清華考試題計(jì)算題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（總共10題，每題2分）1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)等于f(a)與f(b)的算術(shù)平均值，這個(gè)結(jié)論是A.拉格朗日中值定理B.柯西中值定理C.羅爾定理D.泰勒定理答案：A2.極限lim(x→0)(sinx/x)等于A.0B.1C.∞D(zhuǎn).不存在答案：B3.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2在區(qū)間[-2,2]上的最大值是A.0B.2C.8D.10答案：C4.若級(jí)數(shù)Σ(a_n)收斂，則下列級(jí)數(shù)中一定收斂的是A.Σ(2a_n)B.Σ(a_n^2)C.Σ((-1)^na_n)D.Σ(a_n/n)答案：A5.函數(shù)f(x)=e^x在點(diǎn)x=0處的泰勒展開式中的x^3項(xiàng)系數(shù)是A.1B.1/2C.1/6D.1/24答案：C6.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則下列說(shuō)法正確的是A.f(x)在[a,b]上必須連續(xù)B.f(x)在[a,b]上可以有有限個(gè)間斷點(diǎn)C.f(x)在[a,b]上必須單調(diào)D.f(x)在[a,b]上不能有極大值和極小值答案：B7.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)≥0，則積分∫[a,b]f(x)dx表示A.曲線y=f(x)與x軸圍成的面積B.曲線y=f(x)與y軸圍成的面積C.曲線y=f(x)與x軸圍成的體積D.曲線y=f(x)與y軸圍成的體積答案：A8.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，則極限lim(x→0)(f(x)/x)等于A.f'(0)B.2f'(0)C.f'(0)^2D.0答案：A9.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則根據(jù)拉格朗日中值定理，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得A.f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)B.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)C.f'(ξ)=0D.f(ξ)=0答案：A10.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則下列說(shuō)法正確的是A.f(x)在[a,b]上必須連續(xù)B.f(x)在[a,b]上可以有有限個(gè)間斷點(diǎn)C.f(x)在[a,b]上必須單調(diào)D.f(x)在[a,b]上不能有極大值和極小值答案：B二、多項(xiàng)選擇題（總共10題，每題2分）1.下列函數(shù)中，在區(qū)間[-1,1]上連續(xù)的是A.f(x)=1/(1+x^2)B.f(x)=|x|C.f(x)=tan(x)D.f(x)=sin(x)/x答案：A,B,D2.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是A.Σ(1/n)B.Σ(1/n^2)C.Σ((-1)^n/n)D.Σ(1/(n+1))答案：B,C,D3.下列函數(shù)中，在區(qū)間[a,b]上可積的是A.f(x)=1/(x-1)B.f(x)=x^2C.f(x)=sin(x)D.f(x)=|x|答案：B,C,D4.下列說(shuō)法中，正確的是A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上連續(xù)C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，則f(x)在[a,b]上連續(xù)D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可導(dǎo)答案：A,C5.下列極限中，等于1的是A.lim(x→0)(sin(x)/x)B.lim(x→0)(e^x-1)/xC.lim(x→0)(1-cos(x))/x^2D.lim(x→0)(tan(x)/x)答案：A,B,D6.下列函數(shù)中，在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)的是A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2C.f(x)=sin(x)D.f(x)=e^x答案：B,C,D7.下列級(jí)數(shù)中，絕對(duì)收斂的是A.Σ((-1)^n/n)B.Σ(1/n^2)C.Σ((-1)^n/n^2)D.Σ(1/n)答案：B,C8.下列說(shuō)法中，正確的是A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上連續(xù)C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，則f(x)在[a,b]上連續(xù)D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可導(dǎo)答案：A,C9.下列極限中，等于0的是A.lim(x→0)(sin(x)/x)B.lim(x→0)(e^x-1)/xC.lim(x→0)(1-cos(x))/x^2D.lim(x→0)(tan(x)/x)答案：C10.下列函數(shù)中，在區(qū)間[-1,1]上連續(xù)的是A.f(x)=1/(1+x^2)B.f(x)=|x|C.f(x)=tan(x)D.f(x)=sin(x)/x答案：A,B,D三、判斷題（總共10題，每題2分）1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)等于f(a)與f(b)的算術(shù)平均值。答案：正確2.極限lim(x→0)(sinx/x)等于1。答案：正確3.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2在區(qū)間[-2,2]上的最大值是8。答案：正確4.若級(jí)數(shù)Σ(a_n)收斂，則級(jí)數(shù)Σ(2a_n)也收斂。答案：正確5.函數(shù)f(x)=e^x在點(diǎn)x=0處的泰勒展開式中的x^3項(xiàng)系數(shù)是1/6。答案：正確6.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上可以有有限個(gè)間斷點(diǎn)。答案：正確7.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)≥0，則積分∫[a,b]f(x)dx表示曲線y=f(x)與x軸圍成的面積。答案：正確8.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，則極限lim(x→0)(f(x)/x)等于f'(0)。答案：正確9.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則根據(jù)拉格朗日中值定理，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。答案：正確10.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上可以有有限個(gè)間斷點(diǎn)。答案：正確四、簡(jiǎn)答題（總共4題，每題5分）1.簡(jiǎn)述拉格朗日中值定理的內(nèi)容及其幾何意義。答案：拉格朗日中值定理內(nèi)容是：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。幾何意義是：在曲線y=f(x)上，存在一點(diǎn)P(ξ,f(ξ))，使得該點(diǎn)的切線斜率等于曲線兩端點(diǎn)連線的斜率。2.簡(jiǎn)述級(jí)數(shù)Σ(a_n)收斂的必要條件。答案：級(jí)數(shù)Σ(a_n)收斂的必要條件是：a_n→0（當(dāng)n→∞時(shí)）。即級(jí)數(shù)的通項(xiàng)趨于零是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，但不是充分條件。3.簡(jiǎn)述函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積的充分條件。答案：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積的充分條件是：f(x)在[a,b]上連續(xù)，或者f(x)在[a,b]上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，且這些間斷點(diǎn)都是可去間斷點(diǎn)或跳躍間斷點(diǎn)。4.簡(jiǎn)述函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)的幾何意義。答案：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)的幾何意義是：曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線存在，且切線的斜率等于f'(0)。五、討論題（總共4題，每題5分）1.討論級(jí)數(shù)Σ((-1)^n/n)的收斂性。答案：級(jí)數(shù)Σ((-1)^n/n)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，根據(jù)萊布尼茨判別法，若a_n→0（當(dāng)n→∞時(shí)），且a_n單調(diào)遞減，則級(jí)數(shù)收斂。對(duì)于Σ((-1)^n/n)，a_n=1/n，滿足條件，因此級(jí)數(shù)收斂。2.討論函數(shù)f(x)=1/(1+x^2)在區(qū)間[-1,1]上的連續(xù)性和可積性。答案：函數(shù)f(x)=1/(1+x^2)在區(qū)間[-1,1]上是連續(xù)的，因?yàn)榉帜冈趨^(qū)間[-1,1]上不為零，且分子和分母都是連續(xù)函數(shù)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，f(x)在[-1,1]上可積。3.討論函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[-1,1]上的最大值和最小值。答案：函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[-1,1]上是連續(xù)的，因此在區(qū)間[-1,1]上存在最大值和最小值。通過(guò)求導(dǎo)，f'(x)=2x，令f'(x)=0，得