解析幾何：阿波羅尼斯圓問(wèn)題、卡西尼卵形線問(wèn)題、曼哈頓距離問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練

題型一阿波羅尼斯圓問(wèn)題

1.(24-25高二上·廣東廣州·階段練習(xí))古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值λ(λ≠1)的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的

名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2,0)，B(4,0)．點(diǎn)P滿

足，設(shè)點(diǎn)P所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論不正確的是()

A.C的方程為(x+4)2+y2=16

B.在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)(1,1)的距離為3

C.在C上存在點(diǎn)M，使得|MO|=2|MA|

D.C上至少3個(gè)點(diǎn)到直線l:y=x+b的距離等于1，則-32+4≤b≤32+4

2.(24-25高二上·貴州·階段練習(xí))古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)A,B及動(dòng)點(diǎn)

P，若1)，則點(diǎn)P的軌跡是圓．后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼

斯圓(簡(jiǎn)稱“阿氏圓”)．在平面直角坐標(biāo)系中，已知O(0,0(,Q(0,2(，直線l1:kx-y+k+3=0，直線l2:

31

x+ky+3k+1=0，若P為l1,l2的交點(diǎn)，則|PO|+|PQ|的最小值為()

22

A.66B.6-32C.9-32D.66

2

3.(24-25高二上·廣東·階段練習(xí)·多選)古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)

現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值λ(λ≠1(的點(diǎn)所形成的圖形是圓．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以

他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-1,0(，B(3,0(．動(dòng)

點(diǎn)P滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，下列結(jié)論正確的是()

A.C的方程為x2+y2+3x=0

2

279

B.C關(guān)于直線x+y-2=0對(duì)稱的曲線方程為(x-2(+y-=

(2(4

C.在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)5,3的距離為3

(2(

D.若E(0,6(，F(xiàn)(2,2(，則在C上不存在點(diǎn)M，使得|ME|=|MF|

4.(24-25高二下·安徽合肥·開學(xué)考試)古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：一動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距

離之比等于定值λ(λ>0且λ≠1)，則P點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿氏圓”.在平面直角坐標(biāo)系xOy

中，點(diǎn)A(6,0(，滿足|MA|:|MO|=2:1的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C，若在直線l:x-ay+6a=0上存在點(diǎn)P，在曲

線C上存在兩點(diǎn)D、E，使得PD⊥PE，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

5.(25-26高二上·廣東茂名·期中)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山

1

大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)λ(λ>0，且λ≠1)，那么

點(diǎn)P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．若點(diǎn)P到A(2,0(，B(-2,0(的距離比為3，則點(diǎn)P到

圓C:x2+y2-8x-12y+49=0上的點(diǎn)的距離最大值是．

6.(25-26高二上·甘肅酒泉·期中)設(shè)A,B是平面上兩點(diǎn)，則滿足n(其中n為常數(shù)，n≠0且n≠

1)的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿

氏圓.已知A(6,0(,B(3,0(，且n=2.

(1)求點(diǎn)P所在圓T的方程.

(2)設(shè)直線l:y=kx+m與圓T交于M,N兩點(diǎn)(不與原點(diǎn)O重合).

①若直線l過(guò)點(diǎn)Q(-1,-1(，且∠MTN=120°,求直線l的方程.

②設(shè)直線OM,ON斜率分別為k1,k2，且k1k2=3，證明：直線l恒過(guò)定點(diǎn).

2

7.(25-26高二上·北京大興·期中)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的

距離之比為定值m(m≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,0(，B(0,2(.點(diǎn)P滿足

,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為圓M，點(diǎn)M為圓心.

(1)求圓M的方程；

(2)若點(diǎn)Q是直線l1：2x-y-7=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，求四

邊形QEMF的面積的最小值；

(3)若直線l2：ax-by+1=0(a>0，b>0)始終平分圓M的面積，寫出的最小值.

3

8.(24-25高二上·湖南株洲·期末)古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)A，B及動(dòng)點(diǎn)

P，若且λ≠1)，則點(diǎn)P的軌跡是圓.后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼

斯圓(簡(jiǎn)稱“阿氏圓”).在平面直角坐標(biāo)系中，已知O(0,0(，N(0,-1(，直線l1：kx-y+k+2=0，直線

l2：x+ky+2k+1=0，若M為l1，l2的交點(diǎn)，則MOMN|的最小值為()

ABCD.10

9.(24-25高二上·河南焦作·階段練習(xí))阿波羅尼斯是古希臘數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山

大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠.“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)

k(k≠1(的點(diǎn)的軌跡是“阿波羅尼斯圓”.已知曲線C是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)(-1,0(和(1,0(的距離之比

等于常數(shù)的“阿波羅尼斯圓”，則下列結(jié)論中正確的是()

A.曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱B.曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱

C.曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D.曲線C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

10.(24-25高二上·福建福州·期中·多選)古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(約公元前262~前190)發(fā)現(xiàn)：平面

內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,OB的距離之比為定值λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，

稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1,O0)，B(-2,O0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

,直線l:mx-y+m+1=0，則()

A.直線l過(guò)定點(diǎn)(-1,O1)

B.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x-2)2+y2=4

C.動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為10

D.若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,O1)，則|PD|+2|PA|的最小值為10

11.(24-25高二上·山東菏澤·階段練習(xí))已知兩定點(diǎn)A,B，若動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A,B的距離之比為

λ(λ>0,λ≠1(，則點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，該圓稱為阿波羅尼斯圓．已知點(diǎn)P是圓C:x2+y2-4x=0上一

動(dòng)點(diǎn)，A(-4,0(，B(x0,y0((x0≠-4(，若為定值，則|AB|+|PB|的最小值為．

4

12.(24-25高二上·福建莆田·階段練習(xí))古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作

《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)

k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知平面直角系xOy中的點(diǎn)

E(2,0(,F(22,0(，則滿足|PF|=2|PE|的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡記為圓E.

(1)求圓E的方程；

(2)若直線l為ax-y+1-a=0，證明：無(wú)論a為何值，直線l與圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)；

(3)若點(diǎn)A(-2,2(,B(-2,6(,C(4,-2(，當(dāng)P在E上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求2|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值和最小值.

5

13.(24-25高二上·重慶九龍坡·期中)公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研

究了眾多的平面軌跡問(wèn)題，其中有如下結(jié)果:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或

圓，后世把這種圓稱之為阿波羅尼斯圓.已知平面直角坐標(biāo)系中A(-2,0(,B(1,0(且|PA|=2|PB|.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)若點(diǎn)P在(1)的軌跡上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程;

(3)若點(diǎn)P(x,y(在(1)的軌跡上運(yùn)動(dòng)，求t的取值范圍.

6

題型二卡西尼卵形線問(wèn)題

14.(25-26高二上·湖南長(zhǎng)沙·期中·多選)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為大于零的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵

2

形線.設(shè)F1(-c,0(和F2(c,0(且c>0，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|.|MF2|=a(a>0)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡顯然是卡西

尼卵形線，記該卡西尼卵形線為曲線C，則下列描述正確的是()

A.曲線C的方程是a2

B.曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱

C.曲線C與x軸沒(méi)有交點(diǎn)

2

D.△MF1F2的面積不大于a

15.(2025·海南·模擬預(yù)測(cè)·多選)雙紐線，也稱伯努利雙紐線，伯努利雙紐線的描述首見于1694年，雅各布·伯

努利將其作為橢圓的一種類比來(lái)處理．橢圓是由到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡，而卡西尼卵

形線則是由到兩定點(diǎn)距離之乘積為定值的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)此定值使得軌跡經(jīng)過(guò)兩定點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，軌跡便為

伯努利雙紐線．已知曲線C(如圖所示)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)P(x,y(滿足到兩個(gè)定點(diǎn)F1(-a,0(，

F2(a,0((a>0)的距離之積為4，則下列結(jié)論正確的是()

A.a=2

B.點(diǎn)M(x,1((x>0)在C上，則|MF1|=22

C.點(diǎn)N在橢圓上，若F1N⊥F2N，則N∈C

D.過(guò)F2作x軸的垂線交C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|<2

16.(2025·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)·多選)卡西尼線型，特別是卡西尼卵形線，在天文學(xué)和航天工程中有廣泛的應(yīng)

用，最初是在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，土星的環(huán)和某些衛(wèi)星的軌道軌跡可以通過(guò)卡西尼

卵形線來(lái)描述，這些卵形線是衛(wèi)星圍繞土星運(yùn)動(dòng)的軌跡.而在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，卡西尼卵形線是解析幾何中研

究的重要曲線之一，我們把平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡叫做卡西尼卵形線.現(xiàn)已知平面

內(nèi)有一卵形線E:(x+1)2+y2.(x-1)2+y2=4，則下列說(shuō)法正確的是()

A.曲線E過(guò)原點(diǎn)

B.曲線E既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形

C.曲線E上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是[-5,5[

D.曲線E上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的取值范圍是[3,5[

17.(2025·河南周口·二?！ざ噙x)在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線．已知

2

曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)的距離之積為4c(c>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則()

7

2

A.C關(guān)于x軸和y軸均對(duì)稱B.△PF1F2的面積的最大值為2c

C.△PF1F2周長(zhǎng)的最小值為6cD.|OP|的取值范圍為[3c,5c[

18.(24-25高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中)我們?cè)趯W(xué)習(xí)解析兒何過(guò)程中知道橢圓、雙曲線的定義分別是平面

內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和、距離之差的絕對(duì)值等于某個(gè)定值，天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星運(yùn)行規(guī)律

時(shí)發(fā)現(xiàn)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，我們稱之為卡西尼卵形線.若定點(diǎn)F1(-c,0(,F2(c,0(，動(dòng)點(diǎn)

2222

P滿足|PF1|.|PF2|=a，其中a,c均為正數(shù)，記該卡西尼卵形線為曲線C，它的軌跡方程為(x+y(+

λ(x2-y2(=μ.

(1)求參數(shù)λ,μ的值(用含a,c的式子表示)；

(2)若P(x,y(為曲線上一點(diǎn)，求證：|y

(3)若a=c，求證：曲線C恰經(jīng)過(guò)3個(gè)整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)).

8

19.(24-25高二上·湖北武漢·期末·多選)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡叫做卡西尼卵形

線，卡西尼卵形線是天文學(xué)家卡西尼在研究衛(wèi)星運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的.已知曲線C上的點(diǎn)M到F1(-1,0(

與F2(1,0(的距離之積為2，則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C的方程為(x2+y2+1(2=9x2+9B.曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱

C.曲線C圍成的圖形面積不超過(guò)43D.△MF1F2面積的最大值為1

20.(24-25高二上·江蘇南京·期中·多選)天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)：同一平

面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線．已知定點(diǎn)F1(-c,0(，F(xiàn)2(c,0(，動(dòng)點(diǎn)P滿

2

足|PF1|.|PF2|=a(c>0且a,c均為常數(shù))．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E．則下列說(shuō)法正確的是()

A.曲線E既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形

B.|PF1|+|PF2|的最小值為2a

C.曲線E與x軸可能有三個(gè)交點(diǎn)

D時(shí)，曲線E上存在Q點(diǎn)，使得QF1⊥QF2

21.(24-25高二上·山西太原·期末·多選)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，

它是1675年法國(guó)天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的.已知平面直角坐標(biāo)系中，

A(-2,0(，B(2,0(，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|.|PB|=4，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為[-3,3[

C.△PAB面積的最大值為2D.|PA|+|PB|的取值范圍為[4,42[

22.(24-25高三上·廣東·開學(xué)考試·多選)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為大于零的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵

2

形線.設(shè)F1(-c,0(和F2(c,0(且c>0，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|.|MF2|=a(a>0(，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡顯然是卡西尼

卵形線，記該卡西尼卵形線為曲線C，則下列描述正確的是()

2

A.曲線C的方程是(x2+y2(-2c2(x2-y2(=a4-c4

B.曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱

C.曲線C與x軸沒(méi)有交點(diǎn)

2

D.△MF1F2的面積不大于a

9

23.(24-25高二上·浙江杭州·期末)17世紀(jì)80年代，天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)

現(xiàn)：同一平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卵形線，我們稱之為卡西尼卵形線.在平面

直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩定點(diǎn)F1(-1,0(，F(xiàn)2(1,0(，動(dòng)點(diǎn)P(x,y(滿足|PF1|?|PF2|=3，動(dòng)

點(diǎn)P的軌跡為曲線E，直線y=kx+b與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜

率為k0.

(1)求曲線E的方程;

(2)求|OP|的取值范圍;

(3)求證：k?k

10

題型三曼哈頓距離問(wèn)題

24.(25-26高二上·重慶·期中)曼哈頓距離(ManhattanDistance)是一種用于衡量?jī)蓚€(gè)點(diǎn)在空間中距離

的度量方式.它的名稱來(lái)源于紐約曼哈頓的網(wǎng)格狀街道布局：在這種布局下，從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)需要

沿著街道行走(只能沿水平或垂直方向移動(dòng))，而不能走對(duì)角線，故曼哈頓距離又稱城市街區(qū)距離.已知

點(diǎn)A(x1,y1(，B(x2,y2(，定義A，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離D(A,B(=|x1-x2|+|y1-y2|.在平面直角坐標(biāo)系

xOy中，已知點(diǎn)P(3,4(，動(dòng)點(diǎn)M滿足|OM|=1，動(dòng)點(diǎn)N滿足D(N,P(=2，則|MN|的最大值為()

A.35+1B.2+1C.41+1D.211+1

25.(25-26高二上·四川·期中·多選)“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，用以標(biāo)明兩

個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總和，其定義如下：在直角坐標(biāo)平面Oxy上任意兩點(diǎn)A(x1,y1(，

B(x2,y2(的曼哈頓距離d(A,B(=|x1-x2|+|y1-y2|，則下列結(jié)論正確的是()

A.若點(diǎn)P(1,3(，Q(2,4(，則d(P,Q(=2

B.若對(duì)于三點(diǎn)A，B，C，則“d(A,B(+d(A,C(=d(B,C(”當(dāng)且僅當(dāng)“點(diǎn)A在線段BC上”

C.對(duì)于平面上任意一點(diǎn)N，若d(N,O(，則動(dòng)點(diǎn)N的軌跡長(zhǎng)度為8

D.若點(diǎn)M在圓x2+y2=4上，點(diǎn)P在直線x-2y+8=0上，則d(P,M(的最小值是4-5

26.(2025·云南·模擬預(yù)測(cè)·多選)已知ⅡABⅡ=|x1-x2|+|y1-y2|是A(x1,y1(，B(x2,y2(兩點(diǎn)的曼哈頓距離，點(diǎn)

P是函數(shù)f(x(=、36-x2(x>0(圖象上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.若動(dòng)點(diǎn)Q滿足OQ=1，則點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形

B.f(x(的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域的面積是18π

C.若OP≥3(3+1(，則點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)為原點(diǎn)，6為半徑的圓上的一段圓弧，且長(zhǎng)度為π

D.若OP≥3(3+1(，將點(diǎn)P的軌跡逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線與點(diǎn)P的軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱

27.(24-25高二上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí))“曼哈頓距離”是人臉識(shí)別中的一種重要測(cè)距方式，其定義如下：設(shè)

A(x1,y1(、B(x2,y2(，則A、B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離d(A,B(=|x1-x2|+|y1-y2|，已知點(diǎn)M(4,6(，點(diǎn)N在

圓O:x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P滿足d(M,P(=2，則|PN|的最大值為．

28.(25-26高二上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí))人臉識(shí)別技術(shù)已融入我們?nèi)粘Ｉ睿^(qū)門禁刷臉即可開門，手機(jī)

支付憑人臉驗(yàn)證完成交易，機(jī)場(chǎng)安檢通過(guò)它實(shí)現(xiàn)旅客快速身份核驗(yàn)，讓便捷與安全并存.它通過(guò)計(jì)算機(jī)

分析人臉圖像或視頻，提取面部輪廓、五官間距等關(guān)鍵特征，在這一過(guò)程中，判別不同樣本間的相似度是

核心環(huán)節(jié)，其主要實(shí)現(xiàn)方式為距離測(cè)試，目前常用的測(cè)量方式主要有3種.設(shè)A(x1,y1(，B(x2,y2(，則歐幾

22

里得距離D(A,B(=(x1-x2(+(y1-y2(；曼哈頓距離d(A,B(=|x1-x2|+|y1-y2|；余弦距離e(A,B(

——→—→

=1-cos(A,B(，其中cos(A,B(=cos〈OA,OB〈(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)若點(diǎn)M(2,4(，N(4,2(，求M，N之間的歐幾里得距離D(M,N(，曼哈頓距離d(M,N(和余弦距離

e(M,N(；

11

(2)若點(diǎn)M(2,4(，d(M,N(=2，求e(M,N(的最大值；

(3)已知點(diǎn)M(2,4(，曲線C:y=x2，問(wèn)曲線C上是否存在點(diǎn)N使得d(M,N(≥2D(M,N(，若存在，求

e(M,N(的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

29.(25-26高二上·北京·階段練習(xí))曼哈頓距離(ManhattanDistance)是由十九世紀(jì)赫爾曼-閔可夫斯

基所創(chuàng)詞匯，是使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語(yǔ)，表示兩個(gè)點(diǎn)在空間(或平面)直角坐標(biāo)系中的“絕對(duì)

軸距”總和．例如：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩個(gè)點(diǎn)A(x1,y1(,B(x2,y2(，它們之間的曼哈頓距離d(A,B(=

|x1-x2|+|y1-y2|．已知點(diǎn)B(1,0(，點(diǎn)M是直線kx-y+k+3=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是直線x+ky-4k+

1=0上的動(dòng)點(diǎn)，其中k≥0．則d(B,M(+d(B,N(的最小值為()

A.4B.C.5D.

30.(25-26高三上·廣東深圳·階段練習(xí)·多選)“曼哈頓距離”是由赫爾曼-閔可夫斯基使用在幾何度量空

間的幾何學(xué)用語(yǔ)．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x1,y1(、Q(x2,y2(的曼哈頓距離為：LPQ=|x1-x2|+

22

|y1-y2|．若點(diǎn)P(1,2(，點(diǎn)Q為圓C:x+y=4上一動(dòng)點(diǎn)，則()

A.點(diǎn)P(1,2(和點(diǎn)A(-1,3(的曼哈頓距離為3

B.設(shè)Q(2cosθ,2sinθ(，則LPQ

C.LPQ的最小值為3-22

D.LPQ的最大值為3+22

12

31.(2025·河北滄州·一?！ざ噙x)在平面直角坐標(biāo)系中，若M(∞1,y1)，N(∞2,y2)，則稱“d=|∞1-∞2|+|y1-y2|”

為M，N兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”，若動(dòng)點(diǎn)B到兩定點(diǎn)F1(0,