含2024年高考真題高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)2025版知識(shí)整合+典例分析+精選練習(xí)下冊(cè)高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義(下冊(cè))第六章數(shù)列..2416.1等差數(shù)列與等比數(shù)列..241考向1等差數(shù)列...243題型1:等差數(shù)列基本運(yùn)算2.243題型2:等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用2.244考向2等比數(shù)列...247題型1:等比數(shù)列基本運(yùn)算..247題型2:等比數(shù)列的性質(zhì).2.248考向3等差等比混合....250題型1:差比混合運(yùn)算.2.250題型2：證明等差、等比.2506.2數(shù)列的通項(xiàng)與求和.252考向1求通項(xiàng)...257題型1:公式法....257題型2:累加法...258題型3:累乘法...258題型4:隔項(xiàng)問(wèn)題..258題型5:構(gòu)造數(shù)列...260考向2求和...262題型1:分組求和法...262題型2:錯(cuò)位相減法..262題型3:絕對(duì)值求和...263題型4:分段求和法...263題型5:裂項(xiàng)相消法....264題型6:奇偶分析法...266題型7:放縮求和法....267第七章立體幾何..2707.1空間幾何體..270考向1空間幾何體的表面積與體積..274題型1:直接法求表面積體積2.274題型2:間接法求體積..275考向2球的問(wèn)題....278題型1:外接球之還原型.278題型2:外接球之直棱錐(柱)2.278題型3:外接球之正棱錐(柱、臺(tái))..279題型4：外接球之二面角模型（柱、臺(tái)）..280題型5:外接球之直徑型..280題型6:球的截面....281題型7:內(nèi)切球之截面法..281題型8:內(nèi)切球之等體積法..282題型9:棱切球....2827.2點(diǎn)線面位置關(guān)系2.284考向1平行、垂直小題....288題型1:文字題....288題型2:圖形題...288考向2平行、垂直大題....291題型1:線面平行....291題型2:面面平行....293題型3:線線平行....293題型4:線面垂直..294題型5:面面垂直..295題型6:線線垂直...2967.3空間向量與立體幾何..302考向1線線角...307題型1:幾何法....307題型2:坐標(biāo)法...308考向2線面角..309題型1:幾何法...309題型2:坐標(biāo)法...310考向3二面角..312題型1:幾何法....312題型2:坐標(biāo)法...313考向4空間中的距離問(wèn)題...317題型1:幾何法....317題型2:坐標(biāo)法....3187.4立體幾何難點(diǎn)...320考向1截面問(wèn)題...323題型1:正方體的截面..323題型2：其他幾何體的截面3.324考向2動(dòng)態(tài)立體幾何...326題型1:軌跡問(wèn)題...326題型2:最值問(wèn)題....327題型3:翻折與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題...328考向3空間中的幾個(gè)定理...331題型1:空間余弦定理..331題型2：三正弦與三余弦定理...331第八章解析幾何..3348.1直線與圓...334考向1直線問(wèn)題匯總..346題型1:傾斜角與斜率..346題型2:幾種直線方程，3.347題型3:兩直線位置關(guān)系3.347題型4:距離問(wèn)題...348題型5:對(duì)稱(chēng)問(wèn)題...348題型6:定點(diǎn)問(wèn)題....350考向2圓問(wèn)題匯總...352題型1:幾種圓的定義(標(biāo)準(zhǔn)圓、一般圓、三角圓、斜率圓、阿氏圓)...352題型2:點(diǎn)圓、線圓位置判定3.353題型3：線圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題..353題型4:線圓相切問(wèn)題(求切線、切線長(zhǎng)、切點(diǎn)弦)..354題型5:圓圓位置關(guān)系.355題型6：常見(jiàn)最值問(wèn)題356題型7:韋達(dá)定理法....3578.2橢圓與雙曲線..360考向1三大定義...369題型1:第一定義..369題型2:第三定義..369題型3:第二定義..370題型4:圓錐截口曲線..372考向2焦點(diǎn)三角形.3.375題型1:橢圓焦點(diǎn)三角形.3.375題型2:雙曲線焦點(diǎn)三角形.376考向3離心率問(wèn)題..380題型1:由特征量建立a,b,題型2:回代點(diǎn)的坐標(biāo)..381題型3:由線段長(zhǎng)(范圍)、點(diǎn)的坐標(biāo)范圍建立a,b,題型4:由幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化建立a,b,考向4雙曲線漸近線問(wèn)題...385考向5橢圓、雙曲線共焦點(diǎn)問(wèn)題..387考向6最值問(wèn)題...387考向7點(diǎn)差法...3888.3拋物線..391考向1拋物線定義...394考向2拋物線焦點(diǎn)弦經(jīng)典結(jié)論.395考向3點(diǎn)差法與聯(lián)立...3998.4圓錐曲線在歷年真題中的考法總結(jié)..402考向1圓錐曲線大題四大思想方法..402題型1:韋達(dá)定理法..402題型2:點(diǎn)差法...403題型3:聯(lián)立硬解法...404題型4：坐標(biāo)帶入法（不聯(lián)立）4.405考向2圓錐曲線大題常見(jiàn)題型整合4.406題型1:弦長(zhǎng)問(wèn)題...406題型2:面積問(wèn)題...407題型3:對(duì)稱(chēng)問(wèn)題...408題型4:垂直問(wèn)題...408題型5:角的問(wèn)題...409題型6:三點(diǎn)共線問(wèn)題..409題型7:范圍最值問(wèn)題..410題型8:定值問(wèn)題...411題型9:定點(diǎn)問(wèn)題...412題型10:非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)問(wèn)題..413題型11:定比點(diǎn)差法.413第九章概率統(tǒng)計(jì)..4149.1計(jì)數(shù)原理..414考向1排列組合...416題型1:分類(lèi)加法與分步乘法4.416題型2:排列、組合重要計(jì)算公式..418題型3:特殊元素特殊安排..418題型4:正難則反...418題型5:可重復(fù)問(wèn)題...418題型6:多面手問(wèn)題...418題型7:捆綁法...418題型8：插空法（含捆綁插空混合）.419題型9:定序整除法...419題型10:不同元素分組分配法...420題型11:相同元素隔板法.4.420題型12:涂色問(wèn)題...421題型13:錯(cuò)位排列.4.421題型14:圓排列..422題型15:與立體幾何結(jié)合..422題型16:列舉法..422考向2二項(xiàng)式定理....425題型1:二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)4.425題型2:兩個(gè)二項(xiàng)式乘積..425題型3:三項(xiàng)式問(wèn)題....426題型4:二項(xiàng)式系數(shù)和.4.426題型5:系數(shù)和....426題型6:整除及余數(shù)問(wèn)題4.4279.2概率..429考向1幾種概率的問(wèn)題....434題型1:古典概型....434題型2:互斥、對(duì)立、獨(dú)立.435題型3:條件概率....436題型4:全概率與貝葉斯公式4.437題型5:獨(dú)立事件概率..438題型6:馬爾科夫鏈問(wèn)題...439考向2分布列....443題型1:隨機(jī)變量分布列期望與方差..443題型2:超幾何分布....444題型3:類(lèi)超幾何分布4.446題型4:二項(xiàng)分布....447題型5:正態(tài)分布....4489.3統(tǒng)計(jì)..454考向1抽樣與樣本估計(jì)總體...459題型1:抽樣...459題型2:統(tǒng)計(jì)圖表..459題型3:樣本數(shù)字特征.6.464考向2成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析...469題型1:相關(guān)性檢驗(yàn)....469題型2:線性回歸方程.4.470題型3:非線性回歸方程.4.472題型4:誤差分析....473題型4:獨(dú)立性檢驗(yàn)....474第六章數(shù)列6.1等差數(shù)列與等比數(shù)列【知識(shí)梳理】一.等差數(shù)列1.等差數(shù)列an的判定①an+1-an=d(定義法);?②2an=an2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式:⊙a(bǔ)n=3.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式:(公式推導(dǎo)方法:倒序相加法、分組求和法)①Sn=na②Sn=na1+4.等差數(shù)列an的性質(zhì)①若a,A,b成等差數(shù)列,則A叫做a,b②若m+n=p+q③設(shè)an,bn為等差,則c?an,④等差數(shù)列an的連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列:Sm,S2m-Sm⑤∵Snn=a1+n-1?d⑥若Sn=m,Sm⑦若Sn=Smm≠⑧項(xiàng)之比與和之比的關(guān)系:設(shè)等差數(shù)列an,bn的前n則ambm=a1⑨在等差數(shù)列中,S2二.等比數(shù)列1.等比數(shù)列an的判定①an+1an=q(定義法③an=p?qkn+b(通項(xiàng)法,2.等比數(shù)列通項(xiàng)公式:①an=3.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式:當(dāng)q=1時(shí),當(dāng)q≠1時(shí),4.等比數(shù)列an的性質(zhì)①若m+n=p+q②等比數(shù)列an的連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列:Sm,S2m-Sm注意:均勻分段的和仍為等比數(shù)列.但當(dāng)q=-1時(shí),m③單調(diào)性：當(dāng)a1>0q>1或a1<00<q<1時(shí),an為遞增數(shù)列;④設(shè)an,bn是等比數(shù)列,則當(dāng)an,bn公比相同時(shí),pan+qb5.等比數(shù)列求基本量做題技巧:①解決“知三求二”問(wèn)題:a1,q,n,a②在等差、等比數(shù)列求和項(xiàng)數(shù)比較少的情況下,不一定非要求和公式,可以用各項(xiàng)相加的形式表示.③比值消元思想④化簡(jiǎn)技巧公式:Sm+n=Sm考向1等差數(shù)列【典例分析】題型1:等差數(shù)列基本運(yùn)算題1.(2024·全國(guó)甲卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若S5=SA.-2B.73題2.(2018*新課標(biāo)I)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若3S3=A.-12B.-10C.10D.12題3.等差數(shù)列an滿(mǎn)足2a7+aA.6B.4C.3D.2題4.(2019?新課標(biāo)III)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a1≠0題5.(2022?上海)已知等差數(shù)列an的公差不為零,Sn為其前n項(xiàng)和,若Ss=0,則S題6.(2019?新課標(biāo)I)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知（1）若a3=4,求a（2）若a1>0,求使得Sn≥an題型2:等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用題7.(2013?遼寧)下列關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列anp1:數(shù)列anp2:數(shù)列nanp3:數(shù)列annp4:數(shù)列an+其中真命題是?A.p1,p2B.p題8.(2023?新高考I)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,設(shè)甲:an為等差數(shù)列;乙:SnnA.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件題9.已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a1=-2016題10.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知am-1A.22B.18C.10D.5題11.(2021·甲卷)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知an>0,a2=3a1,且數(shù)列題12.(2023?新高考I)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,且d>1.令bn=n2+nan,記Sn,（1）若3a2=3a1+a（2）若bn為等差數(shù)列,且S99-T99=題13.若等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和為Sn、Tn,若SnTn=7n題14.若兩個(gè)等差數(shù)列an,bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,且A.32B.7059C.71題15.(2013·新課標(biāo)I)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1A.3B.4C.5D.6題16.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn,且Sn=m題17.(2020?新課標(biāo)II)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所,分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱(chēng)為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板（不含天心石）A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊題18.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,公差為d.已知a3=12A.aB.-C.Sn<0時(shí),nD.數(shù)列Sna【精選練習(xí)】1.(2021?新高考II)記Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式a（2）求使Sn>an成立的2.(2024·紹興模擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且S55-A.9B.10C.11D.123.(2024·渭南二模)設(shè)等差數(shù)列an,bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若對(duì)任意正整數(shù)nA.37B.521C.194.(2024·江蘇模擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,S4A.7B.8C.9D.105.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列an和Sn均為等差數(shù)列,且a5A.a1=6B.a86.(2024?青島一模)記正項(xiàng)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,S20=100,A.9B.16C.25D.507.已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且S6>S7>S5,給出下列五個(gè)命題:①d<0;②S11>0③使Sn>0的最大考向2等比數(shù)列【典例分析】題型1:等比數(shù)列基本運(yùn)算題1.(2023?甲卷)已知正項(xiàng)等比數(shù)列an中,a1=1,Sn為an前n項(xiàng)和A.7B.9C.15D.30題2.(2023*天津)已知an為等比數(shù)列,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,an+1=2SA.3B.18C.54D.152題3.(2019?全國(guó))3A.329n-1B.題4.(2019?新課標(biāo)I)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a1=1,題5.(2017*江蘇)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=74題6.(2015·新課標(biāo)II)已知等比數(shù)列an滿(mǎn)足a1=14A.2B.1C.12D.題型2:等比數(shù)列的性質(zhì)題7.已知an是等比數(shù)列,函數(shù)y=x2-5x+3題8.在等比數(shù)列an中,a4,a6是方程x2題9.(2021?甲卷)等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)甲:q>0,乙A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件題10.(2013?全國(guó))等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=abn+c,其中A.a+b=0B.b題11.(2023?新高考II)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若S4=-5A.120B.85C.-85D.-120題12.(2024·舍肥二模)已知等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,則A.SB.對(duì)任意n∈NC.對(duì)任意n∈N*,都存在q,使得D.若a1<0,則數(shù)列S2【精選練習(xí)】1.(2022?乙卷)已知等比數(shù)列an的前3項(xiàng)和為168,a2-a5A.14B.12C.6D.32.(2020?新課標(biāo)II)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a5-aA.2n-1B.2-3.(2024·江西模擬)已知Sn是正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a1+aA.212B.168C.121D.1634.(2024·南通模擬)設(shè)an為等比數(shù)列,a2=2aA.19B.15.(2024·衡水一模)在等比數(shù)列an中,若a1?a5?a12為一確定的常數(shù),記數(shù)列an的前nA.T6B.T8C.T6.(2024·商洛模擬)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=32A.3B.9C.-9D.-37.(2024·湖北模擬)四個(gè)實(shí)數(shù)1,-4,a,b按照一定的順序構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,則A.-18.(2021?甲卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若S2=4A.7B.8C.9D.109.正項(xiàng)等比an的首項(xiàng)a1=12,前n項(xiàng)和為Sn,且210S考向3等差等比混合【典例分析】題型1:差比混合運(yùn)算題1.(2017?新課標(biāo)I)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知(1)求an的通項(xiàng)公式（2）求Sn,并判斷Sn+題2.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和（2）設(shè)bn=Snnn∈N*,題型2:證明等差、等比題3.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1,且對(duì)任意非負(fù)整數(shù)m,n(1)求a0（2）求證:數(shù)列am+1-am是等差數(shù)列,題4.已知數(shù)列an和bn滿(mǎn)足（1）證明:an+bn是等比數(shù)列,（2）求an和bn題5.已知數(shù)列an各項(xiàng)為正數(shù),bn滿(mǎn)足an2A.bn是等差數(shù)列B.bnC.bn是等差數(shù)列D.bn題6.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為T(mén)nA.數(shù)列Snn是等差數(shù)列B.數(shù)列SC.數(shù)列T2n+2T2n【精選練習(xí)】1.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a(I)證明:數(shù)列an+1(II)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(III)若數(shù)列bn滿(mǎn)足4b1-14b26.2數(shù)列的通項(xiàng)與求和【知識(shí)梳理】一.數(shù)列求通項(xiàng)方法總結(jié)1.公式法:【題中出現(xiàn)n,a基本公式a（1）直接公式法【本質(zhì)就是利用an=對(duì)于含有an與Sn的混合關(guān)系式Fan,Sn=0,如:①對(duì)于①,利用Sn=fan,對(duì)于②,借助an=Sn-Sn-1eg:S思路一:Sn=2an+1Sn-1=2an作差得an=（2）隱藏公式法【題中未出現(xiàn)Sn,需要把一列式子看成某個(gè)數(shù)列的前neg:a1+2a2+?+n-1an-2.累加法:【等差型數(shù)列:an-列式an-an①若fn是關(guān)于n②若fn是關(guān)于n③若fn是關(guān)于n的二次函數(shù),④若fn是關(guān)于n⑤若fn是關(guān)于n3.累乘法:【等比型數(shù)列:ana列式anan-4.構(gòu)造法:(1)遞推公式為a待定系數(shù)法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為:an+1+t=pan+t,(2)遞推公式為a待定系數(shù)法:an+1=pan+kn+b可化為a（3）遞推公式為a取倒數(shù)法:遞推公式兩邊取倒數(shù),1an=qan-1+tpan-1=qp+tp?1an-1,令變式:an-an-1+danan-1=0（4）遞推公式為an+1=pan+qn(其中[或an+1=pan+方法一在原遞推公式兩邊同除以qn+1,得an+1qn+1=pq方法二在原遞推公式兩邊同除以pn+1,得:an+1pn+1=an方法三待定系數(shù)法設(shè)an+1+λqn+1=pan+λqn,通過(guò)比較系數(shù),求出（5）遞推公式為an+對(duì)數(shù)變換法:該類(lèi)型是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為前邊的類(lèi)型,然后再用遞推法或待定系法構(gòu)造等比數(shù)列求出通項(xiàng).兩邊取對(duì)數(shù)得lg設(shè)b∴原等式變?yōu)閎n+15.隔項(xiàng)數(shù)列求通項(xiàng)(1)形如an+an+2+an+1所以a（2）形如anaan+2an+1=f所以an二.數(shù)列求和方法總結(jié)1.公式法若已知數(shù)列是等差或等比數(shù)列,求其前n項(xiàng)和可直接使用對(duì)應(yīng)的公式(1)等差數(shù)列求和公式S（2）等比數(shù)列求和公式S2.倒序相加(乘)法對(duì)于某個(gè)數(shù)列an,若滿(mǎn)足a1+an=a2+an-具體解法:設(shè)Sn把①反序可得Sn由①+②得2S3.分組求和法若數(shù)列cn中通項(xiàng)公式cn=an+bn,則數(shù)列cn的前n項(xiàng)和等于兩個(gè)數(shù)列4.錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法直求公式:Sn=列兩個(gè)方程S解得A=3,B=-(在大題中不可在試卷上體現(xiàn)此過(guò)程,需要列出錯(cuò)位過(guò)程,然后以此公式得答案)5.奇偶并項(xiàng)法①an②an=-1n③a④a注意:若n為偶數(shù)時(shí),Sn=fn,則n為奇數(shù)時(shí),(1)1(2)1(3)1(4)2(5)1(6)2(7)n(8)-7.常見(jiàn)放縮法（1）括號(hào)內(nèi)放縮①1n②2（2）括號(hào)外放縮①1②1③2④1考向1求通項(xiàng)【典例分析】題型1:公式法題1.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n題2.記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,an題3.(2022·甲卷)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知（1）證明:an是等差數(shù)列（2）若a4,a7,a9成等比數(shù)列題4.數(shù)列an中,各項(xiàng)均為正數(shù),Sn為前n項(xiàng)和,且有an+1an=題5.數(shù)列an滿(mǎn)足12a1+題6.(2021·乙卷)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,bn為數(shù)列Sn的前n項(xiàng)積,（1）證明:數(shù)列bn是等差數(shù)列（2）求an的通項(xiàng)公式題型2:累加法題7.已知數(shù)列an中,a1=0,an+題型3:累乘法題8.(2022·新高考I)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知a1=1,S（1）求an的通項(xiàng)公式題9.an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且n2-1A.46B.49C.52D.55題型4:隔項(xiàng)問(wèn)題題10.(2016·山東)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n,bn是等差數(shù)列,題11.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1,A.a4=5B.C.a1+題12.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1,ana題13.已知數(shù)列an,a1=1,anan+1=22n-1n∈NA.a3=2B.an題14.(2023*寧波模擬)數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn,若an+2+-1nA.aB.數(shù)列a2nC.數(shù)列a4nD.a2n+2題15.(2024·黑龍江模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿(mǎn)足（1）若數(shù)列bn滿(mǎn)足bn=a2n-1（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式,并求S2n.題16.在數(shù)列an中,a1=1,題17.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=題18.各項(xiàng)均正的數(shù)列an滿(mǎn)足a1=4,an+題19.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1,an+題20.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1,an+1題21.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1,an+題22.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=3,an+1題23.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=12,an題24.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1,a2=題25.已知數(shù)列an滿(mǎn)足an+1=an2+2a【精選練習(xí)】1.2015?新課標(biāo)ISn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知an2.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a（1）證明:數(shù)列1an3.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1,an+4.已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a1=1,Sn5.(2021?新高考I改編)已知數(shù)列an滿(mǎn)足(1)求a(2)求a(3)求S(4)求S6.(2023*新高考II)已知an為等差數(shù)列,bn=an-6,n為奇數(shù)2an,n為偶數(shù),記S（1）求an的通項(xiàng)公式（2）證明:當(dāng)n>5時(shí),7.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿(mǎn)足a（1）證明:數(shù)列an+a（2）若a1=12,a2=8.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1,9.已知數(shù)列an:a1=410.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1,an+11.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=2,an+12.已知數(shù)列an,bn滿(mǎn)足a1=2,b1=1考向2求和【典例分析】題型1:分組求和法題1.已知數(shù)列an=2n-1+2n,求數(shù)列a題2.已知數(shù)列an=1+2+22+23+?+2n題3.已知數(shù)列an=2n-12,求數(shù)列an題型2:錯(cuò)位相減法題4.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知(I)求an的通項(xiàng)公式(II)若數(shù)列bn,滿(mǎn)足anbn=log3an,求b題5.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n2+(I)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式(II)令cn=an+1n+1bn+2題型3:絕對(duì)值求和題6.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=10n-n2,數(shù)列bn的每一項(xiàng)都有bn題7.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和an=2n-2n-8,數(shù)列bn=an題型4:分段求和法題8.(2016·新課標(biāo)II)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且a1=1,S7=28.超過(guò)x的最大整數(shù),如0.9=(I)求b1(II)求數(shù)列bn的前1000項(xiàng)和題9.(2023*4月份模擬)設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足a（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（2）在數(shù)列an的任意ak與ak+1項(xiàng)之間,都插入kk∈N*個(gè)相同的數(shù)-1kk,組成數(shù)列bn,記數(shù)列bn的前題型5:裂項(xiàng)相消法題10.(2022?新高考I)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知a1=1,S（1）求an的通項(xiàng)公式（2）證明:1a題11.(2023?福建模擬)已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=13,?an+A.3B.2C.1D.2題12.(2013·江西)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和an滿(mǎn)足:（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（2）令bn=n+1n+22n2,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n題13.(2014·山東)已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且S1(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(II)令bn=-1n-14nanan+題14.已知數(shù)列an滿(mǎn)足:(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(II)設(shè)bn=13n+11-an1-an+1,數(shù)列bn的前題15.數(shù)列an滿(mǎn)足a（1）設(shè)bn=2nan,（2）設(shè)cn=1nn+1an+1,數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為題型6:奇偶分析法題16.(2023*威海一模)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),記Sn為an的前n項(xiàng)和,且（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（2）記cn=-1nanan+1,求數(shù)列題17.已知數(shù)列an中a1=1,an+-1nan+1=2題18.已知數(shù)列an=-1nln2?3n-1,題19.(2014·山東)在等差數(shù)列an中,已知公差d=2,a2是a1(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(II)設(shè)bn=ann+12,記題20.在數(shù)列an中,a1=1,題21.設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,Sn（1）a（2）S題22.(2012·新課標(biāo))數(shù)列an滿(mǎn)足an+1+-1nan題23.(2020*新課標(biāo)I)數(shù)列an滿(mǎn)足an+2+-1nan題24.(2009*江西)數(shù)列an的通項(xiàng)an=n2cos2nπ3-（1）求Sn（2）bn=S3nn?4n,求數(shù)列b題型7:放縮求和法題25.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知（1）求a2的值（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（3）證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有1a題26.已知an為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Snn∈N*,bn（1）求an和bn（2）求數(shù)列a2n?bn的前n（3）證明:i=【精選練習(xí)】1.2023?乙卷記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,（1）求an的通項(xiàng)公式（2）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和T2.(2023·甲卷)已知數(shù)列an中,a2=1,設(shè)Sn為an前n（1）求an的通項(xiàng)公式（2）求數(shù)列an+12n的前n3.(2024·T8聯(lián)考模擬)設(shè)數(shù)列an為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為S（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（2）設(shè)bn=1an+an+1的前n4.(2024·佛山模擬)已知數(shù)列an和等差數(shù)列bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn（1）求數(shù)列an,b（2）若cnan-bn=1,求數(shù)列5.(2024·武漢模擬)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列an對(duì)任意正整數(shù)n滿(mǎn)足:1（1）若an為等差數(shù)列,求a（2）若a1=-27,求an的前n6.(2024·衡水一模)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,an>（1）求an的通項(xiàng)公式（2）設(shè)bn=Snanan+1的前n7.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an中,a1=1且滿(mǎn)足an+12-an2=2an+2a（1）求數(shù)列an,{bn（2）設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列cn（3）若在bk與bk+1之間依次插入數(shù)列an中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列cn:b1,a1,b8.已知數(shù)列an是等差數(shù)列,a1=1,且a1,a2,a5-1成等比數(shù)列.(1)求b1,b（2）求最小自然數(shù)n的值,使得b19.已知數(shù)列an滿(mǎn)足:a(I)證明:數(shù)列annn(II)設(shè)bn=nn+22n+1an,10.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,當(dāng)（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（2）求證:1a第七章立體幾何7.1空間幾何體【知識(shí)梳理】一.常見(jiàn)幾何體的體積、表面積公式1.由于棱柱、棱錐、棱臺(tái)是由多個(gè)平面多邊形圍成的幾何體,所以它們的表面積就是各個(gè)面的面積和.2.圓柱的側(cè)面積S=2πrl(側(cè)面展開(kāi)圖是矩形)圓柱的表面積3.圓錐的側(cè)面積S=12?2πr?l=4.圓臺(tái)的側(cè)面積S=πr'+rl(5.V柱體=S8.S球二.外接球1.還原長(zhǎng)方體（1）使用范圍：可在長(zhǎng)方體中畫(huà)出該圖且各頂點(diǎn)與長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)重合（2）推導(dǎo)過(guò)程：長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑（3）公式：長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即外接球直徑,則2R(4)圖示過(guò)程2.直棱柱(錐)（1）使用范圍：有一條側(cè)棱垂直與底面的柱體或椎體（2）推導(dǎo)過(guò)程第一步:取底面的外心O1,,過(guò)外心做高的的平行且長(zhǎng)度相等,在該線上中點(diǎn)為球心的位置第二步:根據(jù)勾股定理可得（3）公式:R（4）圖示過(guò)程3.正棱錐（1）使用范圍：正棱錐或頂點(diǎn)的投影在底面的外心上（2）推導(dǎo)過(guò)程第一步:確定球心O:取△ABC的外心O1,因?yàn)镻的射影是△ABC的外心O1,則球心在直線第二步:由正弦定理asinA=2r算出小圓O1的半徑第三步:求半徑R:OA2=O（3）公式:R（4）圖示過(guò)程4.二面角型（1）使用范圍：適用所有的棱錐（2）推導(dǎo)過(guò)程:如下圖,若空間四邊形ABCD中,二面角C-AB-D的平面角大小為α,ABD的外接圓圓心為O1,ABC的外接圓圓心為O2,E為公共弦AB中點(diǎn),則∠O1EOR（3）公式:R(4)圖示過(guò)程三.內(nèi)切球1.圓錐的內(nèi)切球圓錐的軸截面為等腰三角形,等腰三角形的內(nèi)切圓為內(nèi)切球的大圓,內(nèi)切圓的半徑即為內(nèi)切球的半徑,設(shè)圓錐底面半徑為r,高為h,則SΔPAB=12×2.棱錐的內(nèi)切球(等體積法)(1)結(jié)論:①以三棱錐為例說(shuō)明：若三棱錐A-BCD的體積為V，表面積為S，則內(nèi)切球的半徑為②若正四面體的棱長(zhǎng)為a,則其內(nèi)切球的半徑為612（2）推導(dǎo)過(guò)程：如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則內(nèi)切球的球心O到每個(gè)面的距離相等且等于R，設(shè)△ABC,△ABD,△則VA即V=13S1【注意】三棱錐一定有內(nèi)切球,但四棱錐及以上不一定有內(nèi)切球.對(duì)于正四、六、八棱錐,通過(guò)底面對(duì)邊中點(diǎn)的軸截面的內(nèi)切圓為棱錐內(nèi)切球的大內(nèi)切球的半徑.以正四棱錐為例推導(dǎo):設(shè)E、F分別為棱AB、則△PEF的內(nèi)切圓即為該正四棱錐P-ABCD該內(nèi)切圓的半徑為內(nèi)切球的半徑:R=r=2四.棱切球1.常用結(jié)論:①已知正方體的棱長(zhǎng)為a,則它的棱切球半徑為R=②已知正三棱柱的棱長(zhǎng)均為a,則它的棱切球半徑為R=③已知正四面體的棱長(zhǎng)為a,則它的棱切球半徑為R=2.解題技巧:①找切點(diǎn),找球心,構(gòu)造直角三角形.②正n棱柱的棱切球的球心為上下底面中心連線的中點(diǎn)O，正棱錐的棱切球的球心在其高線上，可以通過(guò)對(duì)稱(chēng)性或者截面圓心的垂心確定.③棱長(zhǎng)都為a的正n棱柱,則棱切球的半徑為R=考向1空間幾何體的表面積與體積【典例分析】題型1:直接法求表面積體積題1.(2018?江蘇)如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為_(kāi)__.題2.(2023·新高考I)在正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1題3.(2022?甲卷)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等,側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2π,側(cè)面積分別為S甲和SZ,體積分別為V甲和V乙.若A.5B.22C.10D.題4.(2023?深圳二模)設(shè)表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為V1、V2和V3A.V1<V2<V題5.2023?新高考II已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為底面直徑,∠APB=120°,PA=2,點(diǎn)C在底面圓周上A.該圓錐的體積為πB.該圓錐的側(cè)面積為4C.AC=22D.△PAC題6.已知正四棱錐S-ABCD中,SA=23題型2:間接法求體積題7.(2022?新高考II)如圖,四邊形ABCD為正方形,ED⊥平面ABCD,FB//ED,AB=ED=2FBA.V3=2V2B.題8.如圖,在多面體ABCDEF中,已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,EF//A.23B.33C.4題9.(2023?甲卷)在三棱錐P-ABC中,△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,PA=PBA.1B.3C.2D.3題10.(2024?天津)一個(gè)五面體ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF,且兩兩之間距離為1.并已知A.36B.334+題11.(2024·北京)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,PA=PB=4A.1B.2C.2D.3【精選練習(xí)】1.(2016?全國(guó))正四棱錐的各棱長(zhǎng)均為1,則它的體積是()A.33B.36C.22.(2023?新高考II)底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為3的正四棱錐,所得棱臺(tái)的體積為_(kāi)__.3.(2023?乙卷)已知圓錐PO的底面半徑為3,O為底面圓心,PA,PB為圓錐的母線,∠AOB=120°,若△PABA.πB.6πC.3π4.(2024·新高考I)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等,側(cè)面積相等,且它們的高均為3,則圓錐的體積為()A.23πB.33π5.(2024·全國(guó)甲卷)已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上下底面的半徑均為r2和r1,母線長(zhǎng)分別為2r1-r2和3r6.2023?西寧模擬直角三角形的三邊滿(mǎn)足a<b<c,分別以a,bA.Vc<Vb<V7.(2023*北京模擬)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,動(dòng)點(diǎn)P在棱A1B1上,動(dòng)點(diǎn)Q在線段BC1A.與λ無(wú)關(guān),與μ有關(guān)B.與λ有關(guān),與μ無(wú)關(guān)C.與λ,μ都有關(guān)D.與λ8.(2017?新課標(biāo)I)如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5?cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得考向2球的問(wèn)題【典例分析】題型1:外接球之還原型題1.(2019?全國(guó)一卷)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F分別是PA,AB題2.(2024·浙江模擬)在三棱錐A-BCD中,已知AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=A.MNB.異面直線AN,CM所成的角的余弦值是C.三棱錐A-BCD的體積為D.三棱錐A-BCD的外接球的表面積為題型2:外接球之直棱錐(柱)題3.(2023·乙卷)已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為2的球面上,△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,SA⊥平面題4.(2024·上饒二模)在四棱錐S-ABCD中,ABCD是正方形,AD⊥SD,∠SDC=120°A.點(diǎn)A到平面SBC的距離為1B.若SP=PB,則過(guò)點(diǎn)A,D,P的平面C.四棱錐S-ABCD外接球的表面積為D.直線AP與平面SCD所成角的正弦值的最大值為2題型3:外接球之正棱錐(柱、臺(tái))題5.(2024·瓊海模擬)已知正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為23,其各頂點(diǎn)都在同一球面上,若該球的表面積16π,題6.(2022·新高考I)已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l,其頂點(diǎn)都在同一球面上,若該球的體積為36π,且3≤l≤A.18,814B.274題7.已知正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上、下底面邊長(zhǎng)分別為4,6,高為2,A.正四棱臺(tái)ABCD-A1BB.正四棱臺(tái)ABCD-A1BC.AE//平面D.A1到平面BC1D題8.(2022?乙卷)已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上,則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí),其高為()A.13B.12C.3題型4:外接球之二面角模型（柱、臺(tái)）題9.已知三棱錐D-ABC所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC為邊長(zhǎng)為23的正三角形,△ABD是以BD為斜邊的直角三角形,且AD=2,二面角C-AB-D題型5:外接球之直徑型題10.(2024·福建模擬)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=A.26B.36C.2題11.(2011·遼寧)已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點(diǎn),AB=3A.33B.23C.3D.1題型題12.平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為2,則球O的表面積為?A.123πB.12πC.題13.已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),⊙O1為△ABC的外接圓.若AB=BC=AC=OO1A.64πB.48πC.36題14.正三棱錐P-ABC中,PA=4,AB=42,點(diǎn)E在棱PA上,且PE=3EA,正三棱錐P-ABC的外接球?yàn)榍騉,過(guò)EA.4πB.3πC.2πD.π題15.已知某圓錐的高為4,其內(nèi)切球的體積為43π,則該圓錐的側(cè)面積A.πB.3πC.6π題16.(2024·T8聯(lián)考)如圖,已知正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和6,側(cè)棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1內(nèi)運(yùn)動(dòng)(包含邊界),且AP與平面BCC1B1所成角的正切值為22,點(diǎn)A.正三棱臺(tái)ABC-A1BB.點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為3C.高為463,底面半徑為3D.過(guò)點(diǎn)A,B,Q題型8:內(nèi)切球之等體積法題17.已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,PA=PB=PC=21,先在三棱錐P-ABC內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球O1,然后再放入一個(gè)球O2,使得球O2與球O1及三棱錐P-題18.點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為4的正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn),MN是該四面體內(nèi)切球的一條直徑,則PM?PN題型9:棱切球題19.已知一個(gè)全面積為24的正方體,內(nèi)有一個(gè)與每條棱都相切的球,此球的體積為()A.4π3B.43π題20.(2023·貴陽(yáng)模擬)已知球O的表面積為9π,若球O與正四面體S-ABC的六條棱均相切,A.9B.32C.92【精選練習(xí)】1.四面體A-BCD中,AB=CD=5,AC2.已知三棱錐P-ABC,∠BAC=π3,BC=3,3.正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為2,點(diǎn)S、A、4.四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O上,且AB=AC=BC=BD=CD5.三棱錐A-BCD中,AB=AD6.2019?全國(guó)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn),AH:HB=1:2,AB⊥平面α,H為垂足,α截球7.已知A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),且AC⊥BC,AC8.已知圓維的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_(kāi)__.9.(2016·新課標(biāo)III)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球,若AB⊥BC,ABA.4πB.9π2C.10.正三棱錐S-ABC,底面邊長(zhǎng)為3,側(cè)棱長(zhǎng)為2,11.在四面體S-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=2,△SAC為等邊三角形,二面角S-12.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,PA⊥平面ABC,PA=（1）球O的表面積為_(kāi)__;（2）若D是BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作球O的截面,則截面面積的最小值是___.13.已知正三棱柱的高等于1,一個(gè)球與該正三棱柱的所有棱都相切,則該球的體積為()A.π6B.43π277.2點(diǎn)線面位置關(guān)系【知識(shí)梳理】一.平行的判定及其性質(zhì)1.直線與平面平行（1）判定定理文字語(yǔ)言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a?（2）性質(zhì)定理文字語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言α//α,α?2.平面與平面平行（1）判定定理文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a?β,b?β(2)性質(zhì)定理文字語(yǔ)言?xún)蓚€(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言α//β,α∩3.平面與平面平行其他常用判定、性質(zhì)（1）如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行.（2）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.（4）如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面.（5）如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面.4.平行證明思路（1）證線面平行思路：①中位線（線大于面）②平行四邊形(線小于面)③作面面平行來(lái)證線面平行（頻率最高）④補(bǔ)截面（2）證面面平行思路：面面平行判定定理.（3）證線線平行思路：線面平行性質(zhì)定理.二.垂直的判定及其性質(zhì)1.基本垂直關(guān)系1.正方形鄰邊，對(duì)角線垂直2.長(zhǎng)方形鄰邊垂直3.菱形對(duì)角線垂直4.箏形對(duì)角線垂直5.等腰三角形中線與底邊垂直6.圓的直徑所對(duì)的圓周角是直角7.勾股定理逆定理8.兩邊一角先余弦再勾股9.特殊菱形:菱形ABCD,∠A=60°,E為AB10.特殊矩形:矩形ABCD中,ABAD=12,E為BC11.正方形:正方形ABCD中,E,F分別為邊AD,CD的中點(diǎn)，則BE12.特殊梯形1:梯形ABCD中，AB||CD，∠A=60°,AD=CD=BC13.特殊梯形2:梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°,2.直線與平面垂直(1)判定定理文字語(yǔ)言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言l⊥m,l⊥（2）性質(zhì)定理文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a⊥α,3.平面與平面垂直（1）判定定理文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言l（2）性質(zhì)定理文字語(yǔ)言?xún)蓚€(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線,那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言α⊥β,α∩β=a4.垂直證明思路（1）證線面垂直思路：線面垂直判定定理（2）證線線垂直思路：以其中一線作面，證線面垂直來(lái)證線線垂直（3）證面面垂直思路：從其中一面中選擇一線，證一次線面垂直即可（選線的原則：①該線看起來(lái)垂直于另一面，②按照題中所給的垂直找線）考向1平行、垂直小題【典例分析】題型1:文字題題1.(2013?安徽)在下列命題中,不是公理的是()A.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行B.過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面C.如果一條直線上的兩點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有點(diǎn)都在此平面內(nèi)D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線題2.(2024?錦州模擬)設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,m,nA.若m⊥α,m⊥B.若m⊥n,m?C.若α⊥β,m⊥D.若α∩β=m,題3.(2024·全國(guó)甲卷)已知α、β是兩個(gè)平面,m、n是兩條直線,①若m//n,則n//α②若m⊥n,則n⊥α③若n//α且n//β④若n與α,β所成的角相等,則其中,所有真命題的編號(hào)是()A.①③B.②③C.①②③D.①③④題型2:圖形題題4.(2019?新課標(biāo)III)如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),A.BM=EN,且直線BMB.BM≠EN,且直線BMC.BM=EN,且直線BMD.BM≠EN,且直線BM題5.(2021·武漢二調(diào))如圖,點(diǎn)A,B,C,M,N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則下列各圖中,不滿(mǎn)足直線A.B.C.D.題6.(2021?新高考Ⅱ)如圖,下列正方體中,O為底面的中心,P為所在棱的中點(diǎn),M,N點(diǎn),則滿(mǎn)足MN⊥OPA.B.C.D.題7.(2022?乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面C.平面B1EF//平面A1ACD.平面【精選練習(xí)】1.(2016?新課標(biāo)II)α,β是兩個(gè)平面,m,n①如果m⊥n,m⊥α②如果m⊥α,n//α③如果α//β,m?α④如果m//n,α//β,那么m與α所成的角和n其中正確的命題是___（填序號(hào)）2.(2021?浙江)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,A.直線A1D與直線D1B垂直,直線MNB.直線A1D與直線D1B平行,直線MNC.直線A1D與直線D1B相交,直線MND.直線A1D與直線D1B異面,直線MN考向2平行、垂直大題【典例分析】題型1:線面平行題1.(2016?新課標(biāo)III)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD//BC,AB=AD=AC=3,PA(I)證明:MN//平面PAB題2.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D(I)證明:BC1//平面題3.(2023?武漢二調(diào))如圖,四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1側(cè)棱CC1上點(diǎn)E滿(mǎn)足（1）證明:直線A1B//平面題4.如圖,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,PA=AC=2,D是PA的中點(diǎn),E是CD（1）證明:EF//平面ABC題5.(2022?新高考II)如圖,PO是三棱錐P-ABC的高,PA=PB,AB⊥（1）證明:OE//平面PAC題6.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC為等腰直角三角形,AB=BC=2,AA1=3,P為(I)求三棱錐P-AQC(II)在線段A1C1上找點(diǎn)M,使得B1M//平面APQ題型2:面面平行題7.已知六面體EFABCD如圖所示,BE⊥平面ABCD,BE//AF,AD//BC,BC=1（1）求證:平面BFN//平面MAC題型3:線線平行題8.(2023?新高考I)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,別在棱AA1,BB1（1）證明:B2題9.如圖,四棱錐E-ABCD,AB=AD=3,CD=CB=1平面CDE=（1）若點(diǎn)M為線段AE中點(diǎn),求證:BM//題型4:線面垂直題10.(2020?新高考I)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為（1）證明:l⊥平面PDC題11.(2024·煙臺(tái)模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD=2,AB=BC=CD=1,（1）證明:PA⊥平面ABCD題12.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AD//BC,AD=2BC,題13.(2012·北京)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn),將△ADE沿DE折起到（3）線段A1B上是否存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面圖1圖2題型5:面面垂直題14.(2022?乙卷)如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD（1）證明:平面BED⊥平面ACD題15.(2018?新課標(biāo)III)如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直,M是CD上異于C,D（1）證明:平面AMD⊥平面BMC題16.(2015·新課標(biāo)I)如圖,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120°,E,BE⊥平面ABCD,DF⊥(I)證明:平面AEC⊥平面AFC題17.(2023?乙卷)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=22,PB=PC=6,AD（1）證明:EF//平面ADO（2）證明:平面ADO⊥平面BEF題型6:線線垂直題18.(2023?新高考Ⅱ)如圖,三棱錐A-BCD中,為BC中點(diǎn).（1）證明BC⊥題19.(2020?浙江)如圖,在三棱臺(tái)ABC-DEF中,平面ACFD⊥平面ABC(I)證明:EF⊥題20.(2021?甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為（1）證明:BF⊥題21.如圖,△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,E,F分別為AB,AC邊的中點(diǎn),將平面AEF沿EF折疊,M為（1）設(shè)平面PBE與平面PCF相交于l,求證:l⊥題22.(2016?新課標(biāo)I)如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6,頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長(zhǎng)交(I)證明:G是AB的中點(diǎn);(II)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說(shuō)明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.題23.已知矩形ABCD,過(guò)A作SA⊥平面AC,再過(guò)A作AE⊥SB交SB于E,過(guò)E作EF⊥SC交SC（1）求證:AF⊥（2）若平面AEF交SD于G,求證:AG⊥題24.(2023?甲卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2（1）求證:AC=【精選練習(xí)】1.(2014*新課標(biāo)II)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).(I)證明:PB2.(2024·福州模擬)如圖,以正方形ABCD的邊AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)120°形成的面圍成一個(gè)幾何體ADF-BCE.設(shè)P是CE上的一點(diǎn),G,H分別為線段AP,EF的中點(diǎn).（1）證明:3.(2024·新疆模擬)在圓柱OO1中,AB是圓O的一條直徑,CD是圓柱OO1的母線,其中點(diǎn)C與A,B不重合,M,N是線段（1）若平面COM和平面CAN的交線為l,證明:l//平面ABD4.(2015?安徽)如圖所示,在多面體A1B1D1DCBA中,四邊形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均為正方形,E(I)證明:EF//5.2020?新課標(biāo)I如圖,D為圓錐的頂點(diǎn),O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,AE=AD.△ABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為（1）證明:PA⊥平面PBC6.(2016?浙江)如圖,在三棱臺(tái)ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC(I)求證:BF⊥平面ACFD7.(2008?山東)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB//DC,△(I)設(shè)M是PC上的一點(diǎn),證明:平面MBD⊥平面PAD8.(2019?浙江)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥(I)證明:EF⊥9.(2022?浙江)如圖,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,10.(2024·杭州模擬)如圖,在多面體ABCDPQ中,底面ABCD是平行四邊形,∠DAB=60°,BC=2PQ=4（1）證明:∠ABQ7.3空間向量與立體幾何【知識(shí)梳理】一.幾何法解決空間角與距離1.線線角（1）位置關(guān)系的分類(lèi):（2）異面直線所成的角①定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a'//a,b'//b,把a(bǔ)'與b'所成的銳角（或直角)叫做異面直線②范圍:(③求法:平移法:將異面直線a,b平移到同一平面內(nèi),2.線面角①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角.②范圍:0③求法:常規(guī)法:過(guò)平面外一點(diǎn)B做BB'⊥平面α,交平面α于點(diǎn)B';連接AB',則∠BAB'即為直線AB與平面α的夾角.接下來(lái)在Rt△ABB'中解三角形.即sin∠BAB'=BB'AB=h斜線長(zhǎng)3.二面角(1)二面角定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱(chēng)為二面角,這條直線稱(chēng)為二面角的棱,這兩個(gè)平面稱(chēng)為二面角的面.(二面角α-l-β（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角;范圍0,（3）二面角的求法法一:定義法在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如圖在二面角α-l-β的棱上任取一點(diǎn)O,以O(shè)為垂足,分別在半平面α和β內(nèi)作垂直于棱的射線OA和OB,則射線OA和法二:三垂線法在面α或面β內(nèi)找一合適的點(diǎn)A,作AO⊥β于O,過(guò)A作AB⊥c于B,則BO為斜線AB在面β內(nèi)的射影,∠ABO為二面角α-c-β①找點(diǎn)做面的垂線;即過(guò)點(diǎn)A,作AO⊥β于②過(guò)點(diǎn)（與①中是同一個(gè)點(diǎn)）做交線的垂線;即過(guò)A作AB⊥c于B,連接③計(jì)算:∠ABO為二面角α-c-β的平面角,在圖1圖2圖3法三:射影面積法凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式(cosθ=S射S法四：補(bǔ)棱法當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒(méi)有明確交線時(shí),要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整,使之有明確的交線(稱(chēng)為補(bǔ)棱),然后借助前述的定義法與三垂線法解題.當(dāng)二平面沒(méi)有明確的交線時(shí),也可直接用法三的攝影面積法解題.法五:垂面法由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直,因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角,就是二面角的平面角.例如:過(guò)二面角內(nèi)一點(diǎn)A作AB⊥α于B,作AC⊥β于C,面ABC交棱a于點(diǎn)O,則∠BOC就是二面角的平面角.如圖3.4.空間中的距離求點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐等體積法求解.二.空間向量解決空間角與距離1.求異面直線a,b已知a,b為兩異面直線,A,C與B,D分別是a,b上的任意兩點(diǎn)則cosθ①向量AC,BD所成角<AC,BD>的范圍是(0,π]，而異面直線AC,BD所成的角范圍是0,π2;②故cosθ=cos<AC2.求直線l和平面α所成的角設(shè)直線l方向向量為a,平面α法向量為n,直線與平面所成的角為θ,a與n的夾角為α,則θ為α的余角或α的補(bǔ)角的余角,即有sinθ當(dāng)θ=π2-α?xí)r,sinθ=cosα;當(dāng)不管哪種情況,都有sinθ3.求平面α與平面β的夾角（1）二面角的平面角是指在二面角α-l-βAO⊥l,BO⊥l,則∠AOB為二面角α-l（2）平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角不大于90°的二面角稱(chēng)為平面α與平面β的夾角.（3）空間向量求平面α與平面β的夾角求法：設(shè)平面α與平面β的法向量分別為m,n,再設(shè)m,n的夾角為φ,平面α與平面β的平面角為θ,則θ為φ或則cosθ4.點(diǎn)A、BAB5.點(diǎn)Q到直線l距離若Q為直線l外的一點(diǎn),P在直線上,a為直線l的方向向量,b=則點(diǎn)Q到直線l距離為d=如圖,d=6.點(diǎn)Q到平面α的距離若點(diǎn)Q為平面α外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面α內(nèi)任一點(diǎn)，平面α的法向量為n，則Q到平面α的距離就等于MQ在法向量n方向上的投影的絕對(duì)值,即d=如圖,d=7.直線a平面α之間的距離當(dāng)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，直線上的各點(diǎn)到平面的距離相等.由此可知,直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點(diǎn)到平面的距離,即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.8.利用兩平行平面間的距離處處相等,可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離.考向1線線角【典例分析】題型1:幾何法題1.(2021?乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點(diǎn)A.π2B.π3C.π題2.2017?新課標(biāo)II已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,A.32B.155C.105題3.2015?浙江如圖,三棱錐A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2題4.(2014·大綱版)已知二面角α-l-β為60°,AB?α,AB⊥l,A為垂足,A.14B.24C.3題5.如圖,在三棱臺(tái)ABC-DEF中,平面ACFD⊥平面（1）求異面直線EF與DB所成角的余弦值;題型2:坐標(biāo)法題6.(2015?新課標(biāo)I)如圖,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120°,E,BE⊥平面ABCD,DF⊥(I)證明:平面AEC⊥平面AFC(II)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.考向2線面角【典例分析】題型1:幾何法題1.(2022?新高考I)已知正方體ABCD-A1BA.直線BC1與DA1B.直線BC1與CA1C.直線BC1與平面BB1D.直線BC1與平面ABCD所成的角為題2.(2022?甲卷)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D與平面ABCD和平面A.ABB.AB與平面AB1C1C.ACD.B1D與平面BB1題3.(2023·乙卷)已知△ABC為等腰直角三角形,AB為斜邊,△ABD為等邊三角形,若二面角C-AB-D為150°,則直線CD與平面A.15B.25C.3題4.(2023?甲卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2（1）求證:AC=（2）若直線AA1與BB1距離為2,求AB1題型2:坐標(biāo)法題5.(2022?甲卷)在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面（1）證明:BD⊥（2）求PD與平面PAB所成的角的正弦值.題6.2019?浙江如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C130°,A1A=A(I)證明:EF⊥(II)求直線EF與平面A1BC題7.(2021·浙江)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,BC=4,PA=15,M,N(I)證明:AB⊥(II)求直線AN與平面PDM所成角的正弦值.【精選練習(xí)】1.(2022?乙卷)如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠（1）證明:平面BED⊥平面（2）設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°,點(diǎn)F在BD上,當(dāng)△AFC的面積最小時(shí),2.(2015?浙江)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1(I)證明:A1D⊥平面(II)求直線A1B和