值；②由①知∠FBD+∠BDE=90°-∠F，根據(jù)DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，易得∠ADB+∠ABD=2(∠FBD+∠BDE)=2（90°-∠F），根據(jù)AD//BC的性質可得∠DBC=∠ADB，∠ABC=2（90°-∠F），依據(jù)∠F＜，可得不等式∠F＜×2（90°-∠F），解即可得∠F即α的取值范圍.3．（1）解：∠BAM=∠CDM.理由：∵AB∥DM，∴∠BAM=∠M，

∵CD∥AM，∴∠CDM=∠M∴∠BAM=∠CDM.（2）三個角的數(shù)量關系為：∠AEF-∠BAE+∠DFE=180°理由：過點A作AH∥BC，∴∠HAB=∠B，∠HAE=∠HAB+∠BAE=∠AEF，∴∠B+∠BAE=∠AEF即∠B=∠AEF-∠BAE∵AB∥DM，∴∠B+∠DFE=180°，∴∠AEF-∠BAE+∠DFE=180°.（3）24°【解析】【解答】（3）過點Q作QN∥AB由（1）可知∠M=∠BAE=∠CDM，

∵AB∥DM∴AB∥DM∥QN∴∠1+∠BAE=∠AQN，∠2=∠DQN∴∠AQD=∠AQN+∠DQN=∠1+∠2=∠1+∠2+∠M=∠1+∠2+∠BAE=112°∵∠DAQ=∠BAD，∠ADQ=∠ADC∴∠BAD=3∠DAQ，∠ADC=3∠ADQ，∵∠DAQ+∠ADQ=180°-112°=68°∴3∠DAQ+3∠ADQ=3×68°=204°，即∠BAD+∠ADC=204°，∴∠BAE+∠1+∠QAD+∠ADQ+∠2+∠CDF=204°∴∠BAE+∠1+∠QAD+∠ADQ+∠2+∠CDF=204°∴（∠1+∠2+∠BAE）+（∠QAD+∠ADQ）+∠BAE=204°∴112°+68°+∠BAE=204°解之：∠BAE=24°.【分析】（1）利用平行線的性質，可證得∠BAM=∠M，∠CDM=∠M，再利用等量代換可證得結論。（2）過點A作AH∥BC，利用平行線的性質，可證得∠HAB=∠B，∠HAE=∠HAB+∠BAE=∠AEF，由此可推出∠B=∠AEF-∠BAE，再利用兩直線平行，同旁內角互補，可證得∠B+∠DFE=180°，代入將兩式結合，可證得∠AEF，∠DFE，∠BAE三個角之間的數(shù)量關系。（3）由（1）可知∠M=∠BAE=∠CDM，過點Q作QN∥AB，易證AB∥DM∥QN，利用平行線的性質，推出∠1+∠2+∠BAE=112°，利用三角形內角和定理求出∠DAQ+∠ADQ=68°，再利用已知∠DAQ=∠BAD，∠ADQ=∠ADC，可證得∠BAD+∠ADC=204°，將其轉化為（∠1+∠2+∠BAE）+（∠QAD+∠ADQ）+∠BAE=204°，然后整體代入可求出∠BAE的度數(shù)。4．（1）解：如圖①【法1】過點E作直線EK∥AB因為AB∥CD，所以EK∥CD所以∠BAE=∠AEK，∠DCE=∠CEK所以∠AEC=∠AEK+∠CEK=∠BAE+∠ECD【法2】連接AC，則∠BAC+∠DCA=180°則∠BAC+∠DCA=180°即∠BAE+∠EAC+∠ECA+∠ECD=180°所以∠BAE+∠ECD=180°-(∠EAC+∠ECA)=∠AEC即∠AEC=∠BAE+∠ECD（2）解：①【法1】因為AH平分∠BAE，F(xiàn)H平分∠DFG，所以∠BAH=∠EAH，∠DFH=∠GFH又因為FG∥CE，所以∠GFD=∠ECD由(1)知，∠AHF=∠BAH+∠DFH=∠BAE+∠DFG=∠BAE+∠DCE=（∠BAE+∠DCE)=∠AEC=×90°=45°【法2】因為AH平分∠BAE，所以∠BAH=∠EAH因為HE平分∠DFG，設∠GFH=∠DFH=x又CE∥FG，所以∠ECD=∠GFD=2x又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°所以∠BAH=∠EAH=45°-x由(1)知，易證∠AHF=∠BAH+∠DFH=45°-x+x=45°②【法1】因為AH平分∠BAE，F(xiàn)H平分∠CFG，所以∠BAH=∠EAH，∠CFH=∠GFH又因為FG∥CE，所以∠GFD=∠ECD由(1)知，∠AHF=∠BAH+∠DFH=∠BAE+∠GFH+∠GFD=∠BAE+∠CFG+∠GFD=∠BAE+∠(180°-∠GFD)+∠GFD=90°+

(∠BAE+∠GFD)=90°+(∠BAE+∠ECD)=90+∠AEC【法2】設∠BAH=∠EAH=x，∠CED=y，則∠GFD=y因為HF平分∠CFG，所以∠GFH=∠CFH=90°-由(1)知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y∠AHF=∠BAH+∠DFH=∠BAH+∠DFG+∠GFH=x+y+90°-=x++90°=(2x+y)+90°=∠AEC+90°所以∠AHF=∠AEC+90°(或2∠AHF=∠AEC+180°或2∠AHF-∠AEC=180°)【解析】【分析】（1）過點E作直線EK∥AB，根據(jù)平行線的性質即可求解；也可連接AC，根據(jù)平行線的性質和三角形內角和定理求解；（2）①根據(jù)（1）的結論可得∠AHF=∠BAH+∠DFH，再結合平行線的性質和角平分線的定義表示出∠AHF，即可求解；也可設∠GFH=∠DFH=x，則∠BAH=45°-x，再根據(jù)∠AHF=∠BAH+∠DFH求解；②根據(jù)（1）的結論可得∠AHF=∠BAH+∠DFH，結合角平分線的定義將∠AHF用∠AEC表示出來；也可設∠BAH=∠EAH=x，∠CED=∠GFD=y，則有∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y，再結合∠AHF=∠BAH+∠DFH即可求解.5．（1）解：∵點在的垂直平分線l上，∴，∴，在和中，，，，∴（2）解：∵，∴，∵平分，，∴，∴，∵，∴，由（1）知，，∴，∵，∴【解析】【分析】（1）利用垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可證得AD=CD；再利用等邊對等角可證得∠DAC=∠DCA；然后利用SAS可證得結論。（2）利用等邊對等角可證得∠ABC=∠ACB，利用角平分線的定義去證明∠ACD=∠DAC=∠BCD；再求出△ABC的三個內角的度數(shù)，利用全等三角形的性質就可求出∠ABF=∠CAE=∠DAE+36°；然后利用∠ABC=72°，可求出∠ABF+∠FBC的值。6．（1）∠EAB；∠DAC（2）解：過C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE∥AB，∴∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，∴∠B+∠BCD+∠D=360°，（3）解：如圖3，過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，∴∠ABE=∠ABC=30°，∠CDE=∠ADC=35°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．【解析】【解答】解：（1）根據(jù)平行線性質可得：因為，所以∠EAB，∠DAC；【分析】（1）根據(jù)平行線性質“兩直線平行，內錯角相等”可得∠B+∠BCD+∠D∠BCF+∠BCD+∠DCF；（2）過C作CF∥AB，根據(jù)平行線性質可得；（3）如圖3，過點E作EF∥AB，根據(jù)平行線性質和角平分線定義可得∠ABE=∠ABC=30°，∠CDE=∠ADC=35°，故∠BED=∠BEF+∠DEF.7．（1）60°（2）解：①如圖，過點E作EF//AB，∵AB//EF,∴EF//CD，∴∠B=∠1,∠D=∠2，∴∠1+∠2=∠B+∠D，即∠BED=∠B+∠D，∵∠BED+3∠B=360°，∠D＝60，∴，解得：∠B=75°，∴∠B=75°；②預備知識，基本構圖：如圖，AB//CD//EF,則∠ABE+∠BEG=180°，∠DCE+∠GEC=180°，∴∠ABE+∠BEG+∠DCE+∠GEC=360°，即∠ABE+∠DCG+∠BEC=360°如圖：當BG上的動點P為∠CDG的角平分線與BG的交點時，滿足∠BPD是∠F的k系補周角，此時k=2n.理由如下：若∠BPD是∠F的k系補周角，則∠F+k∠BPD=360°，∴k∠BPD=360°-∠F又由基本構圖知：∠ABF+∠CDF=360°-∠F，∴k∠BPD=∠ABF+∠CDF，又∵∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE，∴k∠BPD=n∠ABE+n∠CDE，∵∠BPD=∠PHD+∠PDH,∵AB//CD，PG平分∠ABE，PD平分∠CDE，∴∠PHD=∠ABH=,∠PDH=，∴(+)=n(∠ABE+∠CDE)，∴k=2n.【解析】【解答】解：（1）設∠H的4系補周角的度數(shù)為x，則有120°+4x=360°，解得：x=60°∴∠H的4系補周角的度數(shù)為60°；【分析】（1）直接利用k系補周角的定義列方程求解即可．（2）①依據(jù)k系補周角的定義及平行線的性質，建立∠BED、∠B、∠D的關系式求解即可.②結合本題的構圖特點，利用平行線的性質得到：∠ABF+∠CDF+∠F=360°,結合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n為常數(shù)且n＞1），又由于點P是∠ABE角平分線BG上的一個動點，通過構造相同特殊條件猜想出一個滿足條件的P點，再通過推理論證得到k的值（含n的表達式），即說明點P即為所求.8．（1）240°（2）51°【解析】【解答】（1）解：作EM∥AB，F(xiàn)N∥CD，如圖，AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD，∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF+180°，∵，∴∠B+∠CFE+∠C=60°+180°=240°；（2）解：如圖，分別過G、H作AB的平行線MN和RS，∵平分，平分，∴∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥RS∥MN，∴∠RHB=∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°，∴∠BHC=180°-∠RHB-∠SHC=180°-(∠ABG+∠DCG)，∠BGC=180°-∠NGB-∠MGC=180°-(180°-∠ABG)-(180°-∠DCG)=∠ABG+∠DCG-180°，∴∠BGC=360°-2∠BHC-180°=180°-2∠BHC，又∵∠BGC=∠BHC+27°，∴180°-2∠BHC=∠BHC+27°，∴∠BHC=51°．【分析】（1）作EM∥AB，F(xiàn)N∥CD，如圖，根據(jù)平行線的性質得AB∥EM∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，然后利用等量代換計算∠B+∠F+∠C；（2）分別過G、H作AB的平行線MN和RS，根據(jù)平行線的性質和角平分線的性質可用∠ABG和∠DCG分別表示出∠H和∠G，從而可找到∠H和∠G的關系，結合條件可求得∠H．9．（1）解：，，如圖1過D點作，，，，，即又、BD分別平分和．，同理（2）（3）【解析】【解答】如圖2過D點作，，，，，即又、BD分別平分和．，同理，，，即，，，，，故答案為．如圖3過D點作，，，，，即又、BD分別平分和．，同理，，，即，，，，，故答案為．【分析】（1）過點作，根據(jù)平行線的性質，得出，，則，再根據(jù)