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準(zhǔn)考證號(hào)姓名

(在此卷上答題無(wú)效)

全國(guó)名校聯(lián)盟2026屆高三上學(xué)期期中考試

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uuts

數(shù)學(xué)試題2025.11

本試卷共4頁(yè)，19小題，考試時(shí)間120分鐘，總分150分。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上和本試卷上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將寫在題卡上。寫在

本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合U={1,2,3,4,5},若A={1,2,5},B={2,3,5},則C(A∩B)=

A.{5}B.{1,3}C.{1,2,3}D.(1,3,4}

2.若(a∈R)的虛部為2,則a=

A.-2B.2C.-4D.4

3.記等差數(shù)列{aa}的前n項(xiàng)和為S。,公差為d(d≠0),若S,=10a,則

A.B.2CD.3

4.已知某放射性同位素的含量N與時(shí)間1的關(guān)系式為其中N?為初始含量.則當(dāng)該

放射性同位素的含量為

N?時(shí)，z的值約為

附：In2≈0.693.

A.33B.45C.67D.78

數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)(共4頁(yè))

5.已知某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓，則該圓錐的體積為

A.B.C.√3πD.

6.已知函數(shù)f(x)=cos(2x+φ).設(shè)甲：f(1)=f(-1),乙：f(x)是偶函數(shù)，則

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

7.若函數(shù)f(x)=(x-a)(x-2)2的極大值為·則a=

A.-1B.0C.1D.2

8.若sin(θ+20°)=cos(θ-10°)+cos(θ+70°),則tanθ=

A.B.C.-√3.D.√3

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知a>0,b>0,且atb=2,則

A.ab≤1B

C.a2+b2≥2D.log:Va+log.b≥0

10.已知正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長(zhǎng)為1,動(dòng)點(diǎn)P在底面A?B?C?D?內(nèi)，且BP⊥B?D,則

ABP//平面ACD?

B.P的軌跡長(zhǎng)度為√2

C.恰有一個(gè)點(diǎn)P,滿足BP⊥AC

D.BP與平面A?B?C?D?所成角的正弦值的最大值為

11.已知函恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x?,x?(x,<x?),則

A.a>3

B.存在a∈R,使得f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.

D.x?x?<1

數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共4頁(yè))

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量a,b滿足a·b=4,|b|=1,則b(a-b)=.

13.已知函數(shù)f(x)=e-°+e2-,若y=f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則f(x)的值域?yàn)?/p>

一.

14.在三棱錐P-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，PB=2PA,若點(diǎn)P到平面ABC的距離為1,

則三棱錐P-ABC體積的最小值為_

四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(13分)

記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知√3bsinC+ccosB=c.

(1)求B:

(2)若A=3C,且△ABC的面積為3-√3,求a.

16.(15分)

已知函數(shù)f(x)=(1-x)e2.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)點(diǎn)(a,b)在曲線y=f(x)上，求f(a)-f(b)的最大值.

17.(15分)

如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=CD=4,E是CD的中

點(diǎn)，將△ADE沿AE翻折至△APE,使得PC=2√3.

(1)證明：平面PAE⊥平面ABCE;

(2)求平面PAE與平面PBC夾角的余弦值.

數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)(共4頁(yè))

18.(17分)

已知數(shù)列{aa}滿足a?=1,aa+an.1=k×2-1(k>0).

(1)設(shè)b≠aza+1-az-1,證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列：

(2)若{aa}為等比數(shù)列，求k的值；

(3)若Vn∈N°,a?<an+1,求k的取值范圍.

19.(17分)

設(shè)函(x>0).

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn))處的切線方程；

(2)設(shè)x,為f(x)從小到大的第n(neN")個(gè)極值點(diǎn)。

(i)證明：x?-x?>π;

(ii)設(shè)證明：

數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))

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數(shù)學(xué)試題參考答案解析

1234567891011

DABCDCCBACABCACD

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.答案：D

解析：易知A∩B={2,5},則(A∩B)={1,3,4}.故選D.

2.答案：A

解析：,∴z的虛部為-a=2,∴a=-2,故選A.

3.答案：B

解析：,∴a?=2a,即a?+2d=2a?,∴故選B.

4.答案：C

解析：由題意得即,兩邊取對(duì)數(shù)得·解得t≈67,故選C.

5.答案：D

解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為1,則∴1=2,又2πr=πl(wèi),∴r=1,∴圓

錐的高為√3,∴該圓錐的體積為,故選D.

6.答案：C

解析：若f(1)=f(-1),則cos(2+φ)=cos(-2+4);

∴2+φ=-2+φ+2kπ(k∈Z)(舍)或2+φ+(-2+φ)=2kπ(k∈Z),

則φ=kπ(k∈Z),∴f(x)=cos(2x+kπ).

若k為偶數(shù)，則f(x)=cos(2x)為偶函數(shù)；若k為奇數(shù)，則f(x)=-cos(2x)為偶函數(shù).

若f(x)為偶函數(shù)，則f(1)=f(-1),必要性成立.∴甲是乙的充要條件，故選C.

7.答案：C

解析：f'(x)=(x-2)2+2(x-2)(x-a)=(x-2)(3x-2a-2),顯然x=2不是f(x)的極大值點(diǎn)，

為f(x)的極大值點(diǎn)，且

解得a=1,故選C.

8.答案：B

解析：依題意，sin(θ+20°)=cos(θ-10°)+cos(θ+70°)=cos(θ-10°)+sin(20°-θ),

∴sin(20°+θ)-sin(20°-θ)=2cos20°sinθ=cos(θ-10°),

∵cos(θ-10°)=cosθcos10°+sinθsin10°,∴2cos20°sinθ=cosθcos10°+sinθsin10°,

,故選B.

高三數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共8頁(yè))

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二

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.答案：AC

解析：a+b≥2√ab,∴ab≤1,故選項(xiàng)A正確；

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

故選項(xiàng)C正確；

log?√a+log?b=log?√ab≤0,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AC.

10.答案：ABC

解析：易知B?D⊥平面ACD?,∵B?D⊥BP,BP4平面ACD?,∴BP//平面ACD?,A選項(xiàng)正確；

∵B?D⊥平面BAC?,∴P在對(duì)角線A?C?上，B選項(xiàng)正確；

∵AC⊥平面BB?D?D,∴當(dāng)且僅當(dāng)P為AC?的中點(diǎn)時(shí)，滿足BP⊥AC,C選項(xiàng)正確；

BP與平面A?B?C?D?所成角即為∠BPB?,∴當(dāng)P為AC的中點(diǎn)時(shí)，∠BPB?取得最大值，

此時(shí),D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選ABC.

11.答案：ACD

解析：考查選項(xiàng)A:,兩函數(shù)圖象有且僅有兩個(gè)

不同的交點(diǎn)..,y'<0→0<x<1,

x(0,1)1(1,+o)

y+0+

y單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

∴..n=3,另外，x→0和x→+00,f(x)→+00,∴a>3時(shí)，兩函數(shù)圖象有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

∴A選項(xiàng)正確；

考查選項(xiàng)B:由A選項(xiàng)知，a>3時(shí)，f(x)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間：

易知f(x)在區(qū)間(0,x?)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(x?,x?)上單調(diào)遞減，

在區(qū)間(x?,+∞)上單調(diào)遞增，且

則,(極大值)

設(shè)則

∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

高三數(shù)學(xué)第2頁(yè)(共8頁(yè))

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∴f(x)的極大值小于零，不可能有三個(gè)零點(diǎn)，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

考查選項(xiàng)C:同理可得，由B選項(xiàng)可知，

,C選項(xiàng)正確.

考查選項(xiàng)D:由選項(xiàng)B知，,且x?∈(0,1),x?∈(1,+o),

,即

∵x?+x?>2√xx?,∴即x?x?<1,∴D選項(xiàng)正確.故選ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.答案：3

解析：b·(a-b)=a·b-b2=4-1=3,故填3.

14.答案：

解析：不妨設(shè)PA=x,PC=y,則PB=2x,AB=√5x,

過(guò)P作PH垂直AB于H,則

∵PC⊥AB,PH⊥AB,PH∩PC=P,∴AB⊥平面CPH,

三棱錐P-ABC的體積1

不妨設(shè),則

令f'(x)=0,解得x=√3,∴f(x)的最小值為

∴三棱錐P-ABC體積的最小值為故填

高三數(shù)學(xué)第3頁(yè)(共8頁(yè))

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四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)

記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知√3bsinC+ccosB=c.

(1)求B;

(2)若A=3C,且△ABC的面積為3-√3,求a.

解：(1)∵√3bsinC+ccosB=c,由正弦定理，

∴√3sinBsinC+sinCcosB=sinC,…………………2分

∵sinC>0,

∴√3sinB+cosB=1,即,……………………4分

由B為三角形內(nèi)角，即B∈(0,π),

,得…………6分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：使用正弦定理轉(zhuǎn)化條件(2分)

步驟二：輔助角公式化簡(jiǎn)得到：(2分)

步驟三：結(jié)合B的范圍求B(2分)

(2)∵A=3C,且

……………7分

,…………………8分

由正弦定理有……………9分

△ABC的面積為…………………11分

由△ABC的面積為3-√3,可得

∴a=2√2.……………13分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：得到A,C(1分);步驟二：求出sinC(1分);步驟三：正弦定理得到(1分);

高三數(shù)學(xué)第4頁(yè)(共8頁(yè))

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步驟四：表達(dá)△ABC的面積(2分);步驟五：代入求a(2分).其他過(guò)程酌情給分.

16.(15分)

已知函數(shù)f(x)=(1-x)e*.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)點(diǎn)(a,b)在曲線y=f(x)上，求f(a)-f(b)的最大值.

解：(1)f'(x)=-xe………………………2分

當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減………………………4分

∴f(x)在區(qū)間(-∞0,0)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,+o)上單調(diào)遞減……………5分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：求導(dǎo)(2分);步驟二：判斷單調(diào)性(2分);步驟三：結(jié)論(1分);

(2)由(1)可知，f(x)的最大值為f(0)=1,………7分

又x→+00時(shí)，f(x)→-∞,∴b≤1…………8分

由題意得，b=f(a),∵f(a)-f(b)=b-f(b),

不妨設(shè)g(x)=x-f(x)(x≤1)………………11分

則g'(x)=1-f'(x)=1+xe,設(shè)h(x)=g'(x),則h(x)=(x+1)e,

∴h(x)在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增，

………………13分

∴g'(x)>0,g(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞增，∴g(x)≤g(1)=1-f(1)=1,

∴f(a)-f(b)的最大值為1.………………15分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：得到b≤1,沒有極限說(shuō)明扣1分(3分);

步驟二：代換得到f(a)-f(b)=b-f(b),設(shè)g(x)=x-f(x)(x≤1)(3分);

步驟三：求導(dǎo)判斷g(x)單調(diào)遞增(2分);

步驟四：求最值以及結(jié)論(2分);

高三數(shù)學(xué)第5頁(yè)(共8頁(yè))

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二

17.(15分)

如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=CD=4,E是CD的中點(diǎn)，

將△ADE沿AE翻折至△APE,使得PC=2√3.

(1)證明：平面PAE⊥平面ABCE;

(2)求平面PAE與平面PBC夾角的余弦值.

解：(1)連接BD交AE于點(diǎn)O,連接OP,OC,OB,

∵PA=PE,∴OP⊥AE,

在Rt△ADE中，AD=DE=2,∴OP=OD=√2,

……………2分

在△POC中，OP=√2,OC=√10,PC=2√3,

∴OP2+OC2=PC2,∴OP⊥OC,………3分

又∵AE∩OC=0,AE,OCc平面ABCE,

∴OP⊥平面ABCE,……5分

又OPc平面PAE,二平面PAE⊥平面ABCE.6分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：求oc(2分);

步驟二：勾股定理得到OP⊥OC(1分);

步驟三：線面垂直證明：OP⊥平面ABCE(2分);

步驟四：面面垂直證明：平面PAE⊥平面ABCE(1分).

(2)易知∠DEA=∠CDB=45°,∴BD⊥AE,即OA⊥OB,

由(1)可知OP⊥平面ABCE,又∵OA,OBc平面ABCE,

∴OP⊥OA,OP⊥OB,∴OP,OA,OB兩兩垂直，………7分

易知AB=2√5,OA=√2,∴OB=3√2,…………8分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：由幾何關(guān)系得到OP,OA,OB兩兩垂直(1分);

步驟二：求得OB=3√2(1分);

高三數(shù)學(xué)第6頁(yè)(共8頁(yè))

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方法1:

如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

0(0,0,0),A(√2,0,0),B(0,3√2,0),C∈2√2;√2,0),P(0,0√2,E-√2,0,0),

CB=(2√2,2√2,0),PB=(0,3√2,-√2),EP=√2,0,√2),………9分

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),則

取x=1,得y=-1,z=-3,則n=(1,-1,-3),………11分

易知平面PAE的法向量為m=(0,1,0),………………13分

∴設(shè)平面PAE與平面PBC夾角的為θ,

則

∴平面PAE與平面PBC夾角的余弦值為……15分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：建系得到點(diǎn)和向量(1分);

步驟二：求平面PBC的法向量(2分);

步驟三：求平面PAE的法向量(2分);

步驟四：求值和結(jié)論(2分).

高三數(shù)學(xué)第7頁(yè)(共8頁(yè))

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方法2:

如圖，分別延長(zhǎng)AE,BC交于點(diǎn)Q,則0Q=3√2,PQ=2√5,

Q過(guò)0作OH垂直PQ于H,9分

∵BO1平面PAQ,PQc平面PAQ,∴BO⊥PQ,

又OH⊥PQ,OH∩OB=0,∴PQ⊥平面OHB,

∴PQ⊥HB,平面PAE與平面PBC的夾角即為ZOHB,……………12分

易知

故………15分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：作輔助線(1分);

步驟二：證明∠OHB為平面PAE與平面PBC的夾角，具體過(guò)程酌情給分(3分);

步驟四：求值和結(jié)論(3分).

18.(17分)

已知數(shù)列{a}滿足a?=1,a+a+1=k×2”?1(k>0).

(1)設(shè)bn=a2n+1-a?n-1,證明：數(shù)列{b,}為等比數(shù)列；

(2)若{a}為等比數(shù)列，求k的值；

高三數(shù)學(xué)第8頁(yè)(共8頁(yè))

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(3)若Vn∈N,a<an+1,求k的取值范圍.

方法1:

解：(1)由已知可得azn-1+a?n=k×22-2,且an+azn+1=k×2-1,1分

∴a2n+1-azm?1=k×(2-1-22-2)=k×4”-1,即b?=k×4”-1,2分

∵b?=a?-a?=k>0,且

∴數(shù)列是首項(xiàng)為k,公比為4的等比數(shù)列.………4分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：求b?=k×4”?1(2分);

步驟二：證明和結(jié)論(2分).

(2)易知a?+a?=k,且a?+a?=2k,

∴a?=k-1,a?=2k-(k-1)=k+1,∴,……………5分

∵k>0,∴k=3,……………………6分

當(dāng)k=3時(shí)，

∵a?+1-a2n-1=3×4”?1,

∴a2n+1=(a?n+1-a?n-1)+(a?n-1-a?n-3)+…+(a?-a)+a?

=3×(4”?1+4”?2+…+1)+1=22”,……………7分

∵a?n+a?n+1=3×22-1,

∴a?=3×22?-1-4”=22?-1,………8分

∴a?=2”?1,n≥2,n∈N,

又a?=1=21-1,∴a=2”-1,n∈N,∴{a}為等比數(shù)列，

綜上所述，若{a}為等比數(shù)列，則k=3.……………9分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：必要性得到k=3(2分);

步驟二：驗(yàn)證k=3,其中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)各1分(3分).

高三數(shù)學(xué)第9頁(yè)(共8頁(yè))

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其他解法酌情給分

(3)∵a?n+1-azn-1=k×4”-1,

∴a?+1=(a?n+1-a?n-1)+(azn-1-a?n-3)+…+(a?-a?)+a?

………………10分

………………11分

·,n≥2,n∈N*,且

·,n∈N°,

不難知道a?n-1<a?n+1,a?n<a?n+2,故條件等價(jià)于azn-1<a?n<azn+1恒成立，………………12分

由a?n<a2n+1,

,∴任意k>0均符合題意，…………14分

由a?n-1<a?n,,解得

顯然是遞減數(shù)列，∴∴k>2,…16分

綜上所述，k的取值范圍為(2,+o).……………………17分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：求奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)(2分);

步驟二：分別處理a?n<a?n+1,a?n-1<a?n(4分);

步驟三：結(jié)論(1分);

其他解法酌情給分

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方法2:

解：(1)由a?+an+=k×2”-1可得，…………………1分

,2分

,…………3分

∴數(shù)列是首項(xiàng)為k,公比為4的等比數(shù)列.……………4分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：求出通項(xiàng)(2分);

步驟二：求b,(1分);

步驟三：證明及結(jié)論(1分);

(2)易知a?+a?=k,且a?+a?=2k,

∴a?=k-1,a?=2k-(k-1)=k+1,∴,………5分

∵k>0,∴k=3,……6分

由(1)可得，a?=2”?1,∴{a}為等比數(shù)列，

綜上所述，若{a}為等比數(shù)列，則k=3.……………9分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：必要性得到k=3(2分);

步驟二：驗(yàn)證及結(jié)論(3分);

(3)依題意，Vn∈N,a<an+1,

即Vn∈N°,,………………11分

高三數(shù)學(xué)第11頁(yè)(共8頁(yè))

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當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即

即

對(duì)任意偶數(shù)恒成立，…………………13分

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即,即

∵2”-1≥21-1=1,∴解得k>2,………………16分

綜上所述，k的取值范圍為(2,+o).………17分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：轉(zhuǎn)化為an<an+,代入寫出目標(biāo)式(2分);

步驟二：分別討論n為偶數(shù)、奇數(shù)(5分);

步驟三：結(jié)論(1分).

19.(17分)

設(shè)函數(shù)

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)設(shè)x,為f(x)從小到大的第n(n∈N*)個(gè)極值點(diǎn).

(i)證明：x?-x?>π;

(ii)設(shè),證明：

解：(1)易知…………………2分

又,∴曲線y=f(x)在點(diǎn))處的切線方程為,……………3分

整理得，

∴曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為…………4分

評(píng)分細(xì)則：

步驟一：求導(dǎo)以及得到(2分);

步驟二：寫出切線方程(1分);

步驟三：整理以及結(jié)論(1分).

高三數(shù)學(xué)第12頁(yè)(共8頁(yè))

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(2)令f'(x)=0,顯然cosx≠0,

,∴tanx-x=0,即tanx-x,=0,………5分

時(shí)，設(shè)g(x)=tanx-x,則

∴當(dāng))時(shí)，g(x)>g(0)=0,……