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文檔簡介

6.2.2向量在幾何證明中的應(yīng)用第二章

平面向量及其應(yīng)用1.通過三角形這個(gè)幾何模型，歸納總結(jié)出用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”.2.了解平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示.例1：如圖所示，

中，點(diǎn)

E，F(xiàn)在對(duì)角線

BD上，并且

BE=FD，求證：四邊形

AECF是平行四邊形.因此，四邊形AECF是平行四邊形.例2：如圖，DE是△ABC的中位線，用向量方法證明：證明：如圖，取

為一組基，設(shè)

，，因?yàn)镈E是△ABC的中位線，所以，

，從而，

于是

所以，

又，

基底法：選擇兩個(gè)不共線的向量作為基底；用基底表示相關(guān)向量；把幾何問題轉(zhuǎn)化為只含有基底向量的運(yùn)算；把向量關(guān)系翻譯成幾何關(guān)系.證明：以

BC所在直線為

x軸，以

B為原點(diǎn)建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)，，則從而，又

，所以，

于是

例2：如圖所示，DE是△ABC的中位線，用向量方法證明：坐標(biāo)法：1.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；2.用坐標(biāo)表示向量；

3.把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算．4.把向量關(guān)系翻譯成幾何關(guān)系用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素.簡述：幾何問題向量化向量運(yùn)算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化.練習(xí)1：利用向量方法證明：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.證明：如圖所示，取為一組基，設(shè)，，則，

于是

即：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.所以，從而.

則

，

練習(xí)2：已知，點(diǎn)

E，F(xiàn)分別是

AD，DC邊的中點(diǎn)，BE，BF分別與

AC交于R，T點(diǎn)，說說AR，RT，TC之間有什么關(guān)系.由于與共線，所以.又因?yàn)?/p>

由于與共線，所以.所以，

解：如圖所示，取為基底，設(shè)，，所以，

即

，

由于

與

不共線，則有

，

解得所以.同理.于是

.所以.1.用向量方法解決平面幾何問題的步驟：（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量

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